关系重构：认知从“复杂”走向“简单”

丁洪 张林林

[摘 要]假设的策略以数量关系的捕捉和理解为前提，以等量代换的关系重构为核心，以以简驭繁的思维操作为抓手。在教学中设计冲突制造、模型构造、经验迁移和策略内化环节，以期实现需求激发、内涵凸显、路径塑化和素养提升。

[關键词]假设策略;数量关系;等量代换;数学化

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）11-0013-04

“用假设的策略解决实际问题”是苏教版教材六年级上册安排的“策略学习”专题活动，它也是运用策略解决实际问题的种子课。从关系的数量看，一般要解决几个未知量就需要几组数量关系，少则无法确定结果，多则出现条件剩余。从关系的勾连看，未知量之间要有关联，关系可以是直接的或间接的，未知量之间可以灵活转化和统一表征。从关系的变化看，关联的数量进行等量代换和有机整合之后，内容上出现了“新数量”，形式上出现了“新等式”，尽管关系对应为“假状态”，但所求结论仍然为“真结果”。可以说，关系从复杂存在到简单重构是一个“慢”的渐进过程，教师除了要在认识上拎得清，还要在行动上把得准。

一、制造认知冲突，激发关系需求

认知冲突是学习主体在信息加工过程中产生的一种不平衡的心理状态。究其原因，主要是个体的认知结构在新旧衔接时的不一致、不和谐所致。教师如能巧妙设计认知冲突，则可以聚焦关键、激发需求和引发学习。

1.策略调用

首先，动态出示两个天平，第一个天平左边摆放1个梨，右边摆放2个桃;第二个天平左边摆放1个梨和2个桃，右边摆放1个400克的砝码。接着，学生通过解决问题“仔细观察摆放的过程，你知道了哪些数量关系？”，获得“1个梨的质量=2个桃的质量”和“1个梨的质量+2个桃的质量=400克”的结论。这样运用技术手段将静态关系予以动态呈现，有助于学生实时聚焦问题的发生过程，弄清不同对象之间的内在联系。通过问题“根据这些数量关系，你能解决什么问题？”引发学生调用已有认知经验，提出问题并尝试解决问题。学生有两种思路：第一种是“将1个梨看成2个桃”，对应得到“4个桃一共400克”，先求出“1个桃是100克”，再顺势得到“1个梨是200克”，列式计算为“400÷（2+2）=100（克），100×2=200（克）”，解题的关键是“将梨都看成了等量的桃”;第二种是“将2个桃看成1个梨”，对应得到“2个梨一共400克”，先求出“1个梨200克”，再顺势得到“1个桃是100克”，列式计算为“400÷（1+1）=200（克），200÷2=100（克）”，解题的关键是“将桃都看成了等量的梨”。最后，引领学生比较两种思考过程，发现数量关系是理解具体问题的关键，等量代换是处理数量关系的依据，至于怎么使用数量关系，也就是“都看成梨”或“都看成桃”，变换方向可以不一样。可以看出，引领学生经历思维过程的异同体验，有助于学生初步感受假设的方向和方法之间的联系和区别，为后续学习奠定策略认知的基础。

2.策略分析

首先，出示“720毫升果汁”的前置条件，以及多组不同的备选条件，分别是“倒入9个同样的小杯，正好倒满”“倒入3个相同的大杯，正好倒满”和“倒入6个小杯和1个大杯，正好倒满”，鼓励学生自主搭配和选择条件，并对问题对象进行判断。接着，学生自由汇报，有的选择“倒入9个同样的小杯，正好倒满”这个条件，列式为“720÷9=80（毫升）”，顺利解决了小杯容量的问题;有的选择“倒入3个相同的大杯，正好倒满”这个条件，列式为“720÷3=240（毫升）”，顺利解决了大杯容量的问题;有的选择“倒入6个小杯和1个大杯，正好倒满”这个条件，发现解决问题有困难——认知冲突的出现，极大提升了学生的关注度。然后，教师顺势提出问题“为什么不能同时解决大小杯容量的问题？”“如果想要解决，你有什么好的建议？”和“大小杯容量之间可能有怎样的关系？”，引导学生感知“单独倒入”关系简单，“同时倒入”关系复杂，要想求解同时出现的两个未知量，知道它们之间的数量关系是关键，至于是“倍比关系”或“和差关系”，这并不是问题的重点。可以看出，认知冲突有效驱动了分析，辨析的内容直指假设策略的两大关键，一是“条件和问题之间要有联系”，二是“条件和条件之间要有联系”，至于条件之间的联系和运算环境是什么，姑且看作是假设策略的学习类型，它并不是假设策略认知的数学本质。

