用一般观念引领章起始课教学

王万丰 周孝辉

摘  要：数学的研究对象不同，但是数学研究的思路与方法却大致相同. 在数学教学中，我们应在一般观念下去思考一个数学对象的研究思路、方法与套路，从数学对象的发生、发展处展开教学.“二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象和性质”是学生完整地经历了一次函数的研究历程而开始学习的，在教学的过程中应充分发挥先行组织者的教学理论，引导学生整体回顾一次函数的研究思路与方法，用类比思想规划研究“二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象和性质”的学习思路与方法而展开教学，这样的教学提升了数学活动经验，发展了数学素养.

关键词：一般观念;类比研究;设计教学

一、引言

多次听过人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）九年级上册“二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象与性质”这节课，课堂上多数教师都是开门见山，上课伊始就直接告诉学生我们要开始研究二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象与性质，直接就对a取特殊值，列表、画图象来得出二次函数y = ax2（a ≠ 0）的性质，接着就应用性质解决问题. 表面上看，这堂课是很夯实的一堂课，结果往往是学生能记住二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象与性质，也能够应用性质解决一些问题，从完成教学任务来看也没有什么大的问题，但是总感觉缺少点什么.

细细思考，这样的教学是碎片化的教学，是“掐头去尾烧中段”式的教学. 试想，如果我们要研究二次函数的性质，为何是从研究“二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象与性质”开始的？要研究“二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象与性质”又为何要对a进行取值？要对a进行取值，又为何要进行分类，分成a > 0和a < 0两类？研究二次函数y = ax2（a ≠ 0）的性质又如何归纳及从哪几个方面去归纳？这些问题如果不解决，学生仍然学不会研究函数的性质. 从过程与方法目标来讲，这样的教学对发展学生的数学活动经验没有任何帮助，这样的教学只是教会了学生“知其然”，而没有让学生思考“何以知其然”及“何由以知其所以然”.

出现以上问题的根源在于：教师在教学设计的过程中没有应用一般观念引领教学.

所谓一般观念，指的是与核心概念和理论相关的研究问题的一般“套路”，是代数、几何及统计与概率的研究思路、研究内容和研究方法. 用一般观念指导教学，能够帮助学生形成更高层次的认知能力.

一般观念引领下的章起始课教学，需要按照“整体—部分”的顺序展开. 首先，在整体视野下明确本章或本节内容的研究思路;其次，围绕核心内容提出研究问题，明确研究目标（研究内容）;最后，展开对本节内容的研究. 这种章起始课的教学方法可以使学生用整体的视角理解知识的直接关联，感悟知识的发生、发展和应用过程中蕴含的数学思想方法，让学生“知其然”，并“知其所以然”，知其“何由以知其所以然”.

二、一般观念下的函数研究的内容与方法

1. 函数知识的整体性与内在联系

函数知识是初中阶段代数最重要的内容，初中阶段研究了一次函数、二次函数及反比例函数，在学习的过程中都要学习函数的相关概念，函数的表示方法，学会用描点法画出函数的图象，结合函数图象研究函数的性质，利用函数的性质解决实际问题等. 具体如表1所示.

2. 函数研究的基本思路

函数图象与性质是函数研究的主体，通过对函数图象与性质的学习，从数量和图象两个方面及其相互联系中显示出函数本质特征是联系变化，通过观察发现图象的规律，再根据这些规律得出关于数值大小的性质，即研究函数的增减性. 一次函数是一种单调递增或单调递减的函数;二次函数的图象具有对称性，其单调性需要分类讨论，在递增和递减的分界点处会产生函数的最大（小）值，所以研究二次函数的性质要研究其对称性、增减性及最大（小）值;反比例函数是分段函数，是有区间的单调性，教材主要研究其增减性.

综上所述，研究函数的性质主要研究其图象分布规律及其对称性、增减性及特殊点. 归纳如图1所示.

3. 函数性质的研究方法

研究一个数学对象，遵循的方法一般是从特殊到一般、从简单到复杂. 要研究函数的性质，就必然要先给出函数的图象，一次函数的性质研究是先从正比例函数研究开始的，通过平移正比例函数的图象，即可得到一次函数的图象，从而研究一次函数的性质，如图2所示.

