王松涛
【摘要】平移问题是初中数学重点问题,常见线段、图形和曲线平移,前两个主要为几何特性分析,后者则注重数形结合推导.问题解析时需从平移中提取几何特性,结合平移规律建立模型、分析推导.
【关键词】几何平移;抛物线;数形结合
1 三角形平移的特性分析
例1 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12.在Rt△DEF中,∠F=90°,DF=3,EF=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,Rt△DEF从起始位置(点D与点B重合)平移至终止位置(点E与点A重合),且斜边DE始终在线段AB上,则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 .
分析 设点D和F平移到终点后的对应点分别为D′和F′,连接FF′,连接CF和CF′,以AB的交点分别设为M和N,再过点C作FF′的垂线,设垂足为I,与AB的交点设为H,如图2,则梯形FMNF′的面积就为所求区域的面积.
解析 可知四边形BFF′D′为平行四边形,则FF′=BD′=AB-AD′=10.在△ABC中使用面积公式求CH的值,即12CH·AB=12AC·BC,可求得CH=365.FF′∥NM,在△AD′F′中使用面积公式求HI的值,即12HI·AD′=12DF′·AF′,可求得HI=125,则CI=CH+HI=485.由于FF′∥NM,则CHCI=MNFF′,可解得MN=152.
则梯形FMNF′的面积为S=12MN+FF′HI=12×152+10×125=21.
2 矩形平移的综合探索
例2 如图3①中矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方,线段AB与点E、F都在直线l上,且AB=7,EF=10,BC>5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发,沿射线EF方向运动,矩形ABCD随之运动,运动时间为t秒.
(1)如图3②,当t=2.5时,求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度;
(2)在点B运动的过程中,当AD、BC都与半圆O相交,设这两个交点为G、H连接OG,OH.若∠GOH为直角,求此时t的值.
分析 (1)t=2.5时,BE=2.5,设BC与⊙O交于点M,如图4所示,则半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为ME.
解 可知OE=12EF=5,则OB=2.5,即BE=OB.分析可证△MBE≌△MBO(SAS),则ME=EO=MO,即△MOE是等边三角形,∠EOM=60°,所以ME=60π×5180=5π3.
(2)求平移中∠GOH為直角时t的值,连接GO和HO,如图5所示,此时∠GOH=90°.分析可推得∠AGO=∠BOH.
在△AGO和△OBH中,有∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBO=90°OG=OH,
则△AGO≌△BOH(AAS),所以AG=OB=BE-EO=t-5.
已知AB=7,AE=BE-AB=t-7,AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t,在Rt△AGO中,AG2+AO2=OG2,则(t-5)2+(12-t)2=52,可解得t1=8,t2=9,即t的值为8或9秒.
3 抛物线平移的模型构建
例3 已知二次函数y=x2+(m-2)x+m-4,其中m>2.
(1)当该函数的图象经过原点O(0,0),求此时函数图象的顶点A的坐标;
(2)求证:二次函数y=x2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限;
(3)如图6,在(1)的条件下,若平移该二次函数的图象,使其顶点在直线y=-x-2上运动,平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B,求△AOB面积的最大值.
分析 (1)简答,函数图象顶点A的坐标为(-1,-1).
(2)简答,设抛物线的顶点坐标为
2-m2,-m2+8m-204,
解 可知-m2+8m-204=-14(m-4)2-1≤-1<0,所以二次函数的顶点在第三象限.
(3)设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c,则其顶点坐标为-b2,4c-b24,可推得点B(0,c),其抛物线顶点在y=-x-2上运动,则满足其方程,代入后可解得c=b2+2b-84.由于点B在y轴的负半轴上,则c<0,所以OB=-c=-b2+2b-84.
过点A作y轴的垂线,设垂足为H,如图7所示,由点A(-1,-1)可推知AH=1.在△AOB中,可知S△AOB=12OB·AH=12×-b2+2b-84×1=-18(b+1)2+98,分析可知,当b=-1时,此时c<0,△AOB的面积取得最大值,且最大值为98.
4 结语
总之,平移是几何三大运动方式之一,我们要把握平移特性,总结平移规律,结合相关知识推导是平移问题常见的破解策略.而与函数相关的曲线平移,要充分数形结合,总结规律,几何分析特性,代数精准推导.