如何提高线性代数的课堂教学质量初探

侯春娟 林映翠

【摘要】线性代数是数学专业及相关交叉类学科的一门重要课程，也是经管类专业学生的必修课程.在线性代数教学中，老师的讲解和教材的设计很大程度上会影响学生对线性代数这门课程的理解.本文以广州华商学院线性代数课堂教学为例，对如何提高本校课堂教学质量进行初探，从而为我校进一步开展线性代数课程建设做好铺垫.

【关键词】线性代数;教学质量;学生;老师

【基金项目】本文系广东省普通高校人文社会科学研究青年创新人才项目（自然科学） （2017KQNCX265）;广州华商学院2021年线性代数一流课程（HS2021YLKC05）;广州华商学院“校级质量工程”项目（HS2020ZLGC69，HS2021ZLGC31，HS2020ZLGC74）.

一、引 言

线性代数是庞大的数学体系中的一个分支，它具有很强的抽象性与逻辑性，对学习者的逻辑分析能力与空间想象能力要求非常高，同时线性代数在图像处理、密码学、机器学、工程技术等领域得到越来越广泛的应用，甚至众多学科都以它为基础.因此，学好线性代数对学生今后的学习有相当大的作用.在本科阶段，线性代数的课程主要教学生如何熟练掌握矩阵、行列式、线性方程、向量空间、二次型等相关基础知识.

线性代数是广州华商学院的一门基础课程，学校为线性代数教学配备了较为完善的教学资源.但线性代数的教学过程中，存在部分学生对线性代数学习的积极性不高，甚至因为无法理解线性代数的相关知识而出现抵触心理的现象（此结论来源于调查统计，由2020级会计学2班的林映翠同學进行整理汇总），这使我们不由得思考其中的原因.本文从老师应该注意的问题、学生应该注意的问题及合理使用教材这三个方面对线性代数的教学进行分析，并提出解决方法，以探索如何进一步提高线性代数的教学质量.希望本文对广州华商学院线性代数教学工作的顺利开展、学校老师授课方式的改进、学生学习线性代数方式的改进都有所帮助.

二、让学生走进线性代数，理解线性代数原理

想让学生走进线性代数，老师就要在正式授课之前，先引导学生建立线性代数跟中学数学的联系，降低学生对新学科的认知难度.刘桂仙等人在对目前大学数学教学工作中存在的一些问题进行探讨时特别指出[1]，教师在进行大学数学的教学工作时，一定要做好大学数学与中学数学的衔接工作.线性代数是数学又一个全新的分支，它不同于学生以往了解的数学，它自有一套思维模式与运算体系.这意味着学生在学习过程中要暂时抛开已深植于脑海的固有思维模式，建立一套全新的数学学习思维，构建一个全新的思想框架.再则，线性代数课程的后半部分涉及的向量空间问题，对学生的逻辑分析能力与空间想象能力要求非常高，这对还习惯用高中数学思维思考问题的大一学生来说有一定难度.大学中任何一门学科的相关知识在中小学教育时期都做好了基础铺垫，因此，学生在大学时期对任一学科的学习都是对原有知识更深入的思考与钻研.无论怎样，线性代数终归只是数学的一个分支，与中学数学有一定的相通性.因此，在学生初步接触一门新的学科时，不知从何学起、怎么学、学什么的情况下，教师应在正式授课之前利用学生对新学科的“白纸”印象，阐明线性代数与中学数学之间的关联，引导学生在脑海中勾画出线性代数与中学数学知识的联系，让他们明白什么是线性代数，线性代数是从哪一知识点发展而来的，又是对哪一部分进行深入研究的.代业明从认知论与方法论的角度分析并列举了线性代数与中学数学诸多知识之间存在的关联性[2].例如，线性代数中关于向量空间的相关研究是建立在学生对中学时期平面向量的相关理解上的，线性代数中的线性方程组相关知识是对中学时所学的二元一次方程组的解的深入研究，等等.教师以这种方式在大学线性代数与中学数学之间架起一座桥梁，能让学生初步建立起与中学数学相联系的思维框架，提高他们对线性代数的方式接受程度，降低他们学习线性代数的难度，从而更加容易推进线性代数的教学，更有利于提高教学质量.其中最重要的是让学生理解线性代数的原理.真正能让学生走进线性代数的方式是学生对线性代数的起源、原理、研究对象等最本质、最基础的问题产生兴趣，并明白线性代数在“高”“精”“尖”领域的重要性.如中国人民大学出版社出版的《线性代数（第三版）》，让学生知道线性代数在生活中有诸多应用[3]：计算现实生活中的产品生产总值、预测人口总数、人脸识别技术、密码学利用矩阵对信息进行编码与解密，让学生充分感受线性代数的魅力.学生理解了线性代数的原理，对在原理上推演而出的规律、定义等也就理解得更加透彻，遇到问题从其原理出发去思考，就更容易解决问题，从而能够更加快速高效地吸收知识，更加轻松地学习这门课程.有些老师由于教学时间紧迫、教学任务繁重等诸多原因，在正式授课时没有准确地解释线性代数独特的概念、原理和规律等问题，这会引起学生思维的混乱.因此，经过一段时间的授课后，老师要以提问的形式带领学生进行回顾与总结，如矩阵相乘时它们的行元素与列元素怎么相乘相加，矩阵和行列式的数乘规则哪里不同，矩阵之间的相乘为什么有左乘和右乘之分，等等.有的学生虽然想要跟上老师教学的脚步，却因缺少对线性代数的基本理解，再加上教学进度过快，越来越跟不上，只能一知半解地听下去，面对行列式、矩阵、空间向量等内容时似懂非懂，到最后干脆破罐子破摔，囫囵吞枣地记住定义与公式，形成恶性循环，这是影响教学质量的一大因素.