与一次函数类似，二次函数也是利用平移来得到函数图象的. 从最基本的二次函数y = ax2（a ≠ 0）开始研究，通过向上（或向下）再向左（或向右）平移得到二次函数y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）的图象与性质，再将二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）配方变形为y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）的形式，从而得出二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象和性质，具体如图3所示.

可以發现，一次函数与二次函数性质的研究方法具有高度的相似性，都是可以通过一个最基本的函数经过平移得到所研究的一般函数. 只是平移的复杂程度不同，一次函数的图象是一条直线，所以只需要由正比例函数通过向上（或向下）平移即可得到;而二次函数的图象是一条抛物线，需要由y = ax2（a ≠ 0）进行左右或上下平移得到.

4. 正比例函数y = kx（k ≠ 0）与二次函数y = ax2（a ≠ 0）性质的研究方法比较

函数性质的研究是函数研究的主体，应用函数模型可以更加精确地描述变量之间的关系，利用函数性质解决实际问题中的最值问题. 那么函数的性质是如何研究的呢？实际上，函数性质的得出是采用不完全归纳法，即通过研究几个特例函数的特点，通过归纳得出这类函数的共性即为函数的性质. 通过查阅教材，将正比例函数y = kx（k ≠ 0）及二次函数y = ax2（a ≠ 0）性质研究的方法归纳如图4所示.D1F06254-D527-440D-AAF7-DBE3A549AB70

可以看出，研究函数性质的主要方法是：先将其系数进行分类与特殊化，从而有了具体的函数作为研究对象，通过描点法画出特殊函数的图象，将研究函数的性质转化为研究几个特例函数的特点，并进行不完全归纳，共同的特点称为函数的性质;对于分类的系数有不同的特点，性质将进行分类表述. 具体图示如图5所示.

由以上分析可以看出，函数研究的套路与方法基本类似，特别是一次函数与二次函数，其性质研究的思路与方法完全一致. 所以在教学中应从整体思考函数研究的套路与方法，发挥一次函数性质研究的先行组织者作用，充分利用一次函数性质研究的数学活动经验，设计出逻辑连贯的数学活动，让学生通过类比一次函数，主动构建起研究二次函数的套路与方法，形成函数性质的研究路径，发展学生的核心素养.

5. 数学活动经验对函数研究的指导作用

教材对函数学习的内容是这样安排的，八年级下册学生学习函数的相关概念及表示方法，学会描点法画函数图象，初步学会用函数模型解决实际问题;在此基础上研究正比例函数的图象和性质，再研究一次函数的图象和性质;九年级上册研究二次函数的图象和性质，九年级下册将研究反比例函数的图象和性质.

从数学活动经验的要求来看，教师应以“手把手”的方式去教学生研究一次函数，特别是在本章复习中要总结出函数的研究套路与方法，初步形成研究函数的基本数学活动经验;然后以“帮把手”的方式研究二次函数，在研究二次函数的性质之前要与学生一起构建研究二次函数的套路与方法，形成研究路径，巩固研究函数的数学活动经验，当然，应该发挥一次函数的先行组织者作用. 另外，在本章复习阶段仍然需要继续回顾研究二次函数的套路与方法，巩固研究函数的数学活动经验，形成较为稳固的研究函数的数学活动经验. 在这两章的基础上，学生具备了研究函数的数学活动经验，所以教师应以“放开手”的方式去教反比例函数，应完全放手让学生自己去研究反比例函数，如表2所示.

三、一般观念引领下的“二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象与性质”教学设计

1. 构建函数性质研究的一般方法

问题1：学习了二次函数的定义后，接下来我们将研究二次函数哪方面的内容？

师生活动：学生根据学习一次函数的经验得出研究二次函数的图象、性质及应用. 得到图1.

【设计意图】根据先行组织者理论，体现类比研究思想，明确研究内容.

