基于合情推理模式的教学策略

李嘉扬 张昆

[摘 要]随着素质教育的普及，教师要重视对学生合情推理能力的培养，这也是新课标的明确要求。文章首先介绍合情推理的基本内涵及教学价值，然后提出指向合情推理的教学设计策略，最后以“等差数列前项和”为例，阐述如何有效进行合情推理的教学设计，并从中凝练出合情推理教学的反思和启示。

[关键词]合情推理;教学策略;等差数列

合情推理的主要表现形式就是猜想，猜想不仅是数学知识发生的思维起点，也是构建数学观念系统的关键环节。由此可见，合情推理在数学课堂教学中有非常重要的作用。

一、合情推理的内涵及教学价值

合情推理最早由美籍匈牙利数学家G·波利亚在《数学与猜想》中提出，是人们在经验、感觉等非智力因素的影响下，在已有认知结构基础上，运用观察、类比、联想等非演绎手段进行合乎情理的推理过程。波利亚表示：“数学的创造过程是与其它知识的创造过程一样的。在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出证明之前，你得推测证明的思路，只要数学的学习稍能反映出数学的发现过程的话，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置。”

具体来说，合情推理主要有以下三方面的数学教学价值。一是构建数学知识体系，使得知识体系更加科学和完备。二是推动数学教学发展。由于数学教学呈现出一定的目的性，注重严谨性、抽象性和形式化，有时会限制学生发散性思维的养成。而渗透合情推理的教学能够让学生切实体验求知的整个过程，学生通过独立思考、动手实践，不断提高他们主动探索知识的意识。三是促进学生自身发展。合情推理的课堂教学模式常以问题为中心，这种教学模式有助于激发学生的求知欲和数学学习兴趣，发展批判性思维。

二、指向合情推理的教学设计的应用策略

为落实合情推理的教学观念，教师要建立合适的合情推理教学模式。

（一）挖掘教材，寻找生长点

合情推理遍布在高中数学教材的各个章节之中，因此教材是培养学生合情推理能力的重要载体。以人教A版教材选择性必修2第四章“数列”为例，本章中类比推理的应用渗透在等差、等比数列的概念及性质学习中，归纳推理的应用则渗透在对等差、等比数列前项和公式的探索中。这里的“等差、等比数列的概念和性质”就是学生头脑中的生长点。学生根据这些生长点可以发现概念的本质特征，深入理解内涵，把概念纳入到认知结构中，便于与新知关联。因此，教师在数学教学中必须牢牢抓住教材，提供给学生“再创造”的机会。

（二）选择素材，渗透合情推理

数学教材中含有数学公式、定理、公理、法则等原理性知识，这些数学知识处处闪烁着数学家的智慧，也是合情推理的素材典范。尽管学生的抽象能力不足以探索出和数学家一样的“发现过程”，但如果教师能在挖掘教材的基础上选择合适的教学素材，对学生的发现过程加以启发和引导，学生或许能被激发出灵感，成为小“数学家”。而这就需要教师明确两个过程，一是猜想发现过程，二是推理证明过程。合情推理要渗透在这两个过程之中，缺一不可，在已有素材的铺垫下获得新知，使学生参与到知识发生的过程中。

三、渗透合情推理的教学设计示例

淮北师范大学张昆老师执教的“等差数列的前项和公式”一课精彩纷呈，实现了培养学生合情推理的目标。下面是关于这节课的教学片段及反思。

（一）等差数列的前项和公式的猜想与证明

师：同学们，上节课我们学习了如下知识：等差数列的概念、通项公式和它的中心对称性质，即若，则。下面我们将利用这些知识解决等差数列求和问题。数学上，我们将等差数列的前项和用表示，即，记为①式。若用①式逐个累加求和，这将是一个十分繁杂的计算。大家能否根据等差数列的性质使①式变得简单些？

生1：我们可以根据上节课关于等差数列的若干性质，尝试推导出①式的一种简单的表达式。

师：这个表达式的结构形式是什么样呢？能否猜想出表达式中存在哪些组成元素？

生1：表达式中可能有项数，因为值的不同会直接导致的变化，例如与是不同的。

师：很好！还有其他同学有不同见解吗？

生2：该表达式中还可能含有①式右端项中的两项。解释如下：由于是等差数列中的所有项之和，所以它的表达式中一定包含这个数列的所有项。又因为已知等差数列其中两项就能确定它的所有项，所以中含有等差数列中的两项，且这两项以相加的形式作为一个整体出现。

