一道课后习题的多解与反思*——对数比较大小问题

福建省福清华侨中学 (350300) 俞文锐

1.引言

对数比较大小问题是每年高考的热点题型，题型杂方法多，重点考查数形结合思想，化归转化思想，以及数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，那么对于底数不同、真数也不同的对数比较大小，究竟要应用什么方法予以解觉呢？本文以人教A版必修第一册一道习题为例对该问题进行探究．

2.试题呈现

例1 比较log23，log34，log45的大小(人教A版数学必修第一册P141拓广探索第13题)

3.解法探究

我们先比较log34，log45的大小.

解法一：(运用作差法+基本不等式比较大小)

评析：通过构造函数，研究函数的单调性，利用单调性比较大小，也是我们常用的一种策略，解题教学中要给予充分的关注.

4、解题反思

本题中两个对数的底数和真数具有规律性，我们可以将它推广到一般性结论.

性质1 当a>1 时，loga(a+1)>log(a+1)(a+2).

证明：由解法 7 已知结论成立知.

性质2 当 11 时,logab>logambm.

性质3 设b>a>1,n>0,m≥1,则有

logam+n(bm+n)

性质4 若10,则logab>log(a+n)(b+n).

证明：性质3中取m=1可得性质4.

利用性质1、性质3、性质4我们可以轻松获得log23>log34>log45，对于底数、真数呈现以上规律性的对数我们可以快速比较大小，那么对于任意的底数不同、真数也不同的对数比较大小问题，我们能否获得一般性的结论呢?

5、高考真题链接

例1 (2013年全国Ⅱ卷第8题)设a=log36,b=log510,c=log714,则( ).

(A)c>b>a(B)b>c>a

(C)a>c>b(D)a>b>c

例2 (2020年全国卷3理科第12题)已知55<84，134<83.设a=log53,b=log85，c=log138,比较a,b,c的大小.

结语：比较大小问题是经典的题型，教材中蕴含有多种解题方法，如作差法、构造法、单调性法、基本不等式法、不等式性质法、分析法、中间量法、图像法等，充分挖掘教材中的解题方法，通过一题多解教学，培养学生的数学运算能力，促进数学思维的发展，培养学生发散性思维能力，同时也让学生进一步体会到不同知识之间的紧密联系.通过对习题的拓展，学生依据从特殊到一般的推理，从特殊的命题log34>log45出发，得到一般性的命题：若b>a>1,n>0,m≥1,则有logam+n(bm+n)