深入探究，豁然开朗——由一道解三角形题是否两解引发的思考

扬州大学附属中学 (225000) 胡丽媛

在近日的一次练习中，笔者选了2013年北京高考理科卷中的解三角形题，主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.本认为这是一道容易的解答题，但在批阅过程中发现不少学生产生了两解，为此，笔者进行了一些深入的探究与同行交流.

一、问题呈现

(1) 求cosA的值；(2) 求c的值.

二、解答过程

首先，给出参考答案：

部分同学对第(2)问解答如下：

三、深入分析

对于上述解法二，不少采用这一思路的同学是缺失检验，即产生了两解.这不免让我们提出疑问：在三角形已知两条边及其中一边的对角的条件下，若运用余弦定理求第三条边，需要解一元二次方程，那么在出现两个不等的正数解时，是否都要思考“增解”问题呢？

而事实并非如此，分析如下：已知△ABC的两边a,b和一边的对角A，解三角形时，如果A为锐角，那么，可能出现以下情况.

①当sinB>1，即a

图1 图2

②当sinB=1，即a=b·sinA时，角B有一解，即三角形只有一解，如图2；

③当sinB<1，即a>b·sinA时，角B有锐角和钝角两种可能，由于角A是锐角，故角B能否为钝角决定了三角形解得个数.其中当a≥b，即A≥B时，角B有一解，即三角形只有一解，如图4；当a

图3 图4

那么，如果用余弦定理解出边长c，三角形解的个数情况如何呢？

这些结论显然与正弦定理所得结论是一致的.但这不免让我们产生质疑：已知“边边角”，由余弦定理得出的边长c，会不会不满足三角形成立的条件？

综上所述，当方程(*)有正根时，必然满足三角形成立的条件.

四、揭示错因

经过前面的分析得知，已知两边及其中一边的对角(锐角)解三角形时，使用余弦定理求解第三条边只要能解出正数解，则不需要作任何验证，那么本题中出现增解的原因究竟是什么呢？

五、反思小结

由这题“增解”产生原因的分析，并不是因为运用余弦定理解一元二次方程产生了“增根”，应考虑使用余弦定理之前的条件的得出，是否“不可逆”.学生受知识背景、思维方式等因素的影响，在很多问题上会产生与教师预设不同的想法，而教师在很多时候也会受固定思维的影响，解法二的出现是练习中学生给出的，在出现了“增解”这样的体验之后，如果简单地告知学生避免使用余弦定理解这类题目，无疑是不合适的.学习数学，需要数学思维，可以说，数学的本质特性就是思维，通过对推理过程的严密分析，不仅能解决疑问，也是在帮助学生培养数学思维，让学生经历产生问题、分析问题、解决问题的过程，培养深入思考的习惯.作为教师，不能因固定思维的影响而停滞不前，只有自身做到对问题的“深入”，才能做到在学生面前的“浅出”，才能帮助学生更深刻的理解所学知识.