二维外问题的高阶直接间断 Galerkin与自然边界元耦合法

柏思宇, 黄红英

(浙江海洋大学 信息工程学院,浙江 舟山 316022)

设Ω是平面上多边形Γ0外部区域,Ω0是平面上的多边形区域,Γ0=∂Ω0,考虑一类Poisson方程外问题:

图1 区域

(1)

u=g,(x,y)∈Γ0,

(2)

u(x,y)=O(1),当|(x,y)|→∞.

(3)

假设f具有紧支集.引入圆周Γ={(r,θ):r=R,0≤θ<2π}作为人工边界,将区域R2

-Δui=f在Ω内,ui=g在Γ0上

(4)

和外部区域Ωe上的Laplace方程

-Δue=0在Ωe内,ue(x)=O(1),当|x|→∞，

(5)

即Γ上的传输条件

(6)

其中n表示Γ上的单位外法向量,指向区域Ωe.

已有很多方法求解问题(1)～(3),如有限元与边界元的耦合法[1-2],间断Galerkin 与边界元的耦合法[3-7].如果耦合边界是曲线时,以往文献都是用直边三角形逼近曲边三角形,只有线性多项式逼近才能得到最优误差阶,但用高阶多项式逼近时,达不到最优误差阶[8].本文中，笔者考虑的耦合界面为圆周,对内部有界区域Ω进行三角形剖分,与圆周相邻的三角形为曲边三角形,利用曲边单元上的迹定理、逆估计和多项式逼近误差估计,获得含曲边单元的耦合变分问题的解的适定性和当用二次及以上多项式逼近时近似解在能量模下能达到最优误差阶.间断Galerkin与所有边界元的耦合法,通常做直接的耦合,这样的耦合可保证耦合变分问题的对称性,但边界元归化涉及超奇异积分,要求逼近的多项式在该边界上连续,与有界区域内部用间断Galerkin法所用的逼近多项式的间断性不相符.若要求内部区域逼近的多项式在该边界上连续,会给数值实现带来比较大的困难.

采用文献[6]提出的基于Dirichlet边值的耦合法(DB),用直接间断Galerkin法求解带耦合边界上的Dirichlet边值的内部区域上的问题,再结合耦合边界上的DtN条件,获得耦合的弱变分问题.然后内部区域上可用分片多项式逼近,耦合边界上的DtN算子中涉及的解用在该边界连续的分片多项式逼近,既保留了间断Galerkin方法的间断性特点又能使DtN条件有意义.

采用Sobolev空间说明如下,O是一个区域和s∈R,用|·|s,o和‖·‖s,o分别表示Sobolev空间Hs(O)中的半范数和范数，用(·,·)表示L2(Γ)内积.

1 直接间断Galerkin与自然边界元的耦合法

本部分给出耦合的变分问题.首先通过自然边界归化原理得到圆周Γ外部区域Laplace方程的自然积分方程,然后给出有界区域Ω上的Poisson方程的直接间断Galerkin方法的变分形式,最后把它们结合获得耦合的变分形式.

1.1 圆周外区域的自然边界积分方程

考虑问题

-Δue=0,(x,y)∈Ωe,ue(x)=O(1),当|x|→∞.

用Green公式可得

(7)

其中G(x,y)是如下问题的解

根据自然边界归化原理,ue在Γ的外法向导数为[2]

(8)

其中n表示Γ上的单位外法向(指向Ω的内部).利用傅里叶变换,得到级数形式

(9)

定义下列函数空间

其范数为

(10)

引理1[2]存在正常数α,β使得

1.2 内部有界区域上的DDG形式

下面考虑用直接间断Galerkin方法求解有界区域Ω上的问题

-Δui=f,在Ω内,

(11)

ui=g,在Γ0上,

(12)

ui=ue,在Γ上,

(13)

(14)

定义函数集合

(15)

直接间断Galerkin方法求解的问题的单元形式为

(16)

对于边界条件(14),得

(17)

其中最后一项是稳定项.

1.3 耦合的DDG-NBEM形式

定义如下函数空间

(18)

2 耦合的变分问题的适定性

下面列出了解空间Vh的迹不等式和反不等式,直边三角形内的相关结果可参考文献[8-9].

当单元K的一边为曲边,且该曲边属于C2时,上述结果也成立[10-12].

当K的一边为曲边且该曲边属于C2时,上述结果也成立[10-12].

接下来,建立双线性型B(·,·;·,·)的连续性和强制性和变分问题(18)的解的适定性,详细证明可参见文献[13].

(19)

(20)

(21)

而

结合上两式,可得

从而可得正交性.

3 误差估计

本部分给出变分问题(18)解的误差估计.对任意的直边三角形K,IKu为u在三角形K内的k次插值多项式.假设u∈Hk+1(K)且有插值误差估计

(22)

(23)

引理5若K为一边e在人工边界圆周上的曲边三角形.假设u∈Hk+1(K),则仍有下列插值误差估计

这里的插值多项式IKu仍为u在以K的3个顶点为顶点的直边三角形内的插值多项式的延拓或限制.

证由正交性(21)和有界性(19),有

这样有

由文献[14]及(22)和(23)可得

‖u-IKu‖a≤Chk‖u‖k+1,Ω.

再由网格剖分的拟一致性,引理2和插值误差(22)和(23)可得

又有插值误差(23),有

综上所述可得结论成立.

4 数值算例

例1令f=0,g=2xy/(x2+y2)2|Γ0,问题的精确解为u=2xy/(x2+y2)2.相关结果见表1和表2.

表1 Ω内数值解的误差Tab.1 Errors of Numerical Solutions in Ω

表2 耦合边界Γ上解的误差Tab.2 Errors of Numerical Solutions on Γ

例2本例是一个界面问题

-Δu1=-2ex+y,(x,y)∈Ω0,

上面的法向指向Ω0的外部.该问题的精确解为u1=ex+y,u2=2xy/(x2+y2)2.根据精确解可得g0,g1.相关的数值结果见表3，4.

表3 Ω内数值解的误差Tab.3 Errors of Numerical Solutions in Ω

表4 耦合边界Γ上解的误差Tab.4 Errors of Numerical Solutions on Γ

5 结 论

本文中，笔者运用直接间断Galerkin与自然边界元的耦合法求解二维外问题.由于人工边界上自然边界归化得到的自然积分方程要求解属于H1/2(Γ),导致逼近的多项式必须属于C(Γ),如果做直接的耦合法,需要求区域内部的逼近多项式在Γ上连续,这与间断Galerkin法所要求间断不相符.把人工边界上的解也作为要求的解,即不仅要求区域内部的解,而且要求人工边界上的解,但相应的算法是非对称的.

以往的关于有限元与边界元的耦合法或间断Galerkin与边界元的耦合法的文献,采用边界元的边界一般为多边形或多面体,但本文考虑的是曲边边界,理论上证明了曲边边界时也有最优的能量模估计,而且数值例子也说明了能量模和L2模都有最优的误差估计.这表明此方法的有效性以及理论分析的正确性.