“解决问题的策略”的深度理解及数学化路径

丁洪

[摘 要]“解决问题的策略”是苏教版教材对课程标准有关“问题解决”要求提出的一种思考样式。文章基于“解决问题的策略”的内涵界定、价值探寻、内容编排，以及对课程标准要求的深度理解，提出以“问题链”的方式引领学生经历探、说、做、省和联的完整过程，推动策略教学的数学化进程，建构“解决问题的策略”的学习路径和提升师生对“解决问题的策略”的认知水平。

[关键词]解决问题的策略;深度理解;问题链;数学化路径

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）11-0001-04

“解决问题的策略”是苏教版教材的特色编排。别出心裁的单元设置和独具匠心的内容安排，旨在引领学生感悟策略、迁移策略和内化策略。那么，对于“解决问题的策略”的内涵怎样界定？价值怎样探寻？内容安排怎样评价？课程标准要求怎样理解？数学化路径怎样建构？等问题的深度思考、精准定位和合理研判，是策略教学的前提。

一、“解决问题的策略”的内涵与价值

简单地说，“是什么？”指向策略的内涵，“有什么用？”指向策略的价值。只有感知“解决问题的策略”的内涵与外延的呼应，体验适用与适度的对比，对于“解决问题的策略”的理解，才能更真切、更充分和更深刻。

1.“解决问题的策略”的内涵界定

数学知识一般可以分成三类，即陈述性知识、程序性知识和策略性知识。其中，陈述性知识主要考虑与数学相关的事实、定义、规则、原理等“怎么说”，描述得“清楚、简洁和逻辑自洽”是其标准;程序性知识主要涉及与数学相关的步骤、环节和流程，主要解决“怎么做”的问题，“先做什么，再做什么”是其要义;策略性知识主要统筹与数学相关的陈述性知识和程序性知识，是学习主体解决具体问题的一般方法和技巧，主要演绎“怎么想”，“如何思维及如何优化思维和高效思维”是其追求。显然，“解决问题的策略”属于策略性知识，它是在陈述性知识和程序性知识基础上的内驱发展和有序建构。

“解决问题的策略”具体有哪些呢？不同的分类，结果自然不尽相同。从认知心理学角度看，可以分成两大类，即“运算法”与“启发法”。其中，前者侧重解题规则，主要是对运算问题的客观性把握;后者侧重经验规则，主要是对多种方法的主观性选择。从数学问题角度看，“解决问题的策略”可以分成四个层次，即“数学的解题技巧”“数学的思想方法”“一般的探索策略”“一般的思维方法”，越往后的越具有基础性，适用范围更广，比如“一般的思维方法”就包括比较与概括、分析与综合、一般化与具体化等;与之相反，越往前的越具有针对性，适用范围变窄。从功能定位角度看，“解决问题的策略”可以分成两大类，即综合策略与一般策略。其中，综合策略是指解决问题过程中常态化使用的基础策略，如综合法、分析法等，情境虽有不同，策略需求却一致;一般策略是指解决问题中的具体策略，如画图、制表、实际操作、找規律，以及从简单情况入手、列方程、逻辑推理、改变观点等，情境不同时，策略需求各异。显然，“解决问题的策略”的外延相当丰富。透视这些具体表述，可以清楚地看出“策略”与“经验、方法、思想”的区别与联系。

基于以上认识，可以初步判断“解决问题的策略”是学生在学习过程中所尝试、选择、采用的解决问题的思想、方法、步骤，是对问题解决的手段、路径和规则的概括性认识 。也就是说，“解决问题的策略”本质上是一种认知策略，它具有主体性感知、过程性感受和反思性感悟的鲜明特征。

