圆锥的内切球问题教学案例分析

杨镭

摘 要：文章以2020年全国3卷理科第15题为母题，开展“一题一课 多解变式”的教学实践，引导学生从不同角度思考问题，探究圆锥的内切球问题的多种解法，挖掘数学思想；结合一题多变，引导学生建立完整的数学知识体系，促进数学核心素养的提升。

关键词：高中数学；一题一课；立体几何；解题教学

一、教学设计

（一）知识要点

与球有关的问题主要考查两个方面：一是几何体的外接球問题；二是几何体的内切球问题。本节课主要研究几何体的内切球问题，解决以圆锥为背景的内切球问题，体会立体几何问题与平面几何、函数与方程、三角函数、解析几何等知识的联系；在变式和解题过程中，体会转化思想和方程思想。

（二）学习背景

1．教材分析

本节课选自人教A版（2019年版）高中数学选择性必修第二册[1]第八章第8.3.2节《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》。几何体的内切球问题综合性较强，灵活多变，能很好地考查学生对几何体的内切球问题的本质及相关知识的熟练掌握程度，以及计算的灵活运用能力。

2．学情分析

本节课是在学生刚学完《球的表面积与体积》之后，进一步深入探究与几何体的内切球有关的问题。学生虽已初步掌握球的表面积与体积公式，但仅仅停留在公式的运用阶段，对于在复杂情境中求解几何体的内切球半径，还没有形成相关的知识体系，遇到稍复杂的、不熟悉的问题，仍找不到突破口。

（三）学习目标

1．核心素养目标

（1）通过亲身经历用多种解法求圆锥的内切球问题的探究，体会等体积法的普适性以及平面几何相关知识的灵活应用，促进直观想象与数学运算核心素养的提升[2]。

（2）通过对母题进行变式的探究，体会方程思想和转化思想，促进逻辑推理核心素养的提升。

2．关键能力目标

（1）通过对求圆锥的内切球半径的各种解法的分析、评价，认识数学方法的特殊性与一般性。

（2）能通过“改变条件”“去掉条件”等操作对一道题进行变式，并通过变式练习认识各种解法之间的内在联系和本质特点。

（3）能从自身已有知识储备出发，从不同角度分析题干条件，选择合适的方法解决问题。

（四）设计思路

本节课采用“一题一课多解变式”的教学模式实施以下教学环节[3]：母题呈现→知识回顾→一题多解→一题多变→一题多思。

母题呈现：本节课以2020年全国3卷理科第15题为母题引入，并把它作为本节课的重点研究课题，引导学生积极探索用多种方法解决母题，总结求圆锥的内切球半径的方法，并对比分析每一种方法的优缺点及适用范围。

知识回顾：引出课题后，引导学生回顾母题所涉及的知识点，并以思维导图的形式进行归纳，丰富和完善自身的知识体系。

一题多解：师生一同研读母题，分析解题思路，引导学生从多角度进行分析，尝试多种解题方法。本环节以学生为主体，由学生完成，教师补充并与学生共同总结各种方法的优缺点。

一题多变：从母题出发，由浅入深地开展变式，可以适当放开，让学生自主开展变式，并把变式作为练习让学生独立完成，教师点评。

一题多思：总结本节课的知识点、题型及思想方法，以及引导学生分享本节课的收获与感悟。

二、教学过程

（一）母题呈现

已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为          。

设计思路：这道题来源于2020年全国3卷理科第15题（文科第16题），本题以圆锥及其内切球为载体，考查圆锥的性质及其内切球、轴截面、球的体积公式，属于探索创新情境，在课程标准中的内容要求是“知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题”，学业要求是“掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，解决简单的实际问题”。

教学环节：先给学生两分钟的时间研读该题，在波利亚解题思想的指导下，独立分析该题的已知条件和所求的未知量，并挖掘该试题涉及的知识点，学生研读后分享自己的分析结果。

（二）知识回顾

教学环节：让学生回顾本题所涉及的知识点（本题涉及圆锥的性质及其内切球、轴截面和球的体积公式），并以思维导图的形式进行总结，教师补充并强调该注意的地方。

（三）一题多解

教学环节：学生再研读母题，分析解题思路，引导学生从多角度分析，用自己的方法解决。然后小组讨论，小组派代表到黑板上展示解法，教师视情况补充解法。

问题1：你以前遇到过类似的问题吗？以前是怎么解决的？

生：遇到过求三棱锥的内切球半径问题，我的做法是先画出一个图，分析图形。这道题虽然没有提到“内切球”一词，但是可以判断出圆锥内半径最大的球的体积应该是圆锥的内切球的体积。以往遇到内切球的问题可以采用等体积法解决。

