对数母线型滚子凸度轮廓误差评定

李溪源，张亚东，王普超

1平顶山工业职业技术学院；2西安工业大学

1 引言

轴承滚子在工作过程中因两端受力不均会出现疲劳点蚀现象而产生应力集中[1]。为了减小滚子边缘产生的应力集中，通过超精研磨加工对滚子或滚道进行修形(即进行凸度设计，使滚子或滚道母线轻微凸起的曲线形状)，以保证滚子或滚道的受载均匀分布，避免轴承滚子过早出现疲劳导致损坏，从而提高轴承的使用寿命[2，3]。目前，工程上应用较多的滚子修形曲线有全圆弧凸型、圆弧修正凸型和对数曲线凸型等[4-6]。全圆弧凸型和圆弧修正凸型存在一定的应力集中，而对数曲线凸型可使载荷均匀分布并有效减小应力集中，因此在工程中被广泛应用。但修形后滚子母线的细微凸度轮廓误差会引起其接触应力和弹流润滑油膜的强烈差异，对轴承的使用性能产生重要影响[7-9]。因此研究轴承滚子对数曲线凸度轮廓的整体拟合及误差评定算法，对保证滚子质量及精度有重要意义。

轴承滚子的承载能力分析以及滚子凸型的设计在国内外多有研究，但对轴承滚子凸度轮廓素线的拟合以及误差评定的研究尚有不足。张天微[10]基于轮廓仪开发了一套轴承滚子测量系统并计算得到凸度量，在计算误差时，将所测量的凸度曲线与标准对数曲线进行了对比，但系统中未进行测量曲线的拟合与误差评定。贾磊等[11]针对滚子轮廓的修形设计和加工问题，提出了基于曲线拟合的两段圆弧轮廓修形最优设计方法。贾松阳[12]针对球面滚子轴承建立了修正对数曲线，在中间段利用修正对数曲线拟合，滚子两端用圆弧拟合修正对数曲线。上述方法虽然在凸度修形方面达到了一定的效果，但并非完全利用对数曲线进行拟合与误差评定。因此，研究对数曲线型滚子凸度轮廓的拟合以及误差评定算法对轴承滚子凸度误差检测系统设计具有一定的工程应用价值。

针对目前滚子凸度误差评定方法存在原理误差及误差评选不可靠的缺点，本文将滚子凸度轮廓母线分为两段对数曲线，提出分段拟合寻求整体误差的方法。该方法原理简单，得到的结果优于文献[13]的方法结果，能够有效实现对数型滚子母线轮廓的误差评定。

2 对数母线型滚子凸度数学模型

轴承凸度曲线的中间段近似为直线，曲线两端呈变曲率弯曲状且分别向两个端部实体收缩，要求凸度曲线左右对称。如图1所示，对数曲线型滚子凸度母线由两个相互对称的对数曲线组成，即中部微微凸起，曲线轮廓向两端缓慢减小，两端与两倒角圆弧光滑过渡。

图1 滚子凸度素线的组成

圆柱(圆锥)滚子的对数型凸度素线(见图1)的数学模型为

(1)

式中，a1，b1为平面上任一位置对数曲线的参数(左端)，其具体求解过程由式(5)给出；a2，b2为平面上任一位置对数曲线的参数(右端)，同理，其求解过程与a1，b1一样；c为常数，根据轴承滚子的接触长度而定。为保证两个对数在平面内连续，要求a1=a2，b1=b2。

3 最小二乘算法评定步骤

3.1 确定两段对数曲线的分界点

对数曲线型凸度素线由两段对称的对数曲线组成，两段对数曲线的交点(满足约束条件)就是对数凸型曲线的分界点。利用圆弧拟合法计算对数曲线轮廓离散点的曲率(由于整体凸度曲线首末两端的数据点分别为相应曲线段的点，所以在计算曲率时，不考虑首末两端的数据点)，根据曲率特性判别分界点的位置[13]。

(1)中间数据点的曲率计算

设Pi(xi，yi)(i=1，2，…，N)是被测对数凸度曲线上的N个测量点，除第一个测量点与最后一个测量点外，剩余测量点为中间段测量点Pi(xi，yi)(i=2，3，…，N-1)。

