数学核心素养在初中阶段的主要表现之一： 抽象能力

摘  要：抽象是数学的基本特征，也是数学的基本思想. 新颁发的《义务教育数学课程标准（2022年版）》把“抽象能力”作为数学核心素养在初中阶段的主要表现之一，并以小学阶段的数感、量感和符号意识为基础，以高中阶段的数学抽象为后继，明确了小学、初中、高中三个阶段的不同要求. 由于抽象能力是一种内隐的心理特征，要落实在课堂教学与评价中，就需要结合具体的数学内容和活动，细化为一些可操作、可观察、可测量的行为指标，并针对这些行为指标提炼与积累相应的教学策略.

关键词：核心素养;抽象能力;表现行为;教学建议

抽象是数学的基本思想，也是用数学眼光观察现实世界的基本方式. 由于数学是研究空间形式与数量关系的学科，因此，数学中要抽象的是事物在数量关系和空间形式上的研究对象、关系与结构，而不管其他方面（如物理）的属性. 数学抽象是一种逐级的、理想化的、形式化的抽象.

初中阶段的抽象能力，一方面，是小学阶段数感、量感与符号意识的进一步发展;另一方面，为高中阶段更为严谨、形式化的数学抽象打下基础.《义务教育数学课程标准（2022年版）》对初中阶段抽象能力的内涵与要求表述如下：

“抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力. 能够从实际情境或跨学科的问题中抽象出核心变量、变量的规律及变量之间的关系，并能够用数学符号予以表达;能够从具体的问题解决中概括出一般结论，形成数学的方法与策略. 感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣.”

下面，我们根据初中阶段的数学课程内容，给出抽象能力的具体表现与教学要求.

一、初中阶段抽象能力的主要表现形式

初中阶段的抽象能力主要表现在数学概念、关系与方法的抽象上，具体包括以下几个方面.

1. 进一步发展数感，能根据实际情境或数学问题情境抽象出有理数与实数的概念

数系的扩张过程是一种典型的数学抽象过程. 初中阶段学生将经历两次数系的扩张：一是引入负数，将正有理数集扩张到有理数集;二是引入无理数，将有理数集扩张到实数集. 通过这两次扩张，使学生能够达到以下目标.

（1）理解负数的意义与必要性. 体验从“具有相反意义的量”抽象出负数概念的过程，理解正数与负数的关系，以及数0的意义. 例如，在温度计中，0℃是一个分界点，3℃与-3℃关于0℃对称;在“收入与支出”模型中，收到100元可以记为100元，支出100元记为-100元，100 + （-100） = 0表示收支平衡.

（2）理解互为相反数的两个数的特征与意义. 如果a，b互为相反数，那么[a+b=0]，反之亦然. 这反映了正数与负数的对称性：① 每一个正数都对应唯一的负数;② 加法与减法互为逆运算，即减去一个数可以看作加上这个数的相反数. 这种对称化的思想是数学抽象的一种常见方式.

（3）理解无理数的存在性及其在数学中的意义. 通过将两个单位正方形剪拼成一个正方形的过程，体验一条不可公度的线段的存在性和引入新数的必要性;通过[2，π]这类具体的无理数感知无理数的无限不循环特征;知道无理数与有理数的区别与联系，通过“一个无理数加减一个有理数的结果还是无理数”这样的结论感知无理数的无限性;通过计算无理数的近似值初步感知极限的思想.

（4）理解运算律的意义，能够将小学中的运算律推广到有理数与实数，并用符号表示. 知道有理数集和实数集对于四则运算都是封闭的.

（5）理解数轴的作用与意义，初步感悟数形结合的思想. 数轴是数的直观模型，实数可以与数轴上的点建立一一对应关系，可以利用数轴直观理解数的几何意义及各种数量规律. 例如，可以用数轴来定义绝对值的概念，把一个数的绝对值看作这个数所对应的点到原点的距离;可以用数轴来比较两个数的大小，可以用数轴理解互为相反数的数的对称性，等等. 还可以利用数轴直观理解有理数的稠密性和实数的连续性.

