判断函数奇偶性常出现的错误以及规避的措施

王颖

函数奇偶性是函数至关重要的性质之一.在判断函数的奇偶性时，很多同学经常出现各种错误.对此，笔者就同学们在判断函数奇偶性时常出现的错误进行了分析，并提出一些规避的措施，以期同学们能够从中吸取教训，避免重蹈覆辙.

错误之一：忽略了函数的定义域

函數的定义域是函数的三大要素之一，即函数自变量的取值范围.在判断函数的奇偶性时，很多同学常常忽略函数的定义域，致使解题出错.

所以f（m）为偶函数;

上述解法之所以错误，是因为忽略了函数的定义域.事实上，具有奇偶性的函数的定义域都关于原点对称，因此判断函数的奇偶性，需先要判断该函数的定义域是否关于原点对称.

正解：①因为函数f（m）的定义域为{-1，1}其关于原点对称，

又f（-x）=±f（x），所以该函数既是奇函数，又是偶函数;

所以f（m）既不是奇函数，也不是偶函数

所以f（m）既不是奇函数，也不是偶函数.

函数的定义域关于原点对称是一个函数具有奇偶性的前提条件，所以在判断函数的奇偶性时，同学们要高度重视函数的定义域，首先弄清楚函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数不具有奇偶性.

错误之二：忽略了对参数的分类讨论

在判断含参函数的奇偶性时，需要对参数进行分类讨论.然而受习惯性思维的影响，许多同学经常容易忽略对参数的分类讨论，出现思虑不周的情况，致使求得的答案不完整，故而产生了错解.

错解：因为函数f（x）的定义域是（-∞，k）∪（k，+∞），其不关于原点对称，所以函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数.

上述错解产生的原因主要是受思维定式的影响，以为函数f（x）的定义域不关于原点对称，故而没有对参数k进行分类讨论，导致解题出错.事实上，当k=0时，该函数具有奇偶性.

该函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），

所以函数f（x）为偶函数;

当k≠0时，函数f（x）的定义域是（-∞，k）∪（k，+∞），其不关于原点对称，

所以函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数.

在做题时，同学们要克服思维定式的影响，全面考虑问题，对可能出现的情况作全面分析，尤其要重视对参数的分类讨论，从而做到不重复不遗漏任何情况，增加解答过程的完整性和准确性.在对参数进行分类讨论时，可将实数R看作全集，根据函数的定义域或函数式有意义确定分类讨论的分界线，将实数集划分为几个区间段，逐个进行讨论，最后综合所得的结果.

在判断函数的奇偶性时，同学们务必要沉着冷静，仔细审题，抓住函数式的特征，明确函数的定义域和参数对函数奇偶性的影响，根据函数奇偶性的定义进行判断.同时要养成检查和验算的良好习惯，及时发现和纠正错误，从而确保解题无误.