如图2所示，中间测量点Pi(xi，yi)的曲率Ki(i=2，3，…，N-1)由点Pi(xi，yi)及左右相邻的点Pi-1(xi-1，yi-1)和Pi+1(xi+1，yi+1)三点确定的圆决定，中间点Pi(xi，yi)的曲率Ki(i=2，3，…，N-1)为

图2 曲率计算

(2)

式中

当Pi-1Pi×Pi-1Pi+1>0时，S取正值；反之，S取负值。

(2)中间测量点曲率差及分界点的确定

测量点的曲率差Ei是指测量点Pi(xi，yi)的曲率Ki与前一个测量点Pi-1(xi-1，yi-1)的曲率Ki-1之差，有

Ei=Ki-Ki-1

(3)

由于两段对数曲线在分界点处曲率变化较为明显，曲率差值应是局部的极大值或极小值。如果曲率差值满足|Ei|≤ε(ε是一个阈值)，则曲率差值的极值所对应的测量点Pj(xj，yj)为两段对数曲线的分界点。

3.2 两段对数曲线的最小二乘拟合以及误差计算

(1)构造辅助分界点

基于数据点曲率差值法初步确定的分界点不一定是两段曲线误差最小时的分界点，所以需要在分界点Pj(xj，yj)左右两端分别选取t个辅助测量点做进一步判断，分别记为Pj+t(xj+t，yj+t)和Pj-t(xj-t，yj-t)(其中，1≤t≤5，t的取值范围不宜过大，根据分界点两边辅助测量点的曲率判定)。那么，分界点与辅助分界点共计构成了(2t+1)个数据点。

(2)分段拟合以及误差计算

利用辅助分界点确定两个对数曲线的数据，依据最小二乘原理进行拟合。对于左端对数曲线，利用剩余的数据点P1(x1，y1)～Pj-t-1(xj-t-1，yj-t-1)依次与辅助分界点和分界点构成拟合数据，例如，数据1：P1(x1，y1)～Pj-t(xj-t，yj-t)，数据2：P1(x1，y1)～Pj-t+1(xj-t+1，yj-t+1)…P1(x1，y1)～Pj+t(xj+t，yj+t)。以式(1)左端对数曲线方程为例，对目标函数进行最小二乘原理拟合，拟合过程如下：

为使目标函数F取得极值，需满足

(4)

求解方程组(4)可得对数曲线的参数为

(5)

通过上述拟合步骤，可以得到(2t+1)个左最小二乘对数曲线方程

y=a1f+b1flnx(f=1，2，3，…，2t+1)

(6)

将P1(x1，y1)～Pj-t(xj-t，yj-t)测量点(以数据1为例)代入最小二乘对数曲线F(x，y)=a1+b1lnx中。当F>0时，测量点在最小二乘对数曲线的外侧；当F<0时，测量点在最小二乘对数曲线内侧。

计算P1(x1，y1)～Pj-t(xj-t，yj-t)测量点(以数据1为例)到式(6)的法向距离为

(7)

式中，W(Xi，Yi)为式(6)与其对应测量点法线的交点，当测量点在外侧时取正值，测量点位于内侧时取负值。

依据形状误差定义可知，左端对数曲线(以数据1为例)的形状误差为

δ=|max(di)|+|min(di)|

(8)

由于左端对数曲线有(2t+1)种拟合情况，故可以得到(2t+1)个误差

δ2t+1=|max(di)2t+1|+|min(di)2t+1|

(9)

为保证整体凸度曲线的连续性，对于右端对数曲线，利用左端构成的拟合数据的终点(即某一辅助分界点或分界点)与右端对数曲线的剩余数据点构成拟合数据，例如Pj-t(xj-t，yj-t)～PN(xN，yN)。

根据上述左端对数曲线拟合方法，可以得到右端对数曲线的参数为

(10)

对于右端对数曲线，同样可以得到(2t+1)个右最小二乘对数曲线方程

y=a2f+b2fln(c-x)(f=1，2，3，…，2t+1)

(11)

重复上述相同的方法可以得到(2t+1)个右端对数曲线误差

σ2t+1=|max(di)2t+1|+|min(di)2t+1|

(12)

