基于HPM的数学史融入高中数学教育研究

祁晓莉

【摘要】数学史与数学教育（HPM）是数学教育的一个重要研究分支.《普通高中数学课程标准》2017中也强调“如何将数学史融入到数学教育是一个重要的课题”[1].基于此现状，笔者对2000-2021年数学史融入高中数学教育的相关研究进行分析和整理，并以“等差数列前n项和”这一节课为例，进行融入数学史的教学设计.针对只有少部分一线教师会在教学中融入数学史的现状，提出相应的教学建议：加强数学史与历史、现实和其他学科的联系.为职前教师开展数学史课程，高校数学史研究人员与高中一线教师进行合作，将学术形态的数学史转化为学生可接受的教学材料，具有一定的实际意义和应用价值.

【关键词】高中数学;HPM;教学设计

1 HPM发展历程

1.1 HPM的诞生

1976年，HPM正式隶属于ICMI，它的主要目标是：联合数学家、数学历史学家、社会科学家、数学老师和其他数学工作者，以提倡和推动跨学科研究;对数学的发展方式以及导致这种发展的驱动力有更深入的了解;为了促进教学和课程开发，将HPM和数学的发展联系起来;方便教师和其他数学工作者得到数学史等有关资料;促进人们对数学历史的思考[2].

1.2 历史相似性研究

历史相似性是指个体认知的发展遵循人类认知发展规律.克莱因（Klein）认为：“个人成长必须以相同的顺序.数学教学与其他事物一样，遵循这项定律[3].”国内研究经历了这种成长的所有阶段，但是所需的时间却减少了，后者在这方面也下了功夫，华东师范大学汪晓勤教授所在的团队考察了高中一年级的学生对无穷级数求和和虚数乘法这两个问题的理解程度，结果显示，学生们对这两个问题的认知水平和历史上数学家的理解很相似.

根据以上数学家的论述不难看出：个体对数学的理解遵循数学知识的发展过程.数学教学应该关注学生的认知发展规律，历史是教学的指导.讲解新课时，教师可以根据前人在研究此问题时遇到的困难来推测学生在学习时可能遇到的困难，从而做到有的放矢，有针对性地教学.

2 数学史融入高中数学教育

2.1 研究现状

有关数学史融入高中数学教育的研究可以分为以下几个维度：

（1）教育价值的探索和实践;

（2）如何有效地融入数学史;

（3）相关的教学设计.

数学史的相关研究可以追溯到很多年前，并且大量研究表明，数学史可以促进数学教育的发展.但数学史并没有真正走进高中数学课堂，很少有一线教师在日常教学中融入数学史.

近年来，有学者认为，职前教师的数学史课程不应局限在讲故事、看图片的肤浅层面，这样只会在形式上将数学史融入到教学中，并未发挥出数学史的作用[4].

如何让数学史课程真正起到作用？如何让数学史真正走进数学课堂，成为日常教学的一部分？这些问题其实都没有解决.笔者认为，HPM研究者在向一线教师介绍可供教学的数学史料外，同时需要将更多形式的史料转化为可供教育的数学史，让教师亲身体会数学史融入高中数学教育的构思、设计、调整和实施的全过程，从中汲取思想养料，探索教学方法.

2.2 发展趋势

数学史具有回顾与前瞻并存的特点，基于数学史的数学教学应坚守科学的态度和理性的精神.HPM成立的目的是探讨数学史与数学教育的关系，为将数学史整合到数学教育中提供理论和实践方法，提高数学教育水平.

数学史融入高中数学的相关研究发展趋势如下：

（1）注重教师教育中的数学史课程;

（2）为中学课堂提供数学史素材;

（3）如何在教学设计中有意义地融入数学史.

2.3 数学史融入高中数学教育的价值

2.3.1 激发学生学习兴趣

Gulikers和Blom从“动机视角”总结了数学的价值：增加学生学习兴趣、使数学变得更加亲和[5].国际数学泰斗陈省身在《数学史概论》一书的题词中写道：“理解历史的变化是理解这门学科的重要一步”[6].”麦克布莱德（McBride）认为，在课上讲一点数学故事，可以点燃学生学习数学的激情，促使学生获得学习数学的乐趣[7].

还有数学家认为：学习数学应该关注原始的理论，主动寻找数学家们留下来的思想方法，而不是依赖“重造的思想”.这就要求教师与学生要关注数学的历史，关注概念、公理的产生过程.

综上，数学史为学生理解数学提供了重要依据.教师用历史趣事来丰富数学枯燥的解题过程，扩展了课堂的广度和深度.学生在梳理知识脉络时，用现有的方法解决历史中的数学问题，加深对知识的理解，获得成就感并增加对数学的学习兴趣.