2.“解决问题的策略”的价值探寻

“解决问题的策略”至少有三个方面的优势。一是有利于优化教学过程，使学习从“题海跳入”的战术转变为“思维卷入”的战略，从“囫囵吞枣”的苦干变为“抽丝剥茧”的巧干，减少了尝试与错误的任意性，节约了解决问题所需要的时间，使得数学学习的“减负增效”从外在形式走向思维实质。二是有利于提升数学素养，因为策略学习聚焦数学表征与变换能力、数学交流能力、数学推理能力和数学问题解决能力，尽管策略学习是一个“慢”的过程，但是有了“量”的积累，学生提出问题、分析问题和解决问题的关键能力得以滋养，就使得数学学习的“育人品质”变得真切。三是有利于培养创造精神，因为策略学习需要在三种知识之间不断转换，因此“识文断句、程序关注和特征洞察”的注意力得到培育;需要在三种知识之间有效联结，因此“策略选择、策略优化和策略组合”的判断力得到训练;还需要在三种知识之间纵横交错，因此“点突破、线串联和面覆盖”的反思力得到提升。当然，因个人经验、学习习惯和认知风格等存在差异，学习主体的注意点、判断点和反思点也就不完全相同，这样带来的结果是，具体问题虽然被解决，但过程的精彩程度可能不一样。换个角度来说，这样的生态课堂和生动演绎，为积极的对话、碰撞和内省搭建了平台，为建构策略的“元认知”提供了保障，更为学生后续学习、工作和生活埋下了一颗“创新的种子”。显然，这些就是“解决问题的策略”的职责担当、价值意蕴和独特魅力。

二、“解决问题的策略”的内容与要求

在把握了“解决问题的策略”的内涵和外延，以及进行了基于核心素养视角的价值分析后，就需要梳理教材的内容编排，剖析逻辑架构和知识定位，弄清楚 “学什么”和“什么时候学”，想明白“怎么学”和“学到什么程度”。

1.“解决问题的策略”的内容编排

苏教版教材从三年级上册开始安排了相关的专题学习（见表1）。

从表1中可以看出，策略的专题学习可以分为两个板块。具体来说，第一个板块包含“从条件出发的策略”“从问题出发的策略”和“灵活运用从条件和问题出发的策略”，这些都是解决问题的基础策略;第二个板块包含“列表策略”“画图策略”“列举策略”“转化策略”“假设策略”和“选择和运用适当策略”，这些都是解决问题的一般策略。总的来说，板块内部呈现“先逐个学习，再灵活运用”的编排特点，板块之间凸显“先下位策略，再上位策略”的逻辑建构。

换个角度来看，策略的专题学习还可以分为四种类型。具体来说，第一种类型指向“基本思考方法”，包含“从条件出发的策略”和“从问题出发的策略”，前者是从条件到问题的思考，是一种“顺势而为、由因导果”的综合法，后者是从问题到条件的思考，是一种“逆流而上、执果索因”的分析法，两者都是解决问题的关键策略和“地基工程”，渗透了“合情推理”的数学思想。第二种类型指向“问题表征方法”，包含“列表策略”和“画图策略”，它们是在基本思考的基础上，对条件和问题进行简洁化、可视化和结构化的处理，渗透了“合理简化”的数学思想。第三种类型指向“特殊思考方法”，包含“列举策略”和“假设策略”，前者通过不重复、不遗漏地列举的方式，有序逼近结论，渗透了“有序分类”的数学思想，后者通过“将两个未知量变为一个未知量”的方法，简化求解模型，渗透了“等量代换”的数学思想。第四种类型指向“常用思考方法”，它就是小学数学解决问题“出镜率”非常高的转化策略，虽然转化是有方向和有方法的，但是它并不拘泥于某个知识板块、某种问题类型和某些特定对象，始终努力“将未知的问题已知化，将复杂的问题简单化”，体现了精神实质和实施目标的步调一致，渗透了“变与不变”的数学思想。