师：好！我们不妨设定这两个特殊的项为和，于是的表达式中的元素就包含，，，且+必定会作为一个整体出现。

生3：如果的表达式能用，，表示，那么由，这个表达式也可以用，，来表示。

师：好！生3能够迅速从头脑中检索出相关知识点，很有洞察力！相信你能继续思考和探究下去，最终得出不一样的结论！现在我们还是先考虑用，，来确定。因为和是数列中的已知项，只有是变量，所以可以看作是的函数，那么如何确定这个函数的表达式呢？

生4：可以先从特例入手。

师：生4的想法非常好！这种试探能促使激发大家的灵感。要注意的是，①式的右端必须要用来表示，那么我们该如何表示呢？

生4：可以这样表示，  。

师：精彩！再看如何处理。

生5：根据前面的猜想，中应当含有3，和由等差数列的性质可知，，化简即可得到。

师：生5突破了关键的一步，那么的表达式是什么？根据等差数列的性质知，，又因为必须包含4，效仿生5的做法化簡可以得到。

师：好！现在观察上述四个特例求和结果的表现形式和规律，大家能否猜想和归纳出的表达式？

生：。

师：同学们如何证明这个猜想呢？你们如何来说服老师？

生6：由等差数列的中心对称性质，可以采用首尾配对的方式进行计算。

生7：但是这种方法需要分类讨论等差数列的项数的奇偶性，运算较为麻烦。

生6：感谢生7的提醒，我找到了另一种方法解决这个问题：将①式按照正序和逆序分别写成两行，然后将上下两式相加，接着利用等差数列的中心对称性质进行化简，便可以得到最终的公式。

师：生6验证了我们的猜想。在数学上，我们将生6提及的这种数学方法命名为倒序相加法。另外，大家课下可以继续对生3的想法进行探究，试一试能否得到新的表达式。

（二）反思

1.分析知识性质，建构新旧知识的内在关联。教师在本节课开始时，带领学生复习等差数列的若干概念及性质，为接下来的猜想和证明进行了铺垫，这是关键一步。在这个过程中，学生通过分析知识性质，建构新旧知识的内在关联，加强了合情推理能力培养的连贯性。

2.把握认知特点，活跃创造性与批判性思维。教师在进行合情推理的课堂教学时，要先了解学生的认知特征和建构数学知识的心理过程，鼓励学生产生归纳的目标意识，再根据归纳的结果引导学生进行猜想。在教师的循循善诱下，学生敢于质疑，在合情推理时充分展现了自己的批判性思维。

3.落实以生为本，践行数学学科的核心素养。基于以生为本的理念，教师选择“用教材教”，而不是“教教材”，实现了“教师主导，学生主体”。学生经历了从特殊到一般的类比推理和归纳的数学思想，在合情推理中一次次突破自我，最终体会到成功的喜悦。課堂中教师能准确抓住学生思维的生长点，把握问题的转折点，恰到好处地给予学生提示，引导学生化繁为简，不仅突出了数学学科的逻辑性和严谨性，更达到了数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养的培养目标。

培养学生合情推理能力是数学教学的重要目标之一。但合情推理能力的培养并非一蹴而就，需要教师挖掘教材、精选素材，将其细化到每个环节中。开展合情推理教学不止前面提到的“等差数列的前项和公式的推导”，还可以借助数学定理和数学习题进行合情推理教学。无论使用哪种方式，教师都要根据学生的认知特点和数学内容的本质特征，设计出适合学生进行猜想的数学教学模式。

参考文献：

[1] G·波利亚.数学与猜想：数学中的归纳和类比（第一卷）[M].李心灿等译.北京：科学出版社， 2004.

[2] 张昆.分析知识性质 促进学生猜想——推导等差数列前n项和公式的课堂教学设计[J].数学通讯， 2011，（22）.

（责任编辑 付淑霞）