谈谈解答圆锥曲线中定点问题的两种思路

王平 崔小林

圆锥曲线中定点问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样.解答圆锥曲线中的定点问题，通常需灵活运用圆锥曲线的方程、定义、几何性质、一元二次方程的判别式、韦达定理、直线的方程、斜率等.

求解圆锥曲线中的定点问题，一般有两种思路.第一种思路：先从特殊情况入手，确定定点的坐标，再证明定点与变量无关即可.第二种思路：先从一般情况入手，通过推理、运算，求得定点的坐标，或证明定点与变量无关.

（1）求椭圆C的方程;

（2）如图，若直线l：x=t（t>2）与x轴交于点T，点P为直线l上异于点T的任意一点，直线PA，PA分别与椭圆C交于M，N点.试问直线MN是否恒过椭圆C的焦点？如果是，请说明理由.

分析：我们根据题意很难找到特殊的情形，所以无法从特殊情况入手，需采用第二种思路求解.可根据题意分别设出点M、N、直线AM、AN的斜率以及方程，然后将直线的方程与椭圆的方程寐立，得到一元二次方程，根据韦达定理求得的坐标以及直线MN的方程，据此判断出直线MN是否恒过椭圆的焦点.

（2）设M（x，y），N（x，y），直线AM的斜率为k，直线AN的斜率为k，

则直线A₁M方程为y=k（x+2），直线AN的方程为y=k（x-2），

消去y得（1+4k）x+16kx+16k-4=0，

因为-2和x是方程的两个根，

由于P点在直线PA，PA上，尸点的横坐标为t，

即直线MN与x轴的交点在椭圆C内.

在判断直线是否恒过某一定点（x，y）時，如果直线的方程明确，则可根据直线的点斜式方程y-y=k（x-x）或截距式方程y=kx+b来求得定点的坐标;如果直线的方程不确定，则需根据题目中的条件求出直线的方程，然后根据直线的方程求得定点的坐标.

由此可见，第二种思路的适用范围较广.而运用第二种思路求解圆锥曲线中的定点问题，往往需按照以下步骤操作：

1.设出参数，如点的坐标、斜率、截距等，得出直线、圆锥曲线的方程;

2.根据题意建立关系式，求得一个直线系或曲线的方程;

3.根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点，即为所求的定点.

另外，在设直线的斜率或方程时，务必要考虑全面，不要忽略直线的斜率为0或不存在的特殊情形.