2. 进一步发展量感，理解度量在几何研究中的作用与意义，培养初步的几何直觉

在初中阶段，图形与几何的学习将从小学阶段的测量、实验、归纳方式逐步转变为以尺规作图、类比和演绎为主的方式，研究的核心为图形的性质与变换. 量感的表现形式也将从基于操作经验的感悟逐步转变为基于概念和推理的直觉. 具体表现为如下几个方面.

（1）通过尺规作图、折纸及剪拼活动能够直观理解图形形状与大小是刚体运动不变量. 刚体运动下的不变性是歐式几何的本质特征，也是尺规作图及几何度量守恒性的基础. 例如，给定三条线段，在满足两边之和大于第三边的条件下，通过尺规作图可以作出唯一的三角形;通过实际操作，形成三角形形状与大小由三边唯一确定的直观认识，为三角形全等的证明提供直觉基础;通过在同一个圆上用尺规作图作两个相等的圆心角的过程，直观认识到圆心角的大小与所对弧和弦的长度的关联性.

（2）能够依据图形的形状与大小对相关的结论做出预判与猜想，为几何推理提供思路. 利用尺规作图作出的几何图形可以“真实”地反映图形中的位置关系和形状大小，由此形成的几何直觉在几何探究和推理中具有良好的启发作用. 在许多几何问题的解决中，一般可以依据图形的位置与度量特征，“看出”结论或推理过程，然后再根据题设给出推理与论证的过程.

（3）能够在几何推理的基础上对实际情境中的度量做出准确的判断，弥补视觉的“失真”和日常经验的不足. 例如，两条笔直的铁轨“看上去”似乎在远处交于一点，但我们知道这是不可能的，因为两条平行线之间的距离永远相等;水平放置的线段与垂直位置的线段“看上去”似乎不相等，利用几何推理我们可以确定那常常是一种“错觉”;利用相似图形的性质我们可以知道，如果窗子的相邻两边加长一倍，那么新窗子的面积就会变成原来的四倍.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

（4）利用度量的直观模型，初步感知无限的过程. 例如，通过圆内接正多边形和外切正多边形边数的不断增加，可以直觉地认识到它们的面积越来越接近圆的面积，圆的面积大小“始终”介于两个正多边形面积之间;通过将一个单位正方形不断“对分”，如图1，可以直观地认识到和式[12+14+18+116+…]越来越接近单位正方形的面积1，但永远比1少一点.

3. 进一步发展符号意识，理解代数是算术的一般化，能用代数方法解决问题

小学阶段的符号意识大体上处于代数符号思维的启蒙阶段. 从初中开始，学生将更多地与形式符号打交道，符号意识也将逐步发展为数学抽象能力及基于符号的运算与推理能力. 其主要表现在以下几个方面.

（1）理解字母符号的各种意义与使用规则. 从字母代数开始，学生将经历字母表示一般意义的数，方程与不等式中的系数与未知数，以及变量与函数几个层次. 能够利用字母系数表示一般的方程与不等式，并给出一类方程的一般解;能够在一个变换过程中发现相关的变量，并用变量与函数的方法解决问题.

（2）能够对符号进行运算与变换. 其中包括公式的变形，代数式的化简、赋值与简单的恒等变形，简单分式与根式的运算，方程与不等式的同解变形，因式分解，待定系数法、换元法，等等. 知道各种代数运算的本质仍然是数的运算，满足各种运算律.

（3）能够发现或构建数学符号的几何意义，运用数形结合的方法解决问题. 例如，在坐标平面上建立有序数对与点之间的一一对应关系，能够利用坐标确定平面上点的位置，表示平面上点的运动规律，以及两个坐标之间的关系;能够利用面积模型推导完全平方公式与平方差公式;知道可以用二次函数[y=ax2+bx+c][a≠0]表示一条抛物线，而且抛物线的形状（开口方向）完全由二次项的系数确定.

