利用常数变易法求解线性微分方程

◎李容星(湖北师范大学文理学院，湖北 黄石 435109)

一、引 言

没有一阶非齐次线性方程那样的通解公式.本文主要利用降阶法先求解对应的二阶齐次线性方程，并把常数变易法推广到求解二阶非齐次线性方程中，得到二阶非齐次线性方程的通解公式，以便于更方便地求解这种类型的方程.

二、一阶线性方程的解法

定理1可分离变量的一阶微分方程为

定理2一阶齐次线性方程为

(1)

从而该定理得证.

利用该一阶齐次线性方程的解可以求对应的非齐次方程.

定理3一阶非齐次线性方程为

(2)

(3)

定理4伯努利方程为

其中n为常数，且n≠0,1.

令z=y1-n，于是得到关于z的一阶线性方程：

例1求方程y′+2y=xe-x的通解.

例3 求方程y3dx+(2xy2-1)dy=0的通解.

解首先将其化为标准方程

解首先将其化为标准方程

解首先将其化为标准方程

三、二阶线性方程的解法

定理5二阶齐次线性方程为

(4)

则：

(1)如果y1(x),y2(x)是该方程的两个解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)也是该方程的解，其中C1,C2为任意常数.

(2)如果y1(x),y2(x)是该方程的两个线性无关的解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数.

定理6二阶非齐次线性方程为

(5)

如果y*是该方程的一个特解，Y是对应的齐次方程(4)的通解，则方程(5)的通解为y=y*+Y.

借助上述解的结构理论，可以求解二阶线性方程.

定理7二阶齐次线性方程为

(4)

证明：由y=y1(x)是方程(4)的一个非零解，于是

(6)

利用该二阶齐次线性方程的解可以求对应的非齐次方程.

定理8二阶非齐次线性方程为

(5)

(7)

(8)

(9)

从而该定理得证.

因此通解为y=y1u=C1(2x+1)+C2ex.

从而

因此通解为y=y1u=C1ex+C2x-(x2+1).

从而

因此通解为y=y1u=xln2|x|+C1xln|x|+C2x.

四、二阶常系数齐次线性方程

定理9 二阶常系数齐次线性方程为

(10)

其中p,q为常数，其特征方程为r2+pr+q=0，特征方程的解r1,r2称为特征根，且有如下结论：

(1)如果r1,r2为不等实根，则该方程的通解为y=C1er1x+C2er2x.

(2)如果r1=r2为二重根，则该方程的通解为y=(C1+C2x)er1x.

(3)如果r1,r2=α±iβ为两个复根，则该方程的通解为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).

把er1x,er2x代入方程(10)中有

即er1x,er2x是方程(10)的两个线性无关的解，由定理5可知y=C1er1x+C2er2x是该方程的通解.

因此该方程的通解为y=y1u=(C1+C2x)er1x.

(3)当r1,r2=α±iβ为两个复根时，y1=er1x,y2=er2x同样是方程(10)的两个线性无关的解.由欧拉公式，得

由解的结构理论，得

也是方程(10)的解，因此该方程的通解为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).

例11求方程y″-2y′-3y=0的通解.

解特征方程为r2-2r-3=0，特征根为r1=-1,r2=3，从而通解为y=C1e-x+C2e3x.

例12求方程y″+2y′+5y=0的通解.

解特征方程为r2+2r+5=0，特征根为r1,r2=-1±2i，从而通解为y=e-x(C1cos 2x+C2sin 2x).

五、结 语

求解线性方程是常微分方程中一个非常重要的工作，在数学及其他实际问题中，可以将非线性的问题近似为线性问题，通过其通解公式可以获得比较简洁的解答.在第一部分中，本文利用变量分离法来求解一阶齐次线性方程，并用常数变易法求解一阶非齐次线性方程，得到了一阶线性方程的通解公式，并给出了相关的应用.在第二部分中，本文利用降阶法求解二阶齐次线性方程，并把常数变易法推广到求解二阶非齐次线性方程中，得到了二阶线性方程的通解公式，并给出了相关的应用.本文旨在把常数变易法从低阶方程推广到高阶方程，让学生意识到，只要掌握好该思想，就能够得到线性方程的通解公式.