一道联考试题的探究

福建省莆田第五中学 (351100) 蒲朝云

1.探究一般性结论

证明：对于右焦点F，当直线l的斜率不存在时，结论显然成立.当直线l的斜率存在且为0时，l1与l2平行，不合题意.当直线l的斜率存在且不为0时，设其方程为y=k(x-c)(k≠0),代入椭圆C的方程得b2x2+a2k2(x-c)2-a2b2=0,整理得(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+a2(c2k2-b2)=0.

结论1.1的逆命题成立吗？经过探究，答案是肯定的.可得如下内容.

2.探究结论的逆命题

3.探究结论的拓广

以上结论涉及的是椭圆的焦点，那么，对于“类焦点”F(m,0)(0<|m|

易知在上述结论的证明过程中，以“m”替换“c”，结论仍然成立，故将上述结论中的“焦点F”换为“点F(m,0)(0<|m|

由以上探究过程发现，对于椭圆C内的任意一点(非原点)F(m,n)，结论均成立，即对于椭圆C的任意弦(非直径)AB，结论均成立，故我们可以将条件“过点F(m,n)”去掉.由此可将结论1.1、1.2分别拓广为：

特别地，当直线l过焦点为F时，结论1.3、1.4分别为结论1.1、1.2，即结论1.1、1.2分别为结论1.3、1.4的特例.

以上结论揭示了椭圆的弦中点与端点处的切线的一个内在联系，那么，对于双曲线、抛物线，是否具有类似性质？经探究，可得如下结论.

4.探究双曲线、抛物线的相应结论

结论3.1 已知抛物线C：y2=2px(x2=2py)(p>0)，直线l交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，分别过A，B作切线l1，l2,且l1与l2交于点P，则直线PM平行于x(y)轴.

结论3.2 已知抛物线C：y2=2px(x2=2py)(p>0)，直线l交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，过点A作抛物线C的切线l1，l1与过点M且平行于x(y)轴的直线交于点P，则直线PB是抛物线C的切线.

下面只证明结论3.1和结论3.2中有关抛物线C：y2=2px(p>0)的情形.

对于抛物线C：x2=2py(p>0)，由结论3.1可得直线PM平行于y轴，即xP=xM,又由线段AB的中点为M，可得点A,P,B的横坐标成等差数列.这就是2008年全国高考山东卷(理)第22题第(1)小题的结论：如图1，设抛物线x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点，过点M引抛物线的切线，切点分别为A,B.(1)求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列；(2)、(3)略.

图1

图2

本文通过对一道联考题的推广、拓广探究，得到了圆锥曲线的弦中点与弦端点处切线的内在联系，揭示了问题的本质.学生的问题意识、探究意识和探究能力、创新思维能力得到了培养和提升.由此发展学生的教学核心素养.