一个面积恒等式及其应用

2022-07-09 01:05江苏省无锡市第六高级中学214023
中学数学研究(江西) 2022年7期
关键词:恒等式竞赛题线段

江苏省无锡市第六高级中学 (214023) 谢 吉

三角形塞瓦线背景下有很多有趣的结论.笔者在学习、研究的过程中,关注到一个面积恒等式,利用该面积恒等式简捷地证明或解答了一组几何竞赛题,为一类几何竞赛题增添了一道亮丽的风景线.

命题如图1所示,点P是△ABC内一点,直线AP,BP,CP分别交线段BC,CA,AB于点D,E,F,记S△BPD=x,S△CPD=u,S△CPE=y,S△APE=v,S△APF=z,S△BPF=w,则xyz=uvw.

图1

就图形特征来说,塞瓦线型几何竞赛题的线段比例关系,均可转化为面积的比例关系,把相关几何元素用x、y、z、u、v、w(或比例)表示出来,这样,在处理问题时,显得十分灵活、简便.

例2 (第32届IMO试题)如图2所示,设P是△ABC内的一点,求证:∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30°.

图2

例3 (第37届IMO预选题)如图3所示,设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为P,半径为R,AP交BPC所在的圆于另一点A′,BP交CPA所在的圆于另一点B′,CP交APB所在的圆于另一点C′,证明:PA′·PB′·PC′≥8R3,并指出在什么情况下等号成立?

图3

例5 (2012年第24届亚太数学(APMO)竞赛试题) 如图4所示,已知P为△ABC内部的一点,且D、E、F分别为直线AP与边BC,直线BP与边CA,直线CP与边AB的交点.如果△PFA,△PDB与△PEC的面积为1,试证明:△ABC的面积为6.

图4

几何竞赛题的求解历来是难点,尤其是几何不等式的证明.学习的过程中,追求自然而平凡的证明一直是笔者的追求.在这个基本图形中,是否还有其他的面积关系?留给读者思考.

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