安徽省安庆市第二中学 (246001) 王 庆
含有任意和存在的双变量问题是数学中常见的两类题型,常见解法是考虑两者之间的最值和值域关系来解题.
题型1:∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)=g(x2)⟺f(x1)值域是g(x2)值域的子集.
题型2:∃x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)=g(x2)⟺f(x1)值域与g(x2)值域的子集交集非空.
若遇到双变量不是前两种情况的题怎样处理呢?
题1 设函数已知函数f(x)=ax+sinx+cosx(a∈R),若函数f(x)的图像上存在不同两点A,B,使得曲线y=f(x)在点A,B处的切线相互垂直,则实数a的取值范围是.
∴-1≤a≤1.
本题是一道双切线求参数问题,通过导数研究曲线上某点的切线方程.解答的关键在于由关于a的方程的根求解a的范围,具有一定难度,为了优化此题的解法先看两个结论:
结论1 函数f(x)的图像上存在A,B两点,使得曲线y=f(x)在点A,B处的切线垂直,若f′(x)的值域为[a,b],则ab≤-1.
结论2 函数f(x)的图像上存在A,B两点,使得曲线y=f(x)在点A,B处的切线垂直,若f′(x)的值域为(a,b](或为[a,b),(a,b)),则ab<-1.
同理可证结论2.
根据上面的结论,可得题1的:
结论推广:
推广1 函数y=f(x)的定义域为D,值域为[a,b],若存在x1,x2,使得f(x1)+f(x2)=c,则2a≤c≤2b.
推广2 函数y=f(x)的定义域为D,值域为[a,b],若存在x1,x2∈D,使得f(x1)·f(x2)=c,当c<0,则ab≤c.
推广3 函数y=f(x)的定义域为D,值域为(a,b]([a,b),(a,b)),若存在x1,x2,使得f(x1)·f(x2)=c,当c>0,ab≤0,则c≤{a2,b2}min.
推广4 函数y=f(x)的定义域为D,值域为[a,b],若存在x1,x2∈D,f(x1)·f(x2)=c,当c>0,ab>0,则{a2,b2}min≤c≤{a2,b2}max.
以上是关于同一个函数y=f(x)的存在问题,如果是两个不同函数y=f(x)和y=g(x)呢?
题2 设曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cosx上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为( ).
A.[-1,2] B.(3,+∞)
上面结论可以进行再推广,得到如下结论:
推广5 函数y=f(x)的定义域为D1,值域为[a,b],y=g(x)的定义域为D2,值域为[m,n],若存在x1∈D1,存在x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=c,则m≤c-a且n≥c-b.
推广6 函数y=f(x)的定义域为D1,值域为[a,b],y=g(x)的定义域为D2,值域为[m,n],若任意x1∈D1,存在x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=c,则[c-b,c-a]⊆[m,n].
上述分析的是有界函数求解方法,如果是无界函数呢,则情况比较复杂,需要回归到双变量两个基本题型,通过值域间的关系解决.
A.①② B.①④ C.②④ D.②③④
若A、B分别在x轴和y轴上,显然满足条件.所以②和④成立.
在数学解题中有许多精彩的解题思路,精妙的解法,让人惊叹不已.只要我们拥有发现的双眼,善于分析,认真思考,数学处处有惊喜.希望我们在平时的教学和学习中,去发现数学中更多精妙的解法.