含绝对值函数的几个典型问题探究

江苏省灌云高级中学 (222000) 张金香

在近几年的函数与不等式问题的高考题中，经常出现含有绝对值的形式，其中如何化解掉绝对值是解题的关键，而通过平方、分类讨论、画函数图像、利用绝对值的意义、运用绝对值不等式模型等方法等是非常有效的，请看题例分析.

一、解不等式问题

例1 已知函数f(x)=|3x-b|，若不等式f(x)<4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求参数b的取值范围.

点评：这是解绝对值不等式的逆运算，抓住不等式的有整数解的条件，找到限制了参数的范围，从而就得到了参数的取值范围.

二、函数零点问题

点评：此题表面上看是二次函数与绝对值的综合问题，而实质是含两个绝对值不等式问题，这里巧妙地利用了两项绝对值和的几何意义，使问题轻松获解.

三、函数单调性问题

例3 若函数f(x)=x2+t|x-1|在[0,+∞)是单调递增，求实数t的取值范围.

点评：本题中已知函数的单调增区间，欲求其参数范围就必须将函数转化为常规的二次函数就可以了，故而通过分段讨论化解绝对值是必然之路.

四、函数不等式恒成立问题

例4 已知函数f(x)=x|x-k|-2，若x∈[0，1]时，f(x)<0恒成立，求实数k的取值范围.

点评：利用函数的最值(或值域)是解决不等式恒成立问题的有效手段，本题中由于已知变量范围，故根据绝对值的性质转化不等式是解决问题的有效方法.

五、函数不等式有解问题

例5 若存在x<0，使函数f(x)=x2+|x-a|-2有负值，求实数a的取值范围.

点评：本题也是利用绝对值的性质通过反解不等式，将参数分离出来，然后构造函数，利用不等式的值域解决了不等式有解问题，这里必须注意有解与恒成立问题的区别.

六、函数方程的多解问题

例6 已知f(x)=

=m有三个根，求实数m的取值范围.

图1

点评：函数图像是函数性质的直观体现，解题时如果能够画出函数的大致图像，并标出函数图像的渐近线或经过的特殊点，即得到函数的主要特征，非常有助于问题的解决.