另外，苏教版教材还会不时补充一些“非典型”的策略，如“折一折”，这也是策略学习的有机组成部分，教师需要对其进行适度开发和合理使用。

2.“解决问题的策略”的要求透视

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总目标的“问题解决”方面明确指出，要让学生“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识” ;在实施建议的“教学建议”部分特别提出，在教学活动中“要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平;问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平” 。可以看出，从总目标到实施建议，有关策略定位和教学要求清晰明了。首先，策略学习是一个“从无到有”的生长过程，它需要知识技能的辅助、已有概念的调用和碎片经验的整合，它离不开学生的自觉、自悟和自得，是一种由个体内部滋生的具有鲜明个性的认知取向;其次，策略学习是一个“从多到优”的对比过程，它提倡学生运用个性化策略先行解决问题，然后进行深度的交流碰撞，在感受策略多样化的同时，对比得出优秀的方案和方法，驱动体验从“能行”走向“善思”;最后，策略学习是一个“从近到远”的发展过程，它可以帮助学生积累解决问题的活动经验，促进学生数学思维的良性发展，使学生更好地感悟数学思想，有看得见的学习习惯，还有带得走的数学素养。当然，策略本身并无优劣，教学重点不在于取舍，而在于引导学生真切感知策略的价值，并能根据需要对策略进行甄别、选择和组合。

三、“解决问题的策略”的数学化路径

基于以上理解，回到课堂教学，当务之急就是考虑教学的谋篇布局。对此，笔者以“问题链”的方式引领学生经历探、说、做、省和联的完整过程，推动策略教学的数学化进程。

1.创设问题情境，激发“探”的需求

策略学习需要创设问题情境，它可以是生活味浓郁的场景引入，也可以是数学味偏重的问题环境。但是，判定一个情境好坏的标准并不在于此，关键要看这个情境是否激发了学生的学习欲望和引发了学生探究策略的实际需求。如四年级上册的“列表策略”的教学中，可以设计杂乱、多组和错位的条件问题，以引发学生有序整理信息和联结数量关系的内需;六年级上册“假设策略”的教学中，可以设计情境呈现具有倍数关系或相差关系的两个未知量，并增加情境的复杂程度使得问题的解决无法一步到位，由此引发学生寻求等量代换变式和简化数量关系的途径，等等。显然，适时、适度和应景的“小情境”和“小麻烦”，能够激发学生的好胜心和求知欲，实现“人在课中央”和“心往一处想”的“小美好”。

2.鼓励表达交流，提升“说”的能力

策略学习需要鼓励表达和交流，它既可以是倾听自我基础上的经验梳理，也可以是倾听他人基础上的碰撞生成。“能说会练真把式”，学生能够主动表达、自信表達和准确表达，是策略学习的基本要求和素养指标。如三年级上册的“从条件出发的策略”的教学中，先通过问题“题中有哪些已知条件？要求什么问题？”和“你知道‘以后每天都比前一天多摘 5 个’是什么意思吗？”驱动学生利用文字、图式、算式等描述方式，弄清楚相邻两天之间的数量关系，这里的“说”指向单个信息的理解突破和多个信息的有效联结;再通过问题“根据题中数量之间的关系，你打算怎样解答？”引导学生进行诸如“先算第二天摘了多少个，再算第三天摘了多少个……”和“可以依次写出每天摘的个数：30、35、40……”的个性表达，这里的“说”蕴含数量关系的具体运用和心智推演的合理规划。显然，同样是动嘴说，思维层次却不一样，有“眼见为实”地说条件问题，有“动脑联结”地说数量关系，还有“用心推算”地说解答思路，学生的表达能力在这样有梯度的历练中悄然提升。

