培养学生应用意识复习课一例

◎何 婷(辽宁省锦州市第八初级中学，辽宁 锦州 121000)

一、教学内容

北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下学期中考专项复习——“三角函数的应用”.

二、内容解析

初中阶段“三角函数”是“空间与图形”领域的重要内容，主要研究锐角三角函数、解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题.它是学生在高中继续学习三角函数的基础，是中考必考内容，其实际应用问题更是命题的重点和热点，其命题背景与实际生活密切联系，是应用数学知识解决实际问题的一类典型题.这类问题在考查三角函数基础知识的同时对学生构建数学模型有了更高的要求，解决问题的关键是要善于从复杂的图形中识别和构造出基本图形，把错综复杂的问题简化，抽象为合理的数学模型.因此，本节课的教学重点为：从实际问题中抽象出基本图形，掌握并灵活应用各种数学关系解直角三角形.

三、教学目标

(1)灵活应用直角三角形边角关系解直角三角形.

(2)经历从实际情境中抽象出数学基本图形和数学关系的过程，感受模型、抽象的基本思想在锐角三角函数中的应用，积累数学建模的经验.

(3)经历观察、讨论等数学活动过程，发展合情推理能力.

(4)在解决具体问题过程中，体会数与形之间的联系，感悟数学思想，积累解这类问题的经验，发展应用意识和解决问题的能力.

目标解析：

目标(1)：在解决三角函数实际问题时，我们首先要运用转化的思想方法把实际问题转化为数学模型，然后找出要解的直角三角形(对于非直角三角形问题，则需要添加辅助线将其转化为直角三角形问题)，再根据锐角三角函数，选择合适的边角关系，求出未知数的值.因此，熟练灵活地应用各种关系解直角三角形是解决锐角三角函数实际应用问题的工具和基础，为本节课的目标.

目标(2)：本节课通过对实际问题的讨论，培养学生的问题意识，让其经历从实际问题中抽象出两类基本图形和数学关系的过程，引导学生感受当两个目标直角三角形都不可解时，用方程思想来解决,会产生柳暗花明之效，并渗透数学建模的思想.

目标(3)：自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.因此教师要给学生自主探索的时间，让其在观察、交流等数学活动中，逐步发展合情推理能力.

目标(4)：通过解决具体问题的过程，让学生归纳总结出数学方法，进而升华成数学思想，是一种有效的教学手段.因此以经典范例为载体，逐渐渗透数学思想方法为本节课的教学目标.

四、学情分析

在知识层面上，九年级学生已经熟练掌握了勾股定理及三角形相似，也学习了锐角三角函数和特殊角度的三角函数值，并且掌握了直角三角形中各边和各角的关系.在此基础上，学生解直角三角形难度并不大，但在深入研究几何图形的基础上，根据已知条件，灵活恰当地选择直角三角形边角之间的关系，并达到熟练运用的程度还有一定困难.

在心理层面上，九年级学生经过近三年的初中学习和生活，逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，记忆能力、观察能力和想象能力也迅速发展，他们思维活跃，有较强的接受能力和推理能力，同时具备一定的数学探究活动经验和应用数学的意识.但学生抽象概括能力有限，将实际问题抽象为数学问题，特别是将实物图形抽象为几何图形，以及综合运用所学知识解决问题的能力有待提高，因此学生需要通过观察、思考、交流，进一步体会“航海”“物体测量”等实际问题与锐角三角函数之间的联系，感悟数学思想，积累解题经验，提高应用数学和合作交流的能力.

基于以上分析，本节课的教学难点是：从实际问题中抽象出基本图形，掌握并灵活应用各种数学关系解直角三角形.

五、教学支持条件分析

(1)学习工具单的使用避免了“老师讲，学生听”的满堂灌的学习，使学生有了思维空间，学习效率更高.

(2)在设计并应用PPT课件整合教学资源的同时，教师运用几何画板可以帮助学生直观理解基本图形之间的关系.

(3)各小组用答题板展示学习成果，这样便于各小组之间的交流，也能使教师直接观察到学生解决问题时出现的亮点和错误，有助于教师了解学生的学情.

(4)教师以典型范例为载体，遵循启发、吸收、消化、发展的认知规律进行总体策划，分阶段、有步骤地渗透数学思想方法，在解题过程中，充分发挥数学思想方法对发现解题路径的定向、联想和转化功能，引导学生举一反三，触类旁通.

(5)通过小组交流讨论，学生能独立思考，构造出实际问题中的直角三角形，并有意识地运用方程思想，通过解直角三角形来解决实际问题，这是一个质的飞跃.

六、教学过程设计

1.提出问题，引出课题

师：老师有一个问题想请同学们帮忙解决.

