从一道高考题再谈“类周期函数”

上海市上海中学东校 (201306) 汪海鹏

函数性质问题是高考和竞赛中常见的题型.周期性是函数的重要性质，很多题目中会出现周期函数的影子—与周期函数类似的函数，我们称之为类周期函数.这种题目在竞赛和高考中变化多样，形式新颖，可以很好的考查学生的数学综合素养，备受命题人青睐.

一、考题再现

题目(2021年上海高考21题)如果对任意x1,x2∈R使得都有x1-x2∈S,则称f(x)是S关联的.

(1)判断并证明f(x)=2x-1是否是[0,+∞)关联？是否是[0,1]关联？

(2)f(x)是{3}关联的,在[0,3]上有f(x)=x2-2x,解不等式2≤f(x)≤3；

(3)“f(x)是{1}关联的，且是[0,+∞)关联”当且仅当“f(x)是[1,2]关联的”．

该题目巧妙的在新定义的情景当中融入了类周期函数的性质，(2)、(3)中的“f(x)是{3}关联的“和”f(x)是{1}关联的“就可以看作类周期函数的综合问题.破解题目的关键就是结合题目中的新背景，通过分析类周期函数的性质和图像即可明确清晰.而(3)中的“不等式”型类周期问题的解决要求更高了，还考查到学生的不等式相关知识，以及其他数列思想,思维含量比较高，是体现数学能力的很好载体.

二、问题破解

解法1：(1)①设任意x1,x2∈R,且x1-x2∈[0,+∞)，则f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2+1=2(x1-x2)∈[0,+∞),f(x)=2x-1是[0,+∞)关联的.

②设x1-x2∈[0,1]，f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2+1=2(x1-x2)∈[0,2]，故f(x)=2x-1不是[0,1]关联的.

图1

(3)充分性：由f(x)是{1}关联的可知，对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=1.由f(x)是[0,+∞)关联的可知函数f(x)单调不减.

设任意x1,x2∈R,且1≤x1-x2≤2，一方面f(x1)-f(x2)≥f(x2+1)-f(x2)=f(x2)+1-f(x2)=1，另一方面f(x1)-f(x2)≤f(x2+2)-f(x2)=f(x2)+2-f(x2)=2.即得f(x1)-f(x2)∈[1,2].

必要性：∵f(x+1)-f(x)≥1，f(x+2)-f(x+1)≥1，f(x+2)-f(x)≤2可以得到f(x+1)=f(x)+1.故对xf(x)也成立.

点评：(2)中函数类周期性质中，当自变量从一个周期变化到下一个周期时，其函数值发生了变化，其图像同时发生了左右平移和上下平移，解决此类问题的关键时抓住函数在主值区间上的图像，由此延拓到整个定义域上，从图像中找出规律，然后尝试离开图像，直接从局部解析式中得到整个解析式，求得问题的解.(3)中“不等式”型类周期问题的解决要求更高，它不但考查有关函数的知识，还要求学生具备不等式相关知识.

解法2：(1)x1-x2∈[0,+∞),f(x1)-f(x2)=(2x1-1)-(2x2-1)=2(x1-x2)∈[0,+∞),f(x)=2x-1是[0,+∞)关联；x1-x2∈[0,1],f(x1)-f(x2)=(2x1-1)-(2x2-1)=2(x1-x2)∈[0,2],f(x)=2x-1不是[0,1]关联.

图2

②当f(x)是[1,2]关联，有Δx∈[1,2]，∴g(Δx)=f(x+Δx)-f(x)∈[1,2]，当g(1)=f(x+1)-f(x)∈[1,2]，g(2)=f(x+2)-f(x)∈[1,2]时，假设g(1)>1，有f(x+1)-f(x)>1.∴f(x+2)-f(x)>f(x+1)+1-f(x)>2，又∵g(2)=f(x+2)-f(x)∈[1,2]，矛盾.故只有g(1)=1，易得g(2)=2.利用f(x+1)-f(x)=1得f(x)是{1}关联，依次可得g(n)=n,n∈Z+，即当Δx∈[n,n+1]，有g(Δx)∈[n,n+1]，当n→+∞时，Δx∈[0,+∞)，g(Δx)∈[0,+∞).

点评：结合已知条件中定义的抽象函数的性质，利用化归思想，结合周期数列的处理方法，巧妙将题中的条件有效转化.

三、变式拓展

通过改变真题中类周期函数的形式，由平移型改为伸缩型或者为不等式型，合理改变给出函数类周期的条件，会得到以下相应的类似问题.

变式1 我们把定义在R上，且满足f(x+T)=af(x)(其中常数满足a≠1,a≠0,T≠0)的函数叫做类周期函数.

(1)当T=1，a=2时，某个类周期函数在0≤x<1时的解析式为f(x)=x2-2x，求函数y=f(x),x∈[n,n+1),n∈Z的解析式；

(2)对于确定的T>0且0

解析：(1)类周期函数在0≤x<1时的解析式为f(x)=x2-2x，当x∈[n,n+1),n∈Z时，x-n∈[0,1),则f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=…=2nf(x-n)=2n[(x-n)2-2(x-n)],所以f(x)=2n[x2-(2n+2)x+n2+2n],x∈[n,n+1),n∈Z.

(2)类周期函数T>0且00时，f(x)=an[3(x-nT)+1],x∈(nT,(n+1)T]是增函数，此时f(x)∈(an,an(3T+1)].若类周期函数y=f(x)在区间(0,+∞)上可能是单调函数，只能是增函数，即an+1>an(3T+1),故答案是a≥3T+1.

解析：由f(x)+2017≤f(x+2017)=f(x+1+2016)≤f(x+1)+2016可得f(x)+1≤f(x+1)，同理由f(x)+2016≥f(x+2016)递推可知f(x)+1≥f(x+1)，从而f(x)+1=f(x+1)，进而知{an}是等差数列.a2018=a1+2017=2019.

四、解后反思

类周期函数问题是函数综合知识考察类型的常青树，对这类问题的探究是基于周期函数的基础上，对函数性质作更深入的挖掘，它要求学生具有比较全面的函数基础知识，具有类比分析、数形结合等解题思想能力，是高考和竞赛试题中的难点，对学生有很好的考察功能.