论数形结合思想在高中数学解题中的优势与应用

陶政国

摘要：在新的教育教学改革目标下，高中的教育教学主要面向的是高考，要让学生在牢固掌握基本的数学基础知识之外，还需要掌握对应的数学思想，要能够将数学思想应用到数学的学习中，这样能够提高学生的解题能力.數形结合思想作为高中数学学习中经常用到的思想，有着很大的应用优势.本文将从高中数学解题中数形结合思想的应用优势进行分析，提出有效的应用措施.

关键词：数形结合思想;高中数学;应用措施

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0078-03

在高中数学的学习过程中，数与形是学习数学的主要内容，在解数学题过程中，要将数与形结合应用，这也就产生了数形结合思想.数形结合思想是高中数学学习中的一种重要思维模式，通过数形结合思想将数学问题进一步简单化，可以最终解决问题.在教育教学进行有效改革之后，学生掌握数学基础知识，对解数学题中应用到的各种思维方法进行分析和掌握，能够更好地应用这些思维模式解决数学问题，可以有效解决数学中的一些抽象知识，简化数学知识的学习.1 数形结合思想的应用优势

数形结合包括数学语言、集合、逻辑语言和函数等，在解题中可以充分应用图形对抽象的数学问题简单化，该种方法在高中数学学习中应用比较普遍，可以使得抽象的数学知识具体化.

一是可以提高解题效率.高中数学的学习难度进一步加深，而且有着很强的抽象性和逻辑性，在进行数学题目的讲解过程中，如果有效应用数形结合的教学方法，可以将抽象的数学题目通过数形结合表示出来，可以使得题目的解答更加客观，也能够将需要讲解的知识点及时传达给学生.

二是促进学生的发展.数学问题的解答主要是通过直观的图形对数学问题进行解剖，学生在解决数学问题时，会结合图形解决数学问题，在学习方法方面加强优化，培养学生有效的逻辑思维能力.

在对数形结合方法进行有效应用时，还需要遵循一定的原则.等价原则和双向原则是最基本的两种原则，等价原则指的是解题中要有代替性的思维，建立的图形要与题目对应.双向原则注重的是将抽象的题目进行转变，利用数形将抽象的题目具体化，要将数的基本思想和形的直观性结合起来，将复杂的数学问题简单化.

2 数形结合思想在高中数学解题中的应用

2.1 在高中函数中的应用

函数的学习是高中数学中的难点和重点，函数题型很容易出错，如果在解函数题时采用常规的解题思路和方法，整体的解题效率会降低，而且速度也较慢.因此，解决函数题目时，就需要应用到数形结合思想，要将题目中的问题与图形有效结合起来，可以通过图形将题目中的问题具体化，也能够抓住题目中的解题要点.函数中的解题思路是主要抓住函数的运动轨迹和变化规律分析函数中的数量关系，能够快速解决函数问题.

例1直线y=-2x+2与x轴和y轴相交于A，B两点，点C则在y轴的负半轴，而且OC=OB，求AC的解析式.

分析先根据坐标轴上点的坐标特征求出A（1，0），B（0，2），再利用C在y轴的负半轴上，且OC=OB得到C（0，-2），然后利用待定系数法求直线AC的解析式.

解析当y=0时，-2x+2=0，解得x=1，则A（1，0）.当x=0时，y=2，则B（0，2）.

因为点C在y轴的负半轴上，且OC=OB，所以C（0，-2）.

设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（1，0），C（0，-2）代入，

得出直线AC的解析式为y=x-2.

在该函数的解题中，需要应用数形结合的思想，同时要对题目的条件充分理解，这样学生才可以找出解题的突破口，将数形结合的规律应用到其中，快速解出题目.

2.2 在集合问题中的应用

在高中数学学习中，集合的学习也是比较重要的一个章节，考试内容中也会出现相关的集合题目，多是针对集合的交、并问题出题目，解该类问题时也是需要注重应用数形结合方法，可以将题目汇总的数学问题直接转化为图形的方式，使得对题目的理解更加简单.

例2A={x|-1<x≤2}，B={x|-1≤x<a，a∈R}，若AB，求a的取值范围.

