GeoGebra可视化数学软件支持下的圆锥曲线定义性质探究

◎强德平(甘肃省兰州市第五十一中学，甘肃 兰州 730000)

一、引 言

什么是圆锥曲线？用一个水平平面去截圆锥，得到的截口曲线是圆(如图1).古希腊人发现，如果改变平面的角度，会得到椭圆、双曲线、抛物线等一系列曲线，人们便将这些从圆锥中截取而来的曲线称之为圆锥曲线.我们利用GeoGebra中的滑动条按钮，改变平面的倾斜度，会清晰地看到这三种曲线.根据原始定义，我们会发现这样的曲线有椭圆(如图2)、抛物线(如图3)，如果我们在圆锥顶部再放置一个等大的圆锥，会得到新的截口曲线——双曲线(如图4).

图1

图2

图3

图4

虽然圆锥曲线的原始定义很好地交代了曲线的来源和命名的理由，但是无法让学生准确理解圆锥曲线的原始定义和第一定义之间的关系.例如椭圆的定义为：平面上到两定点的距离等于定值的动点的轨迹，其中定值大于两定点间的距离.我们利用GeoGebra动态数学软件，构建Dandelin双球模型，可以直观地解释这个问题.

二、椭圆定义研究

如图5，在圆锥内部放两个球，使其分别和圆锥表面和截面相切，将两个球和截面的切点分别记为F1,F2.下面说明截面与圆锥的截面：在截面曲线上任取一点P，过点P作圆锥的母线切两圆于E,F两点，由圆外一点作切线的性质可知，|FP|=|F1P|，|EP|=|F2P|，因 |EP|+|EF|为定值，所以|F1P|+|F2P|为定值，得证.

图5

三、双曲线定义研究

如图6，在对顶放置的两个圆锥内部放两个球，使其分别和圆锥表面和截面相切，将两个球和截面的切点分别记为F1,F2.下面说明截面与圆锥的截面：

图6

在截面曲线上任取一点P，过点P作圆锥的母线切两圆于E,F两点，由圆外一点作切线的性质可知，|FP|=|F1P|，|EP|=|F2P|，因|EP|-|EF|为定值，所以|F1P|-|F2P|为定值，得证.

四、抛物线定义研究

抛物线推导过程与前两者略有不同，下面先给出等价标准定义：如图7，根据抛物线定义可知，|PF|=|PB|，等价于|PF|=|PP′|+|AF|.

图7

如图8，在圆锥内放置一球，使其和圆锥表面和截面相切，和圆锥相切的部分为图中黑色圆，和截面相切于点P，下说明截面与圆锥的截面.过点A作圆锥的母线BC，连接A、F并延长交圆锥底面与截面的交线于点D，过点A作圆锥底面与截面的交线的平行线，在截面曲线上任选一点P，过点P作AD的平行线PP′，显然|PP′|=|AD|.作圆锥的母线EP.由截面与球相切可知，三角形ADC为等腰三角形，所以|AD|=|AC|，由球面切线性质可知，|EP|=|BC|，|EP|=|FP|，|AF|=|AB|.所以|PP′|+|AF|=|AC|+|AB|=|BC|=|PF|，得证.

图8

五、光学性质探究

在圆锥曲线的众多性质中，光学性质是最为重要和应用最为普遍的性质.椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点.我们利用GeoGebra软件中的点反射工具、迭代与迭代列表指令，可以形象地描述这一性质.如图9，我们可以清晰地看到，从焦点中射出的光线，经过椭圆反射后，会经过另一个焦点.双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们的反向延长线经过另一个焦点，如图10.抛物线的光学性质是：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，如图11.

图9

图10

图11

六、圆锥曲线光学性质的证明

1.椭圆

图12

2.双曲线

图13

3.抛物线

图14

关于圆锥曲线的光学性质，在传统教学概念中，教师是直接给出的，学生缺乏直观感受.而几何知识恰恰与光学性质紧密联系，我们利用GeoGebra动态数学软件，可以动态刻画光的路径，教会学生用数学的眼光观察世界.此外，学生体悟了圆锥曲线的光学性质后，将会对数学之美和数学之用产生深刻印象.

七、结束语

数学难教、难讲、难理解，原因是其具有高度的概括性和抽象性.在具体的教学过程中，如果教师对于学生好奇的地方模糊处理，不仅不利于学生理解学习概念，还会对学生探究、想象和抽象能力的培养造成阻碍.在信息时代，GeoGebra动态数学软件的应用，为数学抽象概念的学习搭建了良好的平台.本文所研究的内容，其优势在于：一是将抽象的圆锥曲线截取定义可视化，便于学生理解知识的起源过程；二是将动态定义中的定量关系灵活转化，便于学生理解知识的原理规律；三是将动态表征灵活处理，通过旋转、缩放、迭代等方式，增强学生的直观感受.在课堂教学中，教师深度挖掘GeoGebra动态数学软件的辅助功能，将让学生的直观想象能力得到深度培养，使其具备解决问题的能力.