图1

引例：如图1,分校和老师家都位于东湖的堤坝线MN上，它们相距2000 m，主校、分校及老师家构成了一个三角形ABC，测得∠ACB约为30°，∠ABM约为60°，我想知道主校到东湖堤坝线MN的距离是多少？

师：你想用什么知识解决这一问题？

【师生活动】教师提出问题，引导学生抽象出数学图形，运用启发式追问让学生积极思考后引出课题.

【设计意图】教师利用与生活实际有关的具体情境，让学生体验由生活情境抽象出数学问题的过程，感受数学建模思想的运用，提高应用数学的能力.

2.课前整理，复习回顾

问题(1)：三角函数有什么作用？(求线段长或求角度)

问题(2)：你还学过哪些求线段长的方法？

追问：哪种方法更简便？

问题(3)：在解决此问题的过程中，你发现三角函数的应用有哪些类型？

【师生活动】在教师引导下学生积极思考回答，总结求线段长度常用的基本方法(勾股定理、相似、三角函数)，发现三角函数应用的常见类型.

【设计意图】通过学习工具单上的课前练习和本环节层层递进的问题串，学生进一步感受到三角函数是求线段长度的有力工具，在原有求线段长度的经验的基础上，进一步深化理解三角函数方法的简便性，并从中总结出三角函数应用的类型(即①只在一个直角三角形模型中应用三角函数，②两个及两个以上直角三角形模型中应用三角函数)，为下面抽象、归纳出两个基本图形做好铺垫.

问题(4)：在一个直角三角形中应用三角函数需要满足什么条件？其解题策略是什么？

问题(5)：应用三角函数解决实际问题时已知条件常为斜三角形，我们应该如何应对？

问题(6)：对如图所示的斜三角形应如何作高使其转化为直角三角形？你有几种方法？

问题(7)：这两个基本图形有什么联系？

【师生活动】通过学习工具单，学生已经在课前进行了讨论，明确了确定直角三角形的条件和解题策略(有斜用弦、无斜用切、宁乘毋除、取原避中)，对于斜三角形也有运用转化思想化斜为直的意识.教师运用几何画板让学生对斜三角形作高，引出两个重要基本图形，并引导学生初步感知两者的联系.

【设计意图】教师再次通过问题串启迪学生思维，引导学生运用转化的数学思想发现三角函数应用中的两个重要基本图形并形成感性认识，为下面小组合作探究环节形成对两个基本图形的理性认识奠定基础.

3.合作交流，探求新知

活动一：小组合作，探究策略

探究图2,在这几种情况下，当a为已知量时，如何求x的值？从中你总结出了哪些解题策略?

图2

【师生活动】教师先让学生独立思考，再进行分组交流和归纳，小组内学生达成共识后，各小组将自己的答案写在本组答题板上.所有小组完成后，各组代表展示讲解，其他组做对比、评价，教师逐步引导学生归纳出两类基本图形的三种题型：

(1)两个直角三角形均可解；

(2)一个直角三角形可解从而另一个也可解；

(3)两个直角三角形均不可解.

【设计意图】教师在课前给学生探索的时间，课上通过小组合作交流，充分挖掘学生潜能，发展合作探究能力.此环节突出了本节课的重点，学生在深入研究几何图形的基础上，进一步提高了根据已知条件，灵活恰当地选择直角三角形边角之间的关系解决问题的能力，在比较和体会各图形求解方法之间的差异与共性的同时，感受到方程思想在解决三角函数实际问题中的作用，为突破本节课的难点做好了铺垫.

活动二：例题板演，规范书写

【师生活动】师生共同分析，教师板演.

【设计意图】本环节培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，让学生明确三角函数实际应用的步骤及解题过程.

本环节设定在上一环节之后，在对基本图形深入分析的基础上，让学生对数学建模思想从表象认识逐步上升为本质认识.有了再认识，学生在解决后面实际问题时，就会潜移默化地应用建模和数形结合思想以及归纳的解题策略去解决问题.这样学生就能用建立图形与解直角三角形的经验去深入研究后续的问题，学会抓住事物的本质属性，逐步形成能力.

活动三：图形变换，化斜为直

图3

【师生活动】学生独立思考后，交流解题方法，教师引导辨析总结.

【设计意图】初看此题，从图形、条件到问题给人的感觉和上一道例题属于一个类型，我们仔细思考可以发现，由于特殊条件的限制，过点P作垂线的方法不可行，但本质上有相通之处，稍加点拨，学生找到了解题方法.此环节意在让学生学会多方法、多角度地分析解决问题，体会基本图形之间的变化联系和数学知识的辩证统一，从而突破难点.

4.归纳小结,内化升华

师：通过本节课的学习你能从知识内容、解题策略、思想方法等方面谈谈收获吗？

师生总结：了解几何模型之间图形变换关系，有助于更有效地理解题意从而建立模型.

【设计意图】教师引导学生梳理本节课相关知识和数学思想方法，形成知识网络，逐步提升对数学思想方法的理性认识.