三、注重专业名词解释，区分易混淆知识点

线性代数的教学虽分成多个章节进行，但有些专业名词却会贯穿多个章节内容，例如行列式、矩阵、矩阵的秩和向量空间等.王翠香在《线性代数课程的特点与教学方法探究》中指出[4]，线性代数里有些专业名词用常规方法难以解释，且有些知识点高度相似，如果老师对线性代数的任何一个专业名词的定义解释得不清晰或者对可能混淆的知识点不特别说明，都有可能导致学生对专业名词不理解或者理解不透彻.学生发现课本的多个章节都出现自己不理解的专业名词与厘不清知识点之后，就会对线性代数产生畏惧心理，甚至会形成一些错误认识.我们发现，一些老师在使用专业名词时没有考虑到课程标准的要求和学生的接受能力，会下意识地高估学生的理解能力，错误地认为一些专业名词或一些知识点过于简单，无须过多解释学生也会懂，但是对于学生而言，这些专业名词是他们从未接触过的.就拿非零子式的定义来举例，课本中k阶子式的定义[3]是：在m×n维矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素按原次序做成的k阶行列式称为矩阵A的一个k阶子式.其实这个定义若让老师来看，非常简单，他们认为给学生简单讲解就没有任何问题了，但总有一部分学生理解不了非零子式代表的是什么，行列式交叉处的k2个元素是什么意思，怎么按原次序.因此，老师通过举例说明可能效果更佳.如1-202-48-24-2中，一阶子式就是3阶方阵的每个元素构成的行列式，即为元素本身，共9个，非零元素有8个，相等的按一个计算，则一阶非零子式共有6个，分别是1，-2，2，-4，8，4，二阶子式共有9个，从三行中任取两行，三列中任取两列，即C23·C23=9，分别为：①1-22-4，②1028，③-20-48，④1-2-24，⑤10-2-2，⑥-204-2，⑦2-4-24，⑧28-2-2，⑨-484-2.其中①④⑦这3个行列式等于零，于是二阶非零子式为余下的6个.三阶子式则是矩阵本身的行列式，即1-202-48-24-2为唯一的三阶行列式.而实际分析中，我们只需找到某个k阶子式不为零就可以了，但详细地分解一个例题之后，学生就能够明确k阶子式的含义，进而加深对矩阵的秩的理解.FCEF4DE7-750D-47FF-AC43-4E0E3E8D5417

有些学生对知识具有遗忘性.对于有些知识点，学生听的时候很明白，而且教材里介绍得很清楚，但过了几周，学生发现自己不懂了，尤其是易混淆的知识点.比如矩阵与行列式的数乘：矩阵数乘是用常数k乘矩阵A中的每一个元素，如kA=k1-202-48-24-2=k-2k02k-4k8k-2k4k-2k，而行列式的数乘则是用常数k乘|A|中的某一行或某一列的元素，如

k|A|=k1-202-48-24-2=1-202k-4k8k-24-2.因此，教师一定要让学生养成做笔记的好习惯，而且要多练习，多回顾.教师要注重对线性代数专业名词的解释，并区分易混淆知识点，让学生清楚地意识到“认真是成功的秘诀，粗心是失败的伴侣”.