解析A={x|-1

在解答该类数学问题时，需要应用到数轴进行题目的简化，对题目内容进行理解，将题目中的内容一一列举出来，这样就有了清晰明确的条件，实现对数学题目的简化，可以高效解决数学问题，集合问题在高中数学中也是一个重要的内容，需要重点学习，有效掌握，应用范围比较广泛.

2.3 在解析几何中的应用

高中解析几何的学习中，主要是学习点、线、面组成的数学问题，解析几何的学习对很多学生来讲都有一定的难度，因为解析几何中包含空间几何的内容，有三视图和直观图，在解析几何的学习中，也会有空间几何的面积和体积计算，解析几何的难度也加大了.在空间几何的学习中，首先需要具备一定的空间思维能力，这样才可以借助图形解答几何问题.在解空间几何题目时，可以将空间几何理解成多个平面图形重叠而成，要将几何图形准确画出来，才可以充分了解空间图形的特点，从中找出有利于解题的条件.数形结合的解题方法可以将条件之间的关系呈现出来，使得解题思路更加明确，也能够快速解出题目.

例3当三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3，4，5，则OP长为多少.

解析假设构造的长方体棱长分别是

a，b，c，点P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，则

a2+b2+c2=32+42+52=50.

因为OP是长方体的对角线，

所以OP=52.

2.4 在排列组合中的应用

在解排列组合数学题目时，应用“数形结合”思想可以使得题目解答更加容易，需要从题目中给出的条件画出对应的图形，题目的解答会比较简单.

例4A={-1，0，1}，B={2，3，4，5，6}，映射f：A→B，使对任意属于A的x，都有x+f（x）+xf（x）是奇数，则这样的映射有（）个.

解析由题意分析知，要使x+f（x）+xf（x）是奇数，则x与f（x）要么同是奇数，要么一奇一偶，不能同时为偶数.

当x为奇数时，f（x）奇偶均可，所以为52.

当x为偶数时，f（x）必为奇数，所以为22.

根据映射定义，A中三个元素都要取到，所以这是分步，应用乘法原理，可得52×2=50.

2.5 在位置中的应用

通常两个点就可以画出一条线，三个点就可以画出一个面.点、线、面之间存在某种关系.而且点与直线的关系，也有点在线上、点在线外两种情况，但是直线和平面之间存在很多种关系，如线线相交和线面相交的关系.又如，当一条直线上的两个点都在平面内，线与平面之间存在什么关系.这就需要根据题目中的条件画出图形，再结合学习到的有关直线和平面的相关理论，就可以快速进行回答.这也是应用数形结合的思想，再加上一些公理，才能夠快速理解题目，得出重要的结论.

例5若直线y=x-2与圆x2+y2=r2相切，

（1）求r;

（2）与两坐标轴都相切且过（1，2）的圆的方程是什么？

解析已知圆心在原点（0，0）上，所以该题就是求原点到直线的距离，套用公式

r=|-2|12+（-1）2=2.

根据题意可知，圆心到x，y轴距离相等，也就是圆心坐标的绝对值相等.

又因为经过的点（1，2）在第一象限，所以圆心也在第一象限，设圆心坐标为（a，a），圆的方程为

（x-a）2+（y-a）2=a2，

将（1，2）代入可得

（1-a）2+（2-a）2=a2，

解得a=1或a=5.

所以圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=1或（x-5）2+（y-5）2=25.

综上所述，解答高中数学题时，要灵活应用“数形结合”的思想，因为该种思想在数学问题中应用十分重要，可以使得数学题目更加简单化，将题目中的条件都可以通过图形表示出来，就可以直接从图形中得出答案，该种方法的应用可以培养学生的数学素养，让学生获得更多的数学解题方法，促进学生思维的发展.

参考文献：

[1] 谢梅.数形结合思想在高中数学解题教学中的应用[J].语数外学习（高中版中旬），2021（08）：55.

[2] 李志琴.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[J].新课程，2021（31）：128.

[3] 陈宏科.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用方法研究[J].考试周刊，2021（39）：53-54.

[4] 叶明理.浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用策略[J].考试周刊，2020（A1）：83-84.

[责任编辑：李璟]