解法一：等体积法

思路分析：利用等体积法“圆锥的体积等于圆锥的表面积与圆锥内切球半径乘积的三分之一”[4]，构造方程求解。

归纳总结：有内切球的几何体可以用等体积法构造方程解决，本质是方程思想，也体现了整体与部分的转化思想。

问题2：在掌握了等体积法的基础上，采用类比的手法，我们还能想到使用什么方法解决该问题？

生：我想到了等面积法。可以做出圆锥的轴截面，将问题转化为等腰三角形中内切圆的半径问题。

解法二：等面积法

思路分析：将空间问题转化为平面问题，已知圆锥的轴截面为三角形，利用三角形面积相等，从整体与部分两个角度表示面积，构造方程求解。

归纳总结：首先从整体的角度直接求出圆锥的轴截面面积，再从分割的角度用内切圆半径表示圆锥的轴截面面积，然后利用面积相等构造方程，从而解出内切圆半径，其本质是方程思想，也体现了整体与部分的转化思想。

问题3：从宏观角度来看，等面积法体现了整体思想，如果从微观角度来看，我们还能以哪些方面作为突破口求三角形内切圆的半径？

生：可以利用圆锥的轴截面中，三角形内切圆所蕴含的垂直关系，由勾股定理建立等量关系，解出内切圆的半径。

解法三：方程法

思路分析：将空间问题转化为平面问题，已知圆锥的轴截面为三角形，利用勾股定理，寻找边的关系，构造方程求解。

归纳总结：利用平面几何关系，找到三角形中“边”的关系，最后利用勾股定理构造方程，从而解出内切圆半径，本质思想是方程思想。

问题4：利用三角形中“边”的关系，借助勾股定理构造等量关系，从微观角度体现了方程思想。除了利用初中所学的“勾股定理”获得“边”的等量关系，还能从什么角度获得“边”的等量关系？

生：相似三角形中对应边成比例。

解法四：相似法

思路分析：将空间问题转化为平面问题，已知圆锥的轴截面为三角形，利用相似三角形，寻找边的关系，构造方程求解。

归纳总结：利用平面几何关系，从相似三角形中得到对应边的关系，从而求出内切圆半径，本质是方程思想。

问题5：解法3和解法4都是初中所学知识，能否从高中的解三角形角度思考求解呢？

生：跟相似三角形的解题原理类似，可以利用同角的正弦相等，在两个直角三角形中利用不同的边去表示同一个角的正弦值。

解法五：三角函数法

思路分析：将空间问题转化为平面问题，已知圆锥的轴截面为三角形，利用同角三角函数，得出内切圆半径与圆锥高度的数量关系，进而求解。

归纳总结：利用三角函数关系，得到内切圆半径与圆锥高的数量关系，从而求出内切圆半径，本质是函数与方程思想。

问题6：从三角形“边”的角度出发，利用三角函数知识可以得到内切圆半径与圆锥高度的数量关系，如果从三角形“角”的角度出发，能否建立相关等式呢？

生：三角形的内切圆圆心是角平分线的交点，因此角度有倍数关系，可以结合二倍角公式解决。

解法六：三角变换法

思路分析：将空间问题转化为平面问题，已知圆锥的轴截面为三角形，从等腰三角形特征与内切圆的特征中发现二倍角关系，利用三角恒等变换求解。

归纳总结：将内切圆与角平分线联系起来，将相切和直角联系起来，得到二倍角的关系，从而转化成三角变换的求值问题，其本质是函数思想。

问题7：对比以上几种解法，你认为哪种解法最简便？

生：等体积法和等面积法。思路明确，计算简单。

问题8：通过以上探究，我们能否总结出求圆锥的内切球半径的几种方法？各自有什么适用范围？

生：等体积法。只要有内切球的几何体都可以利用等体积法求解内切球半径，这是通解，适用范围广。

生：等面积法。先将立体图形问题转化为平面图形问题，再结合平面几何知识建立面积的等式求解。这种方法要求我们必须熟练掌握将空间问题转为平面化的思维。

生：方程法和相似法。利用平面几何知识，从“边”或“角”的角度建立等量关系，构造方程求解。这两种方法是使用频率较高的方法，体现了方程思想，适用范围广。

生：三角函数法与三角变换法。在三角形背景下探索边角关系，利用三角函数与三角恒等变换等知识解决。这两种方法仅适用于截面图形有三角形的问题，且对三角函数知识的掌握要求较高，有时计算量稍显复杂。