四、增加课堂互动，激发学生兴趣

以广州华商学院的线性代数教学过程为例，线性代数课程只安排在大一下学期，教学时长为18周，每周2个课时，共36个课时.由于教学时间紧迫、教学任务重，部分老师为了能顺利完成教学任务，会采取两种方式：一是为了压缩教学时间，加快教学进度，会选择性地忽略一些对课程不重要的知识点，对一些线性代数的联系性、原理性和名词性问题解释甚少.这有可能导致学生对线性代数的相关知识一知半解，在不能理解课本知识以及跟不上教学进度后陷入自我否定的状态，产生抵触心理，从而出现老师在上面讲课，学生在下面玩手机、交头接耳等现象.二是师生互动少或不互动，教师保持良好的教学态度，教学非常认真，知识点把握也非常熟练，但减少了与学生的交流.赵鑫硕运用控制变量法，以时间长短为唯一变量对大学生学习注意力的差异进行研究发现[5]，随着上课时间的延长，学生的注意力是先逐步上升，中间保持一段时间，然后逐步下降的.因此，这种课堂氛围在无形中会给数学基础差的学生带来负面影响，导致学生注意力迅速分散，去做一些与课堂无关的事情，出现学生走神、不懂装懂的现象，使教学质量出现滑坡.通过对广州华商学院线性代数课堂上的这些现象进行分析，我们不难发现其中的原因：一是有些老师因为教学进度安排，缺少与学生的互动，不能同时兼顾基础好和基础差的学生;二是一部分学生只想通过课堂、通过教师的讲解获取这门课程的知识，缺乏自我学习的学习习惯.因此，要提高教学质量，老师们就得从课堂互动入手，从激发学生兴趣入手，将学生的注意力重新吸引过来.同时线性代数因其逻辑性与抽象性强，就更加需要老师与学生的互动.

如何提高学生对线性代数的学习兴趣呢？我们给出如下建议：课程进行到中途时，若老师发现学生开始走神，可先分享與线性代数有关的趣事或讲一些趣味性的知识，如老师可以这样向学生介绍二阶行列式的对角线法则：沧声笑海=沧海-声笑.这样既能加深学生对法则运算的印象，感受线性代数之美，又能吸引学生注意力，让学生的精神得到放松，一举两得.受限于课堂时长，对于不同知识点的区分问题，老师不能觉得学生会自己区分就简单地略过，有时候老师略过的知识点就是学生的理解误区.老师可在下课前几分钟提出思考问题，例如，在矩阵与行列式的授课完成后，让学生课后思考它们有什么不同，等下一节课时老师再详细讲解，以此培养学生的探索思考能力，节省课堂时间.当然这部分也可以采取线上活动的方式进行，做到线上线下相结合.同时，课后布置具有代表性的作业是非常必要的，可以让走神没听课的学生也能根据题目去思考与运用知识点.老师为增加课堂互动、激发学生兴趣做努力，学生也不能因为听不懂就抱着得过且过、临考冲刺、及格就行的消极想法应付线性代数这门课程，而是应积极配合老师，常练习，勤思考.

五、学生应及时平衡大学的生活与学习

中学时期学生的学习主要依靠老师和家长监督，这导致学生对父母和老师产生过分的依赖，自制力差，缺乏自主的决策和规划能力.王翠香、李艳艳与张巧玲等人在对线性代数课程教学的研究中指出，大多数学生在中学时期的个人时间靠家长与学校安排，学习依赖教师和家长的监督，过于被动，这很容易导致一些学生在高中毕业进入个人时间可以自由支配的大学后，因不知道怎么样去安排学习时间而丧失了自律的好习惯.在大学，学生除了拥有丰富的课外活动和大量可自由支配的时间，还需要用更多时间提前去收集、理解本专业的各种知识来提升自身能力，以求在未来能更好地发展.但中学时期按部就班的生活与自由自在的大学生活形成了鲜明的对比，学生对丰富多彩的大学生活产生了强烈的向往，沉浸于大学生活带来的新鲜感，却选择性地忽视了大学也是一个对学生的自律性要求颇高的地方.种种原因叠加之下，学生就疏忽了对线性代数的自主预习，在跟不上教学进度之后，就产生了厌学、逃课和上课睡觉等诸多问题.由此可知，学生对监督的依赖性与大学对学生自律性的要求产生的冲突，也是教学质量下滑的一大原因.因此，学生应及时平衡好大学的生活与学习，做到在下节课即将到来之前复习学过的内容，提前翻看课本预习下一节老师要讲的课本内容，分清主次，做好个人未来规划，劳逸结合，为以后的精彩人生做好知识储备.

六、学生应适当约束自己的课堂行为

任何教学都是两个主体相互作用的过程，教师在教学过程中存在欠缺的地方，同样也是学生存在一些问题的地方.线性代数课堂教学质量出现问题，有相当一部分原因出自学生本身.学生会因为对课程不感兴趣、跟不上课程进度、在上课的前一晚通宵等各种原因在上课时表现出讲话、埋头玩手机、睡觉等拒绝学习的行为.这在一定程度上影响了认真学习的同学，也导致老师不得不分出精力看管这些学生，进而使教学无法正常推进，教学时间被浪费，教学质量下降.广州华商学院教务处每学期都会安排学生在教务系统对老师进行教学评价，各个二级学院也会开展学生与教师的座谈会.通过教学评价和座谈会我们发现，部分学生将学不好线性代数的原因归结于老师的语速过快、课程讲得太快、讲得听不懂、太没意思等.