（4）能够利用符号表示一般规律，构造猜想、假设，对所提出的数学命题做出判断，用符号简洁地表达推理过程. 例如，通过一元二次方程的等价变形发现根与系数的关系（韦达定理），并运用这种关系解决简单的问题.

4. 能够在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验

数学中的概念、命题、方法与体系都是数学抽象的结果. 在初中阶段，可以通过这些抽象活动，使学生达到以下目标.

（1）理解数学研究对象的抽象性. 数学的研究对象都是抽象的结果，在现实生活中并不存在. 例如，平面几何中的“点”“线”“面”，现实生活中不存在“没有大小”的点，也不存在无限延伸的直线;任何测量的结果都只能是有限小数，不可能获得无限不循环小数;等等.“数学的对象是现实世界中的一些形式和关系，这些形式和关系客观地具有与内容无关的性质，以至于能够把它们完全从内容中抽象出来，并且能够在一般的形态中定义出来，达到明确性与精确性，保持丰富的联系，以至于成为理论的逻辑发展的根据.”

（2）理解概念引入的必要性、概念的定义过程，以及概念的多元表征，能够运用概念的定义解决问题. 例如，幂的定义，最初是基于简化符号表达的需要，将n个字母a的乘积[a · a · a · … · a]记为[an]，就像把n个字母a的连加记为na一样;在定义了幂的运算规律后，发现这种记号可以极大地简化代数式的运算过程与结果;于是，又把指数的范围从自然数拓展到整数、有理数、实数（高中阶段）、复数（高等数学），进而产生了幂函数、指数函数和对数函数，幂的意义随着一次又一次的拓展与抽象而产生更多的意义. 又如，平行四边形的概念，可以采用多种定义方式，通过对不同定义的比较，理解定义是对概念的本质属性的反映，以及一个好的定义应该满足的要求，感悟数学抽象的过程与意义.

（3）理解数学命题的结构与意义，能够在具体的问题情境中，对数量关系与空间形式的规律进行抽象，形成命题. 知道数学命题一般由条件与结论组成，如果由条件经过逻辑推理可以得出结论，那就是一个真命题. 对命题的抽象是发现与提出数学问题的表现之一.

（4）能够在具体的问题解决中，抽象概括出数学的思想方法. 数学思想方法的抽象属于数学抽象的较高层次. 一方面，数学思想方法的形成过程是抽象的结果;另一方面，数学思想方法的表现形式也是抽象的，需要借助具体的问题解决过程才得以呈现. 此外，不同的数学思想方法往往具有不同的抽象水平，像解一元一次方程、一元二次方程的方法可以通过确定的算法程序实现，相对比较具体，而平面几何中的综合方法就缺乏常规的思路，有一定的灵活性. 因此，这方面的要求应该量力而为，逐步提高.

（5）能够建立所学数学知识的横向与纵向联系，不断完善认知结构. 数学具有高度的统一性，不同领域的数学知识及思想方法通常具有广泛的联系. 例如，可以用函数的观点处理方程、不等式的问题;用对称的方法研究函数的图象与性质;用平面直角坐标表示图形的运动规律;等等. 因此，要求学生能够利用单元小结、问题串、概念图、思维导图等方式对所学数学知识体系进行提炼与重组，不断优化和完善自己的数学认知结构.

数学抽象的目的是揭示事物的本质属性，洞察现象背后的结构与规律. 因此，初中阶段抽象能力的培养不仅是数学学习的需要，还有助于学生养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，发展理性精神.

二、从算术思维过渡到代数思维是培养数学抽象能力的关键环节

从小学进入初中后，学生首先要面临的是代数课程的系统学习. 从算术到代数，不只是从具体的数字过渡到字母代数，也不只是增加了未知数、方程、不等式、变量、函数等抽象概念与符号，更重要的是要从算术思维过渡到代数思维.