问题2：对于函数的图象和性质的研究我们已经有了一定的基础，你认为我们应如何研究二次函数的图象和性质？

追问1：如何研究一次函数的图象与性质？

师生活动：先让学生展望研究二次函数图象的方法，当学生感到困难时引导学生回顾一次函数的相关研究内容和方法. 经历从特殊到一般的探究过程，先研究特殊的一次函數——正比例函数y = kx（k ≠ 0）的图象和性质，再研究一般的一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的图象和性质;通过描点法画出一次函数的图象，观察特例函数与一般函数的位置关系，总结得到图2. 另外，在研究正比例函数的过程中，分k > 0，k < 0两种情况讨论，由k取具体的数入手，最后归纳出一般的情况，总结得到图4（1）.

【设计意图】通过此问题进行研究框架的搭建，虽然二次函数与一次函数的研究对象有差异，复杂程度有差异，但研究方法是从特殊到一般. 复习回顾一次函数的研究内容和研究方法，带领学生体会函数的研究内容和研究方法，为后续自主构建研究二次函数的图象和性质帮把手.

追问2：通过类比一次函数的研究思路与方法，你能说说二次函数应如何研究吗？

追问3：如何研究y = ax2（a ≠ 0）的图象与性质？

师生活动：学生主动构建研究思路与方法，教师提升并完善研究路径，形成研究路径的共识，即先研究y = ax2（a ≠ 0）的图象与性质. 继续类比研究正比例函数的研究思路，构建出研究y = ax2（a ≠ 0）的图象与性质的思路与方法，包括对字母a进行分类讨论，如何对a取特殊值，通过画图象归纳共性得出函数的性质等，构建出如图4（2）所示的研究路径.

【设计意图】通过此问题进行研究框架的搭建，让学生应用一般观念思考研究函数的套路与方法，从系统的角度构建出函数图象的研究路径，这既是对数学学习的深度思考，又是基于一般观念引领去思考数学，提升学习数学的品味.

2. 类比探究二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象和性质

问题3：类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数y = x2的图象，你能说说它的图象具有哪些特征吗？

追问1：怎样用描点法画出函数图象？自变量x的取值范围是什么？

追问2：从哪些角度去观察、概括特例函数y = x2的图象的特征？

师生活动：学生积极思考图象的特征，有序思考研究二次函数性质的几个角度，即对称性、增减性、图象分布及最值等.

【设计意图】教师引导学生概括观察的角度和方法，尝试类比探究特殊的二次函数y = x2的图象和性质，也可以适时引入几何画板软件进行画图，辅助教学，并以函数y = x2的图象为观察对象，了解抛物线的相关概念.

问题4：在同一直角坐标系中画出函数[y=12x2]，y = 2x2的图象，函数[y=12x2]，y = 2x2的图象与函数y = x2的图象相比，有什么共同点？有什么不同点？通过归纳得出当a > 0时，二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象有什么特点？

追问1：这种共同点是由什么因素引起的？

追问2：这三个函数有哪些不同点？是由什么因素决定的？

【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y = ax2（a > 0）的图象特征.D1F06254-D527-440D-AAF7-DBE3A549AB70

问题5：类比a > 0时的研究过程，研究当a < 0时，二次函数y = ax2的图象特征.

追问1：通过列表（略），你能猜测出抛物线y = x2与y = -x2的图象有什么关系吗？你能通过表格中的数据或者函数解析式来证明你的结论吗？

师生活动：学生猜测两条抛物线的位置关系，并通过观察表格中的数据，得到一些特殊点是关于x轴对称，归纳得出两条抛物线也是关于x轴对称;也可以通过一般情况加以证明，即点（m，m2）在抛物线y = x2上，那么点（m，-m2）在抛物线y = -x2上，也可证明两条抛物线关于x轴对称.

【设计意图】通过说明两条抛物线的位置关系，培养学生观察、归纳、猜想、论证的能力，培养学生逻辑思维能力，通过类比a > 0的研究过程，经历从特殊到一般的研究过程，从特殊的数值入手，观察函数图象的特征，并归纳出二次函数y = ax2（a < 0）的图象与性质.

问题6：你能说出y = ax2的图象和性质吗？

【设计意图】通过再一次归纳与总结，分类表述二次函数y = ax2（a ≠ 0）的图象和性质，培养学生有条理地表达及有条理地思考函数性质的能力.