从老师的角度看，按18周的教学安排设置的教学进度非常合理，除了能够讲解清楚知识点，也可以增加适当的互动环节.但是因为有些知识点比较简单，通过前面的铺垫，老师认为学生通过自主学习就能学会;有些知识点学生不需深入了解，如证明太过烦琐、只做了解的内容老师也不会讲，以免浪费课堂时间，影响课程进度.若学生想要深入了解这些问题，可以自主学习思考并在课后与老师进行交流.FCEF4DE7-750D-47FF-AC43-4E0E3E8D5417

从学生角度看，广州华商学院的线性代数老师会在第一次上课时提供联系方式，建立微信群，等等，方便与学生进行交流.所以学生除了课间和课上可以与老师面对面交流，还可在课后发文字信息、图片或语音询问相关问题，老师也会给予回复，耐心解答，对学生加以引导或者指出解答该问题的关键，让学生再深入思考.因此，学生学不好不能完全归咎于老师，要反思一下自己有没有认真投入地去学习.学生应学会从自己身上找原因，而不是推卸责任，应适当约束自己的课堂行为，作息规律，做到不影响老师授课与其他同学学习.

七、根据学生接受程度合理安排课程

广州华商学院的线性代数所使用的课本是中国人民大学出版社出版的《线性代数（第三版）》[3].这本教材有两部分设计得非常好：一是每一个知识点都有相应例题的推导过程，每个章节最后都有相应的章节习题和总习题供学生巩固和练习;二是在教材最后有对线性代数的应用与模型的举例与讲解.老师在正式授课之前，可以先将线性代数在生活中的应用简略地讲一点，让学生大概了解并留下印象，做好铺垫，使其以后学习到这部分的时候，对知识的了解更加深入.有部分学生反馈：该教材的第一章先对矩阵的概念与运算进行讲解，再教授方阵的行列式，然后又返回来教授矩阵的相关知识，会让自己对知识点的理解产生混淆.这对于初学的学生来说，有些不容易接受.有部分学生直言，第一节他们刚学了矩阵的概念与分类，还未清楚有什么应用和运算规则，第二节却没有丝毫衔接地介绍了行列式，在他们刚刚意识到矩阵和行列式原来不是同一个概念的时候，第三节又毫无预兆地介绍了矩阵各种运算的规则.我们都知道矩陣和行列式的性质有高度的相似性，且矩阵与行列式的相关内容贯穿整本教材，因此，老师在教学时需要重点区分出它们的不同.学生本就刚接触这门课，如果教师按照教材的排序方式去教学，容易造成部分学生的学习根基不稳，思维逻辑混乱，无法正确地将两个不同的知识点区分开来，从而导致学生对学习产生抵触心理.部分学生表示，他们本来想对行列式的定义深入剖析理解，但稍不注意就将其与矩阵的概念混为一谈.因此，如何将它们的关系捋清，使学生建立明晰的思维框架，是老师首要的任务.老师要将学生不理解之处介绍清楚，以便学生逐步完善思维框架，以此来提高线性代数的课堂教学质量.

结 语

由以上阐述得出，老师在正式授课之前一定要将线性代数与中学数学的联系、线性代数的原理及作用等解释清楚，注重对线性代数本质的剖析;在教授这门课时，应根据学生对知识的理解程度，按知识的先后顺序将教材章节捋顺;注重对线性代数学科中专业名词的解释，适当进行课堂互动，调动学生兴趣.当然，不能只是老师单方面努力，学生也要配合，紧跟老师的教学步伐，学会平衡大学的生活与学习，约束自己，提高自律性，学会从自身查找原因而不是将学不好线性代数的责任推卸给老师，不能觉得它是一个陌生学科而对这个学科产生抵触心理.线性代数的教学不仅仅是传授定义和公式，有很多的应用都值得老师与学生共同思考与深入探讨.

【参考文献】

[1]刘桂仙，赵延霞.关于高等数学课程的教学探索与实践[J].现代职业教育，2021（33）：34-35.

[2]代业明.从方法论和认识论看线性代数与中学数学的联系[J].煤炭高等教育.2011，29（5）：124-125.

[3]赵树嫄.线性代数（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2021.

[4]王翠香.线性代数课程的特点与教学方法探究[J].大学教育，2019（11）：91-93.

[5]赵鑫硕.大学生移动学习注意力差异研究[D].徐州：江苏师范大学，2017.

[6]李艳艳.线性代数教学改革的探索与实践[J].文山学院学报，2021，34（3）：90-93.

[7]张巧玲.初探线性代数课程的特点与教学方法[J].数学学习与研究，2021（20）：12-13.FCEF4DE7-750D-47FF-AC43-4E0E3E8D5417