分类讨论思想在初中数学解题中的应用探索

陶洁静

【摘要】分类讨论思想是数学解题中比较常见的方法，可以很好地培养学生的一题多解能力，还可以帮助学生横向联系知识，有助于学生系统知识体系的建设，对于学生数学解题思维、解题能力提升都有很大帮助.初中数学教师要引导学生充分掌握分类讨论思想的特征，灵活应用分类讨论方法解决数学问题.

【关键词】 分类讨论思想;初中数学;解题

在数学学习中，分类讨论思想是一种比较简单、常用的数学思想，可以引导学生更加理性地思考数学问题、分类化解数学问题，从不同的角度对数学问题进行分析处理[1].通过分类讨论思想解决数学问题，可以更好地帮助学生整理知识点，并且能对数学问题进行分解、细化，有助于学生探索问题规律，简化难题.

1 初中数学解题中分类讨论思想的应用

1.1 引导学生树立分类讨论意识

课堂教学是培养学生分类讨论思想的重要平台，教师不仅可以在习题讲解中指引学生应用分类讨论思想，还可以指引学生用分类讨论思想来归纳整理知识点，便于学生对知识进行系统、全面的了解.在实际教学中，初中数学教师需要指引学生结合自身的学习情况，实现知识模块化学习，能对知识进行合理的分类[2].

1.2 学生互动分类讨论

对初中生来说，他们的思维还相对比较简单，对数学思想方法的认识还存在一定的不足.所以在实践中初中数学教师还需要在学生认识、了解分类讨论思想以后，指引学生针对这一思想进行互动交流，让学生能在讨论中加深理解，避免学生出现分类讨论复杂化的情况，影响学生的学习效果[3].

2 具体案例分析

2.1 在不等式问题处理中的应用

例1 已知不等式（n+3）x≥n2-25，求x的取值范围.

本题主要是对不等式的知识点进行考查，学生在解题中需要注意到多种情况，如n+3=0，n=-3时，x可以取得任意数值.对此，学生就可以利用分类讨论方法解决本题：

当n+3=0，n=-3时，不等式恒成立，因此x可以是任意的实数;

当n+3>0，n>-3时，x≥n2-9n+3=（n+3）（n-3）n+3=n-3，因此可以得出x≥n-3;

当n+3<0，n<-3时，同上可以得出x≤n-3.

综上所述，n=-3时，x是任意的实数;n>-3时，x≥n-3;n<-3时，x≤n-3.

在本题中，主要考查学生对不等式解法及分类讨论思想的应用.学生在本题中可以意识到，不等式中本身存在很多变量，在解题中要注意不能按照单一的思想处理问题，应该灵活的应用分类讨论思想，列出符合题意的所有情况，一一分析，然后完成解题.

2.2 在绝对值问题处理中的应用

例2 若|a|=3，|b|=2，a>b，求ba的值.

本题中，考查的是绝对值性质、幂的计算，本题的难点是b有两个取值，同时都小于a，所以学生在解题中应该灵活地应用分类讨论思想.

根据题意可以知道a=±3，b=±2，由于a>b，所以要对a、b的值进行分类討论.a=3b=2或a=3b=-2，因此可以得出ba=8或ba=-8.

2.3 在方程问题处理中的应用

例3 已知方程（m-3）x|m-1|+x2-3=0，如果以上式子是一元二次方程，需要m满足什么条件？

本题中，要想满足式子是一元二次方程，只需要x的指数小于等于2，为自然数即可，也就是|m-1|≤2.

当|m-1|=2时，m=3或m=-1，代入上式可以得出x2-3=0或3x2+3=0;

当|m-1|=1时，m=2或m=0，代入上式可以得出x2-x-3=0或x2-3x-3=0;

当|m-1|=0时，m=1，代入上式得出x2-5=0.

综上所述，m的取值是-1、0、1、2、3时满足题目要求.

本题中，主要考查了学生对一元二次方程定义的掌握情况，有的学生在解题中很容易出现遗漏答案的情况，通过分类讨论思想的应用，则可以很好地避免学生遗漏，对于学生解题准确性的提升十分有利.

2.4 在三角形问题处理中的应用

例4 如图1所示，直线l1和直线l2相交，同时有一个线段AB与直线l1相交，如果在两条直线上有一个点P，问什么情况下能使得△PAB是等腰三角形？

在本题中，学生需要先回顾之前学过的等腰三角形知识，然后在结合分类讨论思想进行处理.设等腰三角形PAB是以AB为底边;然后设线段AB是等腰三角形PAB的腰，有∠A是顶角及∠B是顶角两种情况，所以学生在解题中还要进行分类讨论.

（1）AB是△PAB的底边，如图2所示，做出线段AB的垂直平分线，与两条直线相交于P1、P2，由于垂直平分线上的点到与线段两个端点的距离是一样的，AP1=BP1，AP2=BP2，则△P1AB、△P2AB是等腰三角形.

（2）AB是△PAB的腰，∠A是顶点，如图3所示，A为圆心，AB为半径画圆，与两条直线相交与P3、P4、P5、P6.由于圆上的任意一个点至圆心的距离是一样的，则AB=AP3=AP4=AP5=AP6，可以得出△P3AB、△P4AB、△P5AB、△P6AB都是等腰三角形.

（3）AB是△PAB的腰，∠B是顶点，如图4所示，B为圆心，AB为半径画圆，与两条直线相交与P7、P8、P9、P10.同理可得AB=AP7=AP8=AP9=AP10，可以得出△P7AB、△P8AB、△P9AB、△P10AB都是等腰三角形.

综上，P点满足以上几种情况，可以使得△PAB为等腰三角形.

3 总结

由于分类讨论思想的应用并非是一朝一夕能完成的，需要学生不断地训练、应用，因此教师在日常教学中也需要引导学生树立良好的分类讨论意识，让学生在学习中能灵活的应用分类讨论思想进行学习、解题，促进学生的数学学习水平提升，为学生综合发展提供保障.

参考文献：

[1]赵济民.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].新课程，2018（8）：94.

[2]陈亭葶.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].试题与研究：教学论坛，2021（4）：152.

[3]陈经辉.初中数学分类讨论思想在解题中的应用探索[J].中学课程辅导（教学研究），2019，13（2）：286-287.