显然，“策略调用”侧重数量的“关系运用”，演绎了算法多样;“策略分析”侧重数量的“关系联结”，考量了认知冲突中的需求一致。这样处理，既固化了问题解决的一般路径，又深化了数量关系的核心地位。

二、构造认知模型，凸显关系内涵

认知模型是一种结构化的共性理解和数学构造。就假设策略的学习而言，认知模型以未知量为节点，以数量关系为纽带，以新的、简单的和方便问题解决的结构为取向，过程着重关系的内涵理解、新旧对比和价值感悟。

1.策略生动

首先，出示补充条件“小杯的容量是大杯的[13]”，学生通过解答问题“怎样理解题中数量之间的关系？”，获得“6个小杯的容量+1个大杯的容量=720毫升”和“大杯的容量是小杯的3倍”的关系，为自主探究做好认知准备;其次，创设一个探究活动，要求学生在活动单上记录过程，可以画一画、写一写和算一算，并尝试用一句话概括方法和组内交流;最后，在汇报成果环节，鼓励学生当“小先生”，充分展示自我的探究过程和小组的讨论结果。这样做，一方面内化了“数量关系怎么理？”的策略性定位，比如画示意图实现数量关系的直观理解，画线段图实现数量关系的抽象表征，而列方程实现数量关系抽象层面的合情推理;另一方面深化了“数量关系怎么用？”的阶段性定位，比如原有数量关系的理解和运用，现有数量关系的构造和实践，检验数量关系的确认和操作，促使数量关系的内涵理解形成认知回路。

2.策略深刻

策略学习需要问题解决，但是又不止于问题解决，还需要将个性思维中的共性方法进行梳理、提炼和内化（如图1）。仔细观察后不难发现，假设策略的数学内涵具有鲜明特征。首先，从未知量的个数角度来看，以往的“一个未知量”变成现在的“两个未知量”，未知量的增多，情境的相对复杂，激发了学生假设策略的认知内需。其次，从未知量的关系角度来看，以往的“条件不相关”变成现在的“条件正相关”，数量关联支撑了假设策略的具体实施。最后，从未知量的代换角度来看，无论是“全部倒入小杯”，还是“全部倒入大杯”，等量代换的数学思想一脉相承，未知量由多变少的操作路径异曲同工，思维的有效整合凸显了假设策略的数学本质。就这样，在变与不变的过程体验和思辨中，方法感知演变成了策略架构，同时策略价值的感悟也变得可视化、结构化和一体化。

显然，“策略生动”侧重个性的“思维表达”，演绎了“快思考”的过程生动;“策略深刻”侧重共性的“思维沉淀”，呈现了“慢思考”的过程深刻。这样处理，既尊重了学习主体的感性基础，又促进了知识发展的理性建构。

三、迁移认知经验，具化关系路径

认知经验就生长阶段而言，一般可分两个层次。第一个层次是“无案可循”的形式加工，它侧重对现有情境中重复出现方法的抽象和概括;第二个层次是“有案可依”的实质加工，它侧重已有经验对后续行为的约束和引导。

1.策略强化

首先，将教材的例题进行适当改编，变成“720毫升果汁倒入4个小杯、2个中杯和1个大杯，正好都倒满”和“小杯的容量是中杯的[12]，大杯的容量是中杯的2倍”，与此同时，提出“小杯、中杯和大杯的容量各是多少毫升？”的问题。接着，创设自主探究的活动，鼓励学生迁移已有经验，积极思考并记录过程。活动开始之前进行师生交流 “你准备假设将果汁全部倒入哪种杯子？”“其他杯子也可以吗？”，渗透“想清楚再做事”的基本原则，为学生思维品质的提升添砖加瓦。教师要引导学生有序汇报，以“假设全部倒入中杯”为例，根据“大杯的容量是中杯的2倍”，可以将“1个大杯等量代换成2个中杯”，根据“小杯的容量是中杯的[12]”，可以将“4个小杯等量代换成2个中杯”，再算上原来的2个中杯，这样就假设成“6个中杯的容量一共是720毫升”，有了这个简单的数量关系，很快算出“1个中杯的容量是720÷6=120（毫升）”，进而求出“1个大杯的容量是120×2=240（毫升）”和“1个小杯的容量是120÷2=60（毫升）”;当然，也可以“假设全部倒入大杯”或者“假设全部倒入小杯”（如图2）。最后，引导学生观察、对比和思考，从整体上把握策略实践的要点和路径，从局部上感受“直接关系”比“间接关系”更方便等量代换，促使策略的思维从“可以做”进阶为“可优化”。