3.提倡策略多样，驱动“做”的对比

策略学习需要提倡策略多样，它既可以是不同学生的不同思维角度，也可以是相同学生的先后不同思考。“和而不同，美美与共”，策略多样化演绎了个性生动与共性深刻的辩证统一。如五年级上册的“列举策略”的教学中，面对问题“王大叔用22根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？”，学生独立思考后提出“摆图形”“画图形”和“算出长和宽的和”的策略，虽然这些策略形式略有差异，但是列举倾向意图明显。接着，学生进行实践，一方面透过具体的策略，对比感知到解决问题的着眼点相同，即需要知道长和宽的具体长度，锁定了列举是解决问题的关键;另一方面通过继续观察和对比思考“做”的过程，发现“有序”和“无序”对结果的影响巨大，感悟到列举的策略。最后，教师顺势提出问题“你能先列举出长方形的长和宽，再找出面积最大的长方形吗？”，驱动学生聚焦和运用之前对比得到的成果，以表格的形式将关键信息一一呈现，“怎样围面积最大？”的问题就此迎刃而解。当然，如果接着比较长和宽的相差关系，还能获得“周长一定时，长和宽相差越小，面积越大”的规律，这个“副产品”进一步凸显了列举的价值和魅力。显然，策略多样促成了思维的发散，为共性认知的凝练提供了宝贵素材和翔实案例，但要注意实践的重点是求同存异，并非标新立异。

4.引导积极反思，促成“省”的自觉

策略学习需要积极反思，既可以是问题解决中成功的经验分享，也可以是理解欠缺、探究不足等的“幡然醒悟”。反思是策略学习从外在把握到内在理解的重要环节和必要通道。如四年级上册的“灵活运用从条件和问题出发分析和解决实际问题”，通过问题“分析数量关系，你有哪些体会？”的驱动，学生获得了“可以从条件出发，也可以从问题出发”和“可以通过列表、画线段图等方法进行分析”的反思结果，有效内化了分析数量关系的思维方式和表征形式;又如六年级下册的“选择和运用适当策略解决实际问题”，通过问题“解决上面的问题，你选择了什么策略？是怎样想的？”的驱动，学生感受到“选择画图的策略，能使数量关系更直观、更清楚”“把分数转化成比，更容易理解数量之间的关系”……有效内化了具体策略的个性特征和价值体现。显然，反思不是不假思索地随意一瞥，也不是不明就里地高談阔论，它需要对已有认识进行有机整合，以收获对策略的深度理解和间接认识，实现“自我唤醒自我”的意识自觉、行为自动和结论自明。

5.注重典型梳理，感悟“联”的通透

策略学习需要注重典型梳理，它可以是同一问题的不同方法对比，也可以是不同问题的相同方法归类。“不求全，但求联”，必要的回顾与整理，能够驱动经验的调用、对接和反思，为经验的“华丽转身”积蓄能量。如五年级下册“转化策略”的教学中，可以从图形面积、各类计算等方面进行梳理。其中，图形面积分为三个层次，第一层次是将平行四边形和圆转化成长方形，属于等面积转化;第二层次是将三角形和梯形转化成平行四边形，属于非等面积转化;把第一层次和第二层次梳理成“树形结构”，以长方形的面积计算为“根”，引导学生连续观察，凸显“化未知为已知”的转换方向;第三层次为“穿越时空”情境——走近古代数学家刘徽，了解“以盈补虚”的方法，见证三角形和梯形可以等面积转化，感知转化的方向相同和策略多样。显然，典型梳理实现了隐藏方法的显性化、同类方法的模式化和不同方法的结构化，厚积薄发、举三反一，有效推动了“方法的感性识别”向“策略的理性通透”的认知进阶。

综上所述，“解决问题的策略”是苏教版教材对课程标准有关“问题解决”要求提出的一种思考样式。从宏观上看，它依据前期铺垫、专题学习和后续强化的路径规划，演绎了核心素养视域下学生问题解决能力提升的全局思考、系统推进和单元突破;从微观上看，它依据情境适切、功能适度和策略适用的基本原则，架构了“探、说、做、省、联”的教学主线，驱动学生的经验提炼、方法沉淀和情感共鸣。有趣的是，如果跳出问题再看问题，策略学习的本身也是一种充满智慧的学习策略。

[本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题《基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究》（课题批准文号：C-b/2020/02/26）和江苏省中小学教学研究第十三期重点课题《深度学习下小学数学游戏的开发与应用研究》（课题批准文号：2019JK13-ZB48）的阶段性成果。]

（责编 金 铃）