5.板书设计

图4

【设计意图】思维导图式板书是课堂教学引人入胜的“导游图”.首先，思维导图可以直观形象地展示思维过程，凸显重点和难点，体现教学意图，提高课堂教学效率，增强教学效果，能更有效地实现课堂教学目标；其次，思维导图的呈现方式既可以刺激学生的多种感官，激发其学习兴趣，调动其左脑的逻辑思维，又能激发右脑的创造力和想象力，启发学生独立思考，培养学生发散思维和创新思维；最后，这样的板书有助于学生建构知识网络，把握知识之间的内容联系和数学的本质.

七、总 结

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中提出了10个核心概念，其中包括数学应用意识，并且在数学课程的四个部分内容教学中都有体现，因此数学应用意识是数学核心素养的重要组成部分.而学生的应用意识主要体现在以下两个方面：一方面是利用数学知识解释现实世界中的现象，并解决现实世界中的问题；另一方面是将现实生活中许多与图形和数量有关的问题抽象成数学问题的过程，并用数学的方法予以解决.因此，教师在整个数学教学的过程中都应该注重培养学生的应用意识.

本文以“三角函数的应用”为例说明了教师如何建立数学应用课堂教学模式来培养学生应用数学解决问题的策略，即：使学生受到数学问题和实际问题的双向转化训练，经历“分析实际问题—构建数学模型—建立数学关系式—解数学问题—回归实际问题”几个环节，通过“问题—讨论—探索—发现—应用”的过程，使学生真正意识到数学与生活的密切联系.也只有这样，学生才能够真正体会到数学的应用价值，在掌握解决实际问题的一般思想方法的同时，形成科学的思维习惯，并具备自觉应用数学的意识.结合本课，教师应用此模型时应注意以下几点：

1.问题设计应符合学生认知规律且突出数学本质

学生接受新知识，必须具备一定的知识基础.新知识的教学围绕学生具备的知识基础展开，使教师传授的知识贴近学生知识的最近发展区.如问题(1)的提出，让学生体验由实际情境抽象出数学问题的过程，培养学生用数学的观点和方法去看待客观世界的素养，提高学生应用数学的能力.问题(2)～(3)让学生在原有求线段长度的经验的基础上，进一步深化理解三角函数方法的简便性，并从中总结出三角函数应用的基本类型.问题(4)～(7)通过问题串启迪学生思维，引导学生发现三角函数应用中的两个重要基本图形，并形成感性认识，为下面小组合作探究环节形成对两个基本图形的理性认识奠定基础.

2.数学思想方法渗透和解题经验总结应贯串教学始终

数学思想方法是数学的灵魂.本节课的教学设计，从始至终都突出了数学思想方法的教学.例如，应用三角函数解决实际问题的过程体现了数学建模思想的运用；分析基本图形之间的联系和化斜为直的方法，体现了转化思想的运用；通过小组交流归纳出两类基本图形的三类题型，蕴含着分类的数学思想；解决两个直角三角形都不可解的类型，运用了方程思想.整节课的学习过程，都是教师引导学生解决一系列由浅入深的实际问题，使学生逐步感悟数学思想方法，积累解决“航海”“测量物体高度”等实际问题的经验.

3.自主学习与合作交流应注重实质

自主学习不是自由学习，需要教师的精心指导，合作交流不同于小组讨论，需要在教师有目的有计划的引领下进行.教师应注意两方面：一是合作交流要有一定的时间做保证，并要在学生进行了比较充分的自主学习和独立思考的基础上进行.没有以独立思考为基础的小组合作交流是低效的.本节课的自主探索环节是课前学生在教师精心设计的学习工具单的指导下已对课上内容有了了解，这样大大提高了课堂效率，也让合作交流的时间更充分.二是教师适时引导，合作交流建立在了解学生认知需求和交流需求的基础上.交流不仅是学生之间的交流，也是师生之间的互动交流，如果没有教师有价值的引导，学生的主体性就不会得到充分发挥.

4.精选范例揭示规律，从而形成解题策略

教师通过典型范例，提示三角函数应用问题解题规律，使学生形成典型问题的解题策略.对于本节课的每个典例，教师都是引导学生解答、反思，总结解题策略和经验，举一反三，触类旁通，提炼数学思想方法，让学生在学习的过程中收获“渔”而不是“鱼”.例题和变式练习具有典型性、启发性，因此学生在分析和思考解决问题的过程中，充分展示出了数学思维和具有代表性的数学方法，并从中抽象出基本图形和解题规律，较好地发展了学生的数学素养.

5.借助思维导图式板书促进数学应用意识的培养

培养学生数学应用意识，关键就是培养学生抓住问题中的数学本质的能力，而思维导图是一种有效的教学方法，它能够将很多数学知识联系在一起，并能够系统、完整地展现出来，这种直观、严谨、易懂的方法能够帮助学生构建知识体系，明确数学知识之间的内在联系，抓住数学本质，从而在一定程度上促进学生数学应用意识的养成.