一体化教学理念下数学课的“踏实感”

【摘要】叶澜教授认为，一堂好课应符合“扎实、充实、丰实、平实、真实”五个标准.面对新时代数学教育呼吁回归教育本质，数学教师必须走内涵发展道路.

【关键词】一体化教学;数学课堂;教学理念

笔者认为，一堂数学好课要达到“五实”标准之前，先要关注师生的“踏实”心理，多创设“有体验即踏实”的教学情景，让学生多在数学体验中获取成功后的“踏实感”，只有学生心理“踏实”了，才会有认真学习的信心，只有“学生喜欢”的数学课堂才有“教师幸福”的可能，才能实现数学“教-学-评”一体化有机融合.

1 概述：一堂数学好课的“五实”标准

扎实的课才有意义，要教给学生新的数学知识.教师要教给学生新的、有用的数学知识.学生对知识能产生强烈兴趣，激发后续学习的动力.

充实的课才有效率，让学生都能解决数学问题.课的有效范围是否关注各个层次生，是否对绝大数学生有效，是否能让每个学生都参与进来.

丰实的课才有生成，多启发数学过程思维生成.课堂开放并非预先设计的，有师生的真实情感、思维碰撞、思辨互动，学生的数学思维自然生成.

平实的课呈常态性，多体现数学课堂独特价值.有人听课也“旁若无人”，课堂体现独特的数学育人价值，上平平常常、实实在在的课，呈现老师的专业水准.

真实的课有待完善，有缺憾也是数学育人之美.“人非圣贤”，课亦非十全十美，有师生真实互动的数学课往往是有缺憾、有待完善的，这样更能让学生体验“踏实”之美.

2 探索：踏实的课应多体验，在经历中培养自信

如何有效让学生体验更多的“踏实感”？教师在教学过程中要做到以下三点：一是目标导向什么要让学生有较充分的认识，如果学生都不清楚一节课究竟是学习什么重点内容，显然学习心里是没底的，心理没底自然就没有了兴趣;二是课堂类型的特点学生要有充分的认识，学生要比较明确教师教的哪些是复习、哪些是新知识、哪些是综合运用等;三是教师要明确采用的教学策略是否有效促进学生学习，倘若方法策略不科学、针对性不强，不仅来回消耗折腾学生，而且大大消减了学生的学习兴趣.

一体化教学是指依据中学数学课程标准，师生共同构建的一种促进学生知识学习、思维训练、能力培养及素养提升一体化发展的教学理念与教学策略.从理论层面上看，“一体化教学”是一种科学教学理念;从实践层面上看，“一体化教学”也是一种教学策略.

3 实践：一体化教学理念下“踏实感”之探寻

不妨先从考后很多同学反映难度很大、无从入手的这个压轴题展开思考：（2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学卷）

第22题（12分）

已知函数f（x）=ex-sinx-cosx，g（x）=ex+sinx+cosx.

（1）证明：当x>-5π4时，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a.

此题让很多考生铩羽而归，不少教师也有点找不着北，究其原因，或许在平时的数学教学中要给学生参透一种不一样的解决思想和求解方法.

不防先从简单的图像探索开始，比如高中经常教会遇到讨论一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）关系的问题上，我们可以引导学生从最简单的函数作图开始分析.如在引导学生作函数y=x2+1的图像，基于一体化教学理念下教师要引导学生做好以下五个层次的探索：一是学生只简单将图像作成直线，则学生根本没有理解问题和解决问题;二是学生用描点法作出光滑曲线，说明学生已找到一个方法解决问题，或探索就此结束，教师点评正确答案，则学生的数学思维过于单一;三是若教师能引导学生利用图像平移的方法来作图，则可认为学生的认知水平达到多元水平，有了多个解决问题的思路但未能很好地有机整合;四是若能引导学生利用函数的单调性和奇偶性作图，则说明不仅能找到多个解决问题的思路，而且能将这些思路一体化结合起来考虑;五是可引导学生用求导思路讨论函数的增减性和凹凸性来作图，充分培养学生的数学抽象和拓展思维，学生在探索过程中有了更多的“踏实感”.