那么，什么是代数思维呢？我们先来看一个典型的案例.

雞兔同笼：今有鸡、兔若干，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少？

算术解法1：假设这50只都是鸡，就该有100只脚，但题目有140只脚，说明其中还有兔. 所以用140减去l00所得的差40，正好是兔的头数的2倍，于是结论是30只鸡，20只兔.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

算术解法2（波利亚）：假设出现下面的奇观，所有的鸡都抬起一只脚，所有的兔都只用后脚站起来，这时站立的脚的总数是题目所给的脚的总数的一半，即为70，它恰好是鸡的头数与2倍的兔的头数之和，所以用70减去50所得的差20就是兔的头数. 于是结论是30只鸡，20只兔.

代数解法：设鸡为x只，兔为y只，于是有方程组[x+y=50，2x+4y=140.] 解得[x=30，y=20，] 即30只鸡，20只兔.

比较上述两类解法可以看到，算术解法并不是所有人都能够想到的，需要较高的智力水平（甚至是奇思妙想），而代数方法实际上只需要实施一定的程序，只要掌握这种程序，便可以解决问题;算术方法是一题一法，这里所用的方法一般不能用于别的问题，而代数方法是一种通法，可以形式化地解决一类问题;算术方法主要是通过运算，从一个量得出另一个量，而代数方法侧重于各种量之间的（相等）关系;算术方法是含情境的，其中的“数”有不同的含义，如“鸡的脚数”“兔的脚数”“兔的头数”，而代数方法是“去情境”的，其中的具体“量”已经变成了一种抽象的符号，处于同等的地位;算术方法中的未知量是“捉摸不定”的，直到解出问题时才露出“庐山真面目”，而代数方法中的未知数是设定的、具体的，可以参与各种运算.

可见，算术思维和代数思维在解决实际问题时有本质的差异.

首先，在算术思维中，侧重于利用数量的计算求出答案的过程，这个过程是程序性的、计算性的;而代数思维倚重的是关系的符号化及其运算，这个运算是结构性的和一般性的.

其次，算术思维解决实际问题的过程是含情境的，具有特殊性的，甚至是建立在直观上的;而代数思维解决实际问题的过程是去情境的、形式化的，并且在某种程度上是不能依赖直观的.

最后，在算术思维中，表达式的作用是一种思考的记录，是直接联结题目与答案的桥梁;而在代数思维中，表达式的作用不再只是直接联结问题与答案的过程记录，还充当着联结各种量的媒介的角色.

此外，算术思维解决问题时采用的是一种目标指引的直接的思路;而代数思维采用的则是“迂回战术”，其过程被分成三个阶段：第一阶段是通过去情境、引入符号将实际问题转化为代数问题;第二阶段是利用合适的代数模型解决相应的代数问题;第三阶段再把结果还原到实际情境中去. 在上面的这三个阶段中，作为核心部分的第二个阶段是一种与原问题、情境无关的形式（符号）运算，运用的是具有结构性与抽象性的运算法则. 正因为这一阶段是脱离情境的，因此才可以发展成为一般化的途径.

国际数学教育界知名学者基兰认为，从算术思维向代数思维的过渡需要满足以下五个条件：（1）聚焦关系，而不仅仅是数值运算;（2）聚焦运算和逆运算，以及设而不求的思想;（3）聚焦对问题的表征及解决过程，而不只是答案;（4）聚焦字母符号，而不只是数字;（5）重新认识等号的意义. 因此，“符号意识”是学生从算术思维过渡到代数思维的必要条件.

因此，要帮助学生从算术思维过渡到代数思维，需要在教学中关注以下几个方面.