四、一般观念引领章起始课的几点思考

1. 一般观念引领教学的价值——数学育人

我们知道，所有科学问题的本质都是简单而有序的. 人类的智慧表现在用简单的概念阐明科学的基本问题，用相似的方法解决不同的问题，而数学的方法就是简单的基本方法. 这正与数学研究对象相匹配，无论是在代数领域还是在几何领域，研究的对象千变万化，但是研究的内容与方法是一脉相承的，正所谓“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”. 所以，在教学中，我们应当让学生感悟到数学研究的基本方法，体会用相似的方法解决不同的问题的数学思想方法，经历用相同的方法研究不同的数学对象的过程，学会一般观念引领构建出数学研究对象的基本路径、基本套路与基本方法，并用自主构建的研究方法研究一个新的对象，经历了数学抽象、逻辑推理等过程，发展了数学学科核心素养，也正是用数学的方式育人的体现.

2. 一般观念引领教学的方法——先行组织者

美国教育心理学家奥苏贝尔提出，学生面对新的学习任务时，如果原有认知结构中缺少同化新知识的适当的上位观念，或原有观念不够清晰，则有必要设计一个先于学习材料呈现之前呈现的一个引导性材料，帮助构建一个使新、旧知识发生联系的桥梁.

学生在研究一个新的对象时，总是会感觉有些困难，若能够在一般观念的引领下，回顾恰当的上位观念，并能对此上位观念的研究思路、研究方法与研究套路进行回顾与整理，就能帮助学生构建出章起始课中数学对象的研究思路与研究方法. 本节课中，对于如何研究二次函数的性质，教师通过“如何研究一次函数的图象与性质？”这一问题，启发学生思考上位观念，并通过追問、对话，回顾整理出一次函数的研究套路，通过类比，构建二次函数的研究思路与研究方法.

3. 一般观念引领教学的思想——类比思想

在教学中，要想从一般观念引领章起始课的教学，基本方法应发挥先行组织者的作用，用类比思想构建一个数学对象的研究路径与框架，在章复习课用一般观念引领教学，引导学生从研究思路、研究对象、研究方法、知识结构等角度理解知识的本质，形成比较稳固的数学活动经验. 那么在章起始课的教学中就通过类比思想，构建出新的研究对象的研究路径与框架.

本节课的教学是基于一次函数的研究方法与套路，通过类比，得出二次函数的研究方法与套路，通过一次函数性质的研究内容类比得出二次函数性质的研究内容，体现出“帮把手”研究二次函数性质的思想. 在研究二次函数的图象与性质中，进一步将函数图象性质的研究套路明朗化，形成稳定的数学活动经验，就可以“放开手”让学生研究反比例函数的图象与性质，达到“教是为了不教”这一目的，也是教学的最高境界.

4. 一般观念引领教学的基础——理解数学

应用一般观念引领教学，教师首先必须懂得如何用数学的方式分析中学数学课程中每一个数学对象的研究套路，即要理解数学中每一类数学对象的研究思路、研究内容与研究方法，从知识的发生、发展的内在逻辑角度，用更高的观点理解数学知识.

例如，用“怎样研究函数”的一般观念去引领教学，教师应从更高的角度去理解函数的相关内容. 例如，函数是如何定义的？函数的图象与性质是如何展开研究的？函数性质的研究内容有哪些？函数性质的逻辑起点又是什么？如何归纳函数的性质？等等. 教师只有从更高的观点来理解所教学的内容，才能深化学生对知识的理解，才能设计出让学生理解“何由以知其所以然”的高观点的课堂.

本节课的教学实践表明，一般观念引领下的章起始课教学，可以帮助学生在整体视野下建立知识之间的联系，形成系统、简约的知识结构，并利用这些知识结构展开新的研究，形成稳定的数学活动经验，用相同的方法做不同的事情. 章建跃博士认为，数学教学的根本任务就是要发展学生的思维，就是要使学生面对一个新的问题时总能找到方法. 注重一般观念的思维引领作用，抓住知识之间的内在联系，使学生掌握研究问题的一般观念，并应用一般观念研究新的问题，是实现数学育人的重要途径.

参考文献：

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