问题1 已知函数f（x）=x2-2x+3.（1）若x∈[0，1]，求f（x）的最值;（2）若x∈[1，2]，求f（x）的最值;（3）若x∈[0，2]，求f（x）的最值.

课堂上引导学生做了很规范的分析解答，互动效果也很好，但在最后的综合应用方面，却发现不少学生无从下手，找不到解决问题的突破口或运算频频出错，究其原因，在于思维的训练层级不够，此时还是处于低阶思维状态.不妨再做以下问题设计：

问题2 求函数f（x）=x2-2x+3在x∈[t，t+2]上的最值.

对于对称轴和区间都确定，学生解决问题的能力还是不错的.当设计对称轴或区间都变化的情况，对分类讨论思想和数形结合方法要求增高，可以较好地培养学生的策略性思维.

问题3 已知函數f（x）=x2-2ax（a>0）在x∈[t，t+2]上的最大值为0，最小值为-4，求实数a和t.

若问题设计仅到问题2，难免会有美中不足、体验不过瘾之感.此时，若能及时设计问题3，把两类变化都融合在一个题目之中，这样对学生的延展性思维得到了很好的训练，起到震撼的效果.

到此，对于大多数学生来说，已得到充分的数学体验，对二次函数的掌握内心有了些底，解决问题的信心足了、“踏实感”增强了不少.但对于希望挑战更高难度的学生，此时正好链接一些高考题，如：

问题4 （2020年全国卷Ⅰ文20）已知函数f（x）=ex-a（x+2）.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性;

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

解法1 常规解法略.

解法2  （1）略.

（2）将f（x）=ex-a（x+2）=0变形为ex=a（x+2），于是将零点问题转化为两个函数y=ex和y=a（x+2）的交点问题.从而可以探索两个函数的相切或相交情况.

如图2所示  设函数y=ex和y=a（x+2）的相切点为（x0，ex0），则切线的斜率为ex0.根据直线y=a（x+2）过点（-2，0），所以切线的斜率也可表示为ex0x0+2，于是得到ex0x0+2=ex0，解得x0=-1，故切线的斜率为1e.所以当a>1e时，直线y=a（x+2）与曲线y=ex有两个交点，也就是f（x）有两个零点，所以a∈（1e，+∞）.

设计意图  导数几何意义的应用，不仅仅只是求函数曲线的切线，还可用来判断直线与曲线的位置关系，零点问题或不等式恒成立问题等.

当然，对学有余力的学生，还可继续拓展，如：

问题5 已知函数f（x）=x2ex.

（1）过点P（1，0）的直线l与曲线y=f（x）相切，求切点的横坐标;

（2）若f（x）≥k（x-1）对任意x∈R恒成立，求k的范围.

问题6  已知函数f（x）=ex-a-lnx.求证：当a≤2时，f（x）>0.

【基金项目：本文系广东省教育科学规划2021年度中小学教师教育科研能力提升计划项目立项课题“基于‘学习罗盘2030的中小学数学一体化教学实践研究”（项目编号：2021YQJK012）、中国教科院粤港澳大湾区教育发展研究专项2020年度立项课题“粤港澳大湾区背景下“1+2+N”教师教育共同体发展研究”（项目编号：GBAJY-YB202001）阶段性研究成果.】

参考文献：

[1]叶澜著，庞庆举选编.变革中生成：叶澜教育报告集（叶澜教育思想文选）[M].北京：中国人民大学出版社，2019.

[2]周日桥.2021年高考数学“五育”考查评析及一体化教学建议[J].高中数理化，2021（09）.

[3]周日桥.对2018年高考数学全国卷I的认知分析与单元一体化教学建议[J].中学数学教学参考，2019（3）.