一是符号表征，即用符号或者由符号组成的代数式、方程、不等式、函数去表示数学（或其他学科或现实生活）中的对象或结构. 其中包括：（1）能够将用自然语言表示的条件或命题写成符号形式，如将“三个连续的自然数”表示为“n，n + 1，n + 2”或“n - 1，n，n + 1”，或根据题意写出已知、求证等;（2）根据题设的相等关系、不等关系和函数关系分别列出方程、不等式和函数解析式;（3）能够用自然语言去解释符号操作的过程与结果.

二是符号变换，即各种表征之间的等价的或不等价的转化. 其中包括：（1）代数式的赋值、化简和恒等变形的技能;（2）解方程和不等式的技能;（3）换元法.

三是意义建构，即解释或发现形式符号或表达式背后的数学结构或实际模型及各种符号操作的意义与作用. 例如，知道任意一个数的绝对值[x]都是非负数，可以表示“数轴上的点到原点的距离”;知道一次函数的图象是一条直线.

由此可见，小学阶段培养的符号意识是初中阶段形成抽象能力的基础之一，而数学抽象能力则是符号意识的进一步发展.

三、关注数学概念的发生和发展过程，多角度理解概念

概念是逻辑思维的基本形式之一，也是数学抽象的目标及进一步抽象的基础.

从数学本身的发展来看，数学概念的来源一般认为有两个方面：一是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得;二是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象所获. 所以数学概念的形成是一个从具体到抽象的过程. 数学概念的学习有助于发展学生的抽象能力.

除了抽象性，数学概念的另一个显著特点就是表征的多元性. 莱什（R.Lesh）将布鲁纳的动作、表象和符号表征的思维活动以直线方式的发展修正为平面网状式的互动发展而提出数学学习的五种表征：实际情境、图形、教具、口语符号、书写符号. 莱什认为数学的学习，除了布鲁纳的表征理论强调深度的提升外，加强广度的学习有助于深度的提升. 因此，他增加了实物情境和口语符号两种表征，并且强调各种表征内部和表征之间的转换（如图2）.

上述图形的一个附加功能就是可以作为概念理解的评价框架. 当我们说学生理解了数学概念时，在一定程度上是指他能够运用图2中勾绘的转化程序. 例如，说学生理解了一次函数概念，意味着他们能够用具体的实例（如匀速直线运动，周长一定时矩形花园的长与宽的数量关系等），通过操作（利用表格列出自变量与函数值的对应关系）、图形（画出函数的图象）、符号（写出函数的代数不等式）、口语（用自己的語言表述函数值随自变量变化而变化的过程）等多角度地描述一次函数.

数学概念内涵的高度抽象性使得它具有普遍的意义和广泛的应用，而外延表征的多元性又使得数学概念的运用具有一定的灵活性. 因此，在教学中要尽可能地使学生亲历概念的抽象过程，并从不同角度理解概念.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

按照拉卡托斯的观点，许多科学概念的定义并非一开始就是精确的，其中涉及如下的抽象化和精致化过程：首先产生一个模糊的想法;尝试对这个想法用语言进行描述;接着通过形式的定义得到初步的概念;然后尝试由定义给出具体的例子、推出某些性质、验证相关的定理，寻找等价或者相似的对象;最后再对原先的定义进行修正，以排除那些不合理的推论，进而调整、变更或者拓展对概念的理解，以便适应新的可能性. 因此，理解概念的定义是形成抽象能力的基本途径.

要加强数学概念的教学，可以从概念发生和发展的历史过程、逻辑过程及心理过程考虑.

从历史上看，许多数学概念都经历了起起落落、曲折漫长的发展过程，今天出现在教科书上的概念定义与表达形式往往都是几代数学家不断简化、改进的结果. 通过这种过程，学生不仅可以更深刻地理解概念的意义及其必要性，而且可以感悟数学抽象的特征和数学的人文精神.

从逻辑上看，数学概念都不是孤立的知识点，每一个概念都有一些相关的概念，它们之间组成各种逻辑结构，形成一定的知识体系. 其中，特别是一些处于核心位置的概念，对于整个知识体系的抽象与理解至关重要.