3.3 对数型凸度轮廓总误差

根据轮廓误差定义，可以推断左端对数曲线与右端对数曲线在分段点处分别拟合时的两段曲线最大误差才能包容整条凸度轮廓。通过上述计算步骤对两段对数曲线分别拟合求误差，共计有(2t+1)种情况，那么就可以得到(2t+1)个最大误差值，记为Δ(2t+1)。在Δ(2t+1)中最小值构造的区域为对数型凸度轮廓的总误差，为

Q=min{Δ(2t+1)}

(13)

4 实例验证

为了验证对数母线型滚子凸度轮廓的最小二乘拟合与误差评定算法的正确性，根据对数凸度曲线的几何形状特征，选取二维平面坐标轴标准位置上两段对称布置的对数曲线作为轴承凸度轮廓误差评定的数学模型，将选取的标准曲线进行数据点离散化，并在其法线方向加入随机误差，模拟实际测量数据进行仿真，经过上述算法处理后计算出分界点。

如表1所示，在设定的对数型凸度曲线公式(见图3)中选取49个点，并在其法线方向加入随机误差，构造实际测量数据，有

图3 设定的标准对数母线轮廓

(14)

利用式(2)和式(3)对表1中设定对数曲线的数据点以及加入随机误差后构造的测量数据点进行仿真分析，可以得到对应数据点的曲率值与曲率差的变化规律(见图4)。

(a)设定对数曲线数据点的曲率(不包含首末两点)

由图可以看出，设定曲线上数据的曲率(见图4a)和曲率差(见图4b)与在设定曲线上加入随机误差后生成的仿真数据曲率(见图4c)和曲率差(见图4d)基本吻合，说明此方法的正确性。

通过计算测量点Pi(xi，yi)可以得到曲率差的最大值为0.0766，将阈值设定为0.05，得到分界点为P25(x25，y25)。为方便计算，在分界点P25(x25，y25)左右两侧各选一个数据点作为辅助分界点，对左端对数曲线进行拟合以及误差计算，可得到3个左最小二乘对数曲线方程及误差，计算结果见表2。

表2 拟合左端对数曲线参数及其误差

同理，在分界点P25(x25，y25)左右两侧各选取一个数据点作为辅助分界点，对右端对数曲线进行拟合以及误差计算，可得到3个右最小二乘对数曲线方程及误差，计算结果如表3所示。

表3 拟合右端对数曲线参数及其误差

根据式(13)计算对数型凸度轮廓总误差，计算结果如表4所示。

表4 对数型凸度轮廓总误差

从表4可以看出，通过曲率差构造分界点拟合对数型凸度轮廓得到的总误差为0.0071mm，并且总误差为最小时，两段对数曲线的分界点在P25(x25，y25)，同时可得到相对应的参数。加入随机误差后的仿真数据与理论设定曲线数据处理结果对比见表5。

表5 数据处理结果对比

由表5可以看出，利用最小二乘原理对理论曲线加入随机误差后的数据进行拟合，所得的参数与理论对数凸型曲线参数基本一致，通过上述步骤计算出对数型凸度轮廓误差为0.0071mm，与文献[13]圆弧修正型凸度轮廓曲线的总误差0.0209mm相比，精度有所提高。

5 结语

本文对对数型轴承滚子凸度轮廓素线进行了最小二乘拟合以及误差评定，通过案例仿真分析了其有效性并得出以下结论。

(1)选取对数型轴承滚子凸度轮廓素线为研究对象，根据轮廓的形状确定了对数型轴承滚子凸度轮廓素线的数学模型。

(2)利用三点圆弧法研究了对数型轴承滚子凸度轮廓素线离散数据的曲率以及在数学模型的基础上加入随机误差后离散数据的曲率。

(3)对理论数据以及离散数据利用曲率差找到分界点，并利用分界点构造了辅助分界点。

(4)利用分界点以及辅助分界点对对数型轴承滚子凸度轮廓素线进行分段拟合，得到相对应的总体误差。本文为轴承滚子凸度轮廓误差评定提供了一种有效方法，此方法编程简单且无需坐标转换。