（四）一题多变

变式角度一：改变题目载体

变式1.已知正三棱锥的底面边长为1，侧棱长为3，求该正三棱锥内半径最大的球的体积。

变式角度二：改变题目问题

变式2.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，求该圆锥的外接球的体积和表面积。

变式3.已知三棱锥的一条棱长为3，其余各棱长均为2，求该三棱锥的外接球的体积和表面积。

变式角度三：变为复杂情境

变式4.已知某圆锥的内切球的半径为2，求该圆锥的表面积的最小值。

（五）一题多思

设计思路：在课堂尾声，教师总结本节课所涉及的知识点以及思想方法，同时引导学生进行自主变式，并在课后探究解题思路。

活动环节：总结本节课你所学到的知识、方法或数学思想。结合母题及以上变式方法，你还能提出什么变式问题？

三、教学反思

（一）一题多解建体系

此题为2020年全国3卷理科第15题，在新高考改革的背景下，此题虽难度不大，但仍对高三数学复习备考具有很大的参考价值。此题思路颇多，解决的方法涉及立体几何、平面几何、三角函数、解析几何等知识。在教学中，教师应引导学生从不同的角度、不同的知识板块探索此题解法，鼓励不同层次的学生不要轻易放弃，学会灵活运用自身所学知识解决问题，让其意识到数学知识从来都不是独立存在的，其中都有很多内在联系，在今后遇到陌生问题时能多思考几个方法，对比各种方法的优缺点和适用范围，综合分析得出最优解决方案。

此题考查范围较广，涉及的数学思想方法有转化与划归思想、数形结合思想、函数与方程思想，教师在教学中应有意识地渗透数学思想方法，帮助学生形成数学思维，这些思维有助于学生更好地理解数学。

（二）一题多变悟通法

此题仅以圆锥为背景，在立体几何的学习中，学生还会遇到以棱锥、圆柱、棱柱、圆台、棱台等更具一般性的几何体为背景的问题。数学家波利亚曾说过：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。”在解题教学活动过程中，要学会采“蘑菇”，善于引导学生对一个好问题进行变式改造，如改变题目的条件、结论、图形、叙述方式等，进而对问题进行更深层次的探索。因此，在教學中可以设置一些变式问题，启发学生思考解决圆锥内切球问题的方法是否具有一般性，能否用解决圆锥问题的方法去解决其他问题，若教师提出这两个问题，学生一定会提起兴趣，并陷入深思，在此基础上，学生会进一步思考每一种解法的可行性与实用性，这将对其思维发展起到积极影响。

（三）一题多思成习惯

笔者接触过很多数学学困生，对于数学学习，他们最大的困惑是“明明自己做了很多题，数学成绩却依旧没有提升或提升效果不明显，这是为什么？”每当学生提出这样的疑问，我都会回答：“是十分钟做完十道题有意义，还是十分钟做好一道题并反思总结更有意义？”很多学困生并不是比别人笨，而是用错了学习方法。笔者认为，学生数学的进步等于练习加反思，倘若一味采取“题海战术”，缺少对问题的反思和总结，这样的学习方法只会事倍功半，并且大大打击学生数学学习的自信心。因此在解决一道问题之后，教师应引导学生进行适当的反思和总结，当教师将一题多解和一题多变的思考方式印刻在学生脑海中时，这将会让学生养成科学地分析问题、解决问题、反思问题的好习惯，学生的思维将不再受限，或许在未来的某一天，教师也能收到学生带来的意想不到的思维火花。

结束语

本文以“一题一课多解变式”教学模式为理论基础，以一道高考圆锥的内切球问题的求解为母题开展“一题一课多解变式”的教学实践。教学中，笔者从一道简单题入手，引导学生从不同角度开展多种解法探究，再从母题出发进行不同方式、不同难度的变式，帮助学生领悟数学的本质，引导学生从会解一道题到会解一类题。但由于笔者自身能力有限，在实际教学中仍存在些许问题，这些都有待进一步研究。

参考文献

[1]章建跃，李增沪，张劲松，等.普通高中教科书·数学选择性必修第二册A版[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[3]杨孝斌，吕传汉，吴万辉，等.高中数学“一题一课多解变式”教学模式的理论构建与实践探索[J].中小学课堂教学研究，2021，64（11）：14-19.

[4]江斌.有内切球的几何体的体积[J].中学数学，2002（7）：13-14.