从学习心理上看，概念的学习主要有概念形成与概念同化两个过程. 关于这两个过程的学习理论大都建立在皮亚杰的认知结构的基础上. 其中，概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程. 其具体过程如图3所示.

而概念同化的心理过程则主要包括以下两个阶段.（1）辨认. 辨认定义中的新观念哪些是已有概念，新、旧观念之间存在什么关系，辨认过程包含了回忆与知识的重现. 例如，学习矩形的概念，在给出矩形的定义后，学生必须对四边形、平行四边形、相邻两边的夹角等已有概念进行回忆和辨认.（2）同化. 建立新概念与原有概念之间的联系，把新概念纳入原认知结构中，使新概念被赋予一定的意义. 例如，上述关于矩形概念的学习，学生将矩形与平行四边形比较，发现新概念是已有旧概念的组合，于是通过建立新、旧概念的联系获得矩形的概念，同时，获得新概念后又扩大和改组了原有的数学认知结构. 通过将新概念与某些反例相联系，使新概念更加稳固和清晰.

四、通过具体的问题解决过程，感悟数学的通性、通法

在抽象能力的培养中，最具有挑战性的是对数学思想方法的抽象能力.

数学思想方法是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识和基本看法，既包括从某些具体的数学认识过程中提炼出来的并在后继的认识活动中通过反复运用而证实的正确的认识结果或观点，又包括对数学的本质和特征、数学与现实世界的关系及地位作用、数学内部各部分之间对立统一关系的认识，同时还包括关于数学概念、方法、理论的产生与发展的认识. 数学的思想方法不仅是抽象的产物，其存在形式也是抽象的. 数学思想方法的形成通常蕴含在数学概念、原理、命题的抽象过程及数学问题的解决过程中.

由于数学思想方法在内涵与形式上都是抽象的，因此，在初中阶段的教学中需要通过具体的问题解决过程将其明晰化，使学生逐步感悟与内化. 同时，应该重点关注具有一般意义的通性、通法，而不是一些高难度的解题技巧.

中小学数学中的通性、通法主要是一些最基本的、常用的，而且大多数学生可以自然想到、掌握的方法. 例如，配方法是解决“二次问题”（一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数，乃至高中阶段的二次曲线）的通性、通法. 首先，配方法有着直观的几何意义，历史上早期就是通过面积来解决一元二次方程问题的;其次，配方法的目的是消去一次项，从而把所有的一元二次方程化归为最简形式[ax2=c]，然后通過开方运算或者平方差公式化归为一次方程，进而解得方程或者进行根的讨论，这种“消项”“降次”的方法可以推广到一元三次方程和一元四次方程的公式解法，反映了代数的基本特征;最后，由配方法可以得到二次函数图象的对称轴，从而利用对称性解决问题（如最大值、最小值问题），而运用对称性可以收到事半功倍的效果.

由于数学思想方法具有高度的抽象性，同样应该遵循从具体到抽象的教学原则. 以配方法的教学来说，首先，学生需要经历完全平方公式的推导过程，熟悉此公式在数与代数的运算中的应用;其次，从简单的数字系数的二次三项式开始，逐渐变化到字母系数，从对一个字母变元的配方到针对一个代数式的配方;最后，根据问题解决的需要，灵活地从正向和逆向两个角度运用配方法.

最后，需要注意的是，虽然初中生已经处于皮亚杰所说的“形式运算”的认知发展阶段，是培养抽象能力的关键期，但由于数学中的抽象是一种逐级抽象过程，可以在不同的层面上进行抽象. 因此，需要选择合适的知识固着点作为抽象的基础. 此外，初中阶段的“抽象能力”与高中阶段的“数学抽象”相比，前者可以是局部的、借助直观的抽象，后者更关注数学抽象的系统性与严谨性.

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