2.策略回顾

如果把“策略强化”看成“怎么做”，那么“策略回顾”就是“怎么看”。因此，在这里主要鼓励学生从假设策略的视角出发，整理以往学习中使用假设策略的案例，挖掘出诸如“计算除数是两位数的除法，把除数当作整十数试商”“把接近整百或整十的数看作整百或整十数，估算出大致的结果”和“已知两个数的和与差，假设两个数同样多，分别求出这两个数”等，这些都是基于自主认知的定性确认。这样的回顾，一方面使得策略的意识从模糊变得清晰，感知策略运用的基础性和广泛性;另一方面也丰富了假设策略的内涵，不仅可以像例题那样，使数量关系变简单，还可以像试商和估算那样，使运算过程变简洁，从而感知策略运用的价值性和统一性。

显然，“策略强化”侧重策略的“自我调节”，具化了关系处理的既定路线;“策略回顾”侧重策略的“自我认同”，联结了立体多元的隐形认知。这样处理，既驱动了策略规则的外化有术，又渗透了策略视角的内化有道。

四、内化认知策略，提升关系素养

认知策略是学习主体加工信息的方法。就本课而言，在学生历经方法的渗透、示范、尝试和回顾等四个阶段后，还可以继续引导学生感受不同情境的其他问题，或者相同情境的不同角度，以内化策略、发展思维和提升素养。

1.策略同化

首先，动态出示“2个大筐和3个小筐一共装了99千克苹果”和“大筐所装的量是小筐的3倍”的条件，要求学生选择一种假设方向，自主解决“大筐、小筐苹果千克数”的问题。学生的汇报井然有序：第一种是“假设苹果全部装入小筐”，根据“2个大筐”和“大筐所装的质量是小筐的3倍”这两个条件，可以很快地将“2个大筐假设成6个小筐”，此时“99千克”对应的就是“9个小筐（其中6个是假的，3个是真的）”，然后顺势算出“每个小筐所装苹果的千克数是99÷9=11（千克）”，则“每个大筐所装苹果的千克数是11×3=33（千克）”;第二种是“假设苹果全部装入大筐”，根据“3个小筐”和“大筐所装的质量是小筐的3倍”这两个条件，可以很快地将“3个小筐假设成1个大筐”，此时“99千克”对应的就是“3个大筐（其中1个是假的，2个是真的）”，然后顺势算出“每个大筐苹果的千克数是99÷3=33（千克）”，则“每个小筐苹果的千克数是33÷3=11（千克）”。可以看出，這里的问题结构与例题相似，策略同化的特征明显。接着，将情境稍做变化，把“2个大筐和3个小筐”改编成“3个大筐和2个小筐”，其他条件和问题都不变，让学生尝试解决。有趣的是，出现“假设苹果全部装入小筐”的人数远远大于“假设苹果全部装入大筐”的人数。究其原因，前者的假设方向是“顺势而为”，计算仅在整数范围内运行，过程比较简单;后者的假设方向是“逆流而上”，计算涉及分数范围和方程形式，过程比较复杂和曲折。这样就引发了学生感知“假设方向”的互通性、必要性和选择性，强化了假设策略的灵活运用。最后，动态出示“三层货架上的洗手液，每层总质量相等，从上往下看，第一层有1大瓶、2个中瓶和5个小瓶，第二层有3个中瓶和5个小瓶，第三层有1个大瓶和8个小瓶，还知道1个小瓶有200克，要求1个大瓶和1个中瓶各有多少克”。可以看出，这里的问题结构稍有变化，处理方式稍有不同，但关系化繁为简的策略取向没有变，等量代换的思想支撑也没有变，所以它仍然隶属策略同化的范畴。

2.策略顺应

假设策略对于学生今后的学习影响较大，如果学生能有感性体验，也许就能为学习的持续性注入生长因子。基于这样的思考，将课堂初始“梨和桃”的问题情境加以改造，用两个未知数分别表示梨和桃的数量，即假设1个梨的质量是x克，1个桃的质量是y克，然后根据数量关系，分别列出方程，即“x=2y”和“x+2y=400”，并将它们联立成方程组，最后鼓励学生口算解决问题，体会外在形式的组织变化并没有改变等量代换和关系化简的内在事实。可以看出，学生对原有认知进行修改和重构后，能够胜任新环境的学习需求，从而实现策略顺应的无限精彩。

显然，“策略同化”侧重认知的“必要巩固”，提升了策略实践的操作水准;“策略顺应”侧重认知的“可能应用”，架构了策略体验的价值魅力。这样处理，既夯实了策略学习的关键技能，又孕育了策略素养的必备品格。

[本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题《基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究》（课题批准文号：C-b/2020/02/26）和江苏省中小学教学研究第十三期重点课题《深度学习下小学数学游戏的开发与应用研究》（课题批准文号：2019JK13-ZB48）阶段性成果。]

（责编 金 铃）