2.3.2 提高學生审美水平

数学史的导入，可以让学生体会数学的趣味美;数学史解惑，可以让学生体会数学的逻辑美;数学史阅读，可以让学生体会数学的内涵美.

例如 在讲授《集合》这一部分时，可以由被称为科学界的“疯子”康托尔的故事导入.他证明了直线上的点可以一对一地对应于平面上的点和空间中的点，进而发表了关于无穷集合的相关论文.

以数学史的方式导入新课，师生可以共同品鉴其中的乐趣，体会数学之美.例如在学习平面直角坐标系时，了解笛卡尔的发现过程，他用观察的眼光发现生活中的数学问题，用质疑精神去探索，最后创立了坐标几何.对数学的了解越深，越能发现其中的美感.

3 数学史融入高中数学的教学设计

3.1 理论基础

“再创造理论”认为，重要的是让学生体验数学的过程，而不是简单地学习现有的数学理论.“再创造”思想主要体现在以下四个方面：

（1）在历史发生原理的基础上，再现数学过程;

（2）在教学过程中，教师指导学生进行再创造;

（3）基于现实的再创造;

（4）关注学习的过程，切忌从结果出发，思维颠倒的教学.

“再创造”过程要求教师结合学生的经验基础，切实引导学生亲自把需要学习的内容发现或创造出来，用自己的观点看待问题.学生体会新知识的获得和数学知识的演变、更新过程，获得成就感.

例如 具体案例分析——以“等差数列前n项和”为例.

泰姬陵是印度知名度最高的古迹之一，如图1，陵寝中有一个由宝石点缀而成的三角形图案，共一百层，由此可见，非常奢靡.你知道这个图案中共有多少颗宝石吗？本节课我们就来探讨这个问题.

图1 泰姬陵三角形宝石图案

设计说明 本设计采用“附加式”融入数学史的方式，在新课导入的过程中，教师使用多媒体设备显示泰姬陵中宝石的图片，引导学生发现每一层宝石的数量比上一层多一颗，构成等差数列，并提出问题：共有多少颗宝石？即计算等差数列的前100项和，进而引出本节课的主题.将数学史纳入新课的导入部分，激发了学生的学习兴趣，并且学生渴望继续探索，从而感受到了数学的美丽和学习的乐趣.

3.2 引入新知

在高斯小时候，有一天他的老师要求学生计算：

1+2+3+…98+99+100=？

对于小孩子来说，这道题的难度还是非常大的.但高斯很快就找到了答案，你知道高斯使用的是什么方法吗？下面给同学们一点时间挑战这位数学家.高斯的方法：正数第一项与最后一项的和：1+100=101;正数第二项与倒数第二项的和：2+99=101;第五十项与倒数第五十项的和：50+51=101.因此，前一百项的总和为：101*50=5050.

设计说明 本设计仍然采用“附加式”融入数学史的方式，通过高斯的童年故事，介绍了本节课中一种重要的解题方法——倒序相加法.这样可以加深学生对这一方法的印象，使其更生动地理解其中的涵义.

3.3 解决问题

《张丘建算经》中有言：“今有女子善织布，织布数逐日同数增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？

设计说明 本设计采用在课堂中“复制式”融入数学史的方式，首先，学生需要将文字形式的数学史料抽象为数学问题，在这个问题中已知一个等差数列的首项为5，项数n和前n项和Sn，需要求公差d.学生需要将公式Sn=n·a1+n（n-1）d2进行合理变形，从而求解出d=0.56.

学生利用刚刚学到的知识解决历史上的数学问题，获得成就感，增加学习兴趣.教师引导学生“从史中学”，了解前人发现问题、思考问题及解决问题的过程，培养数学思维.

4 教学建议

《新课标》中强调要将数学史融入高中数学，因此，必须要加深学生对数学史的理解程度.比如可以从横向和纵向两方面拓宽数学与外部的联系.横向指的是数学与其他学科如物理、化学、语文等的联系.纵向指的是学生在学习数学的过程中，相关的数学史与现有的知识体系的联系，比如在学到某个新概念、公理时，联想到概念、公理产生和发展的过程.笔者认为，可以改善以下几方面，从而将数学史更有效地融入到高中数学教学.

4.1 加强与历史背景的联系

在数学课堂中开展数学史教育要充分加强与本土历史背景的联系，对于具有相似开发背景的教学内容，可以采用类似的演示和教学策略.《课标》中强调：数学课程应反映数学的历史，这要求教师对数学的历史背景与我国历史背景之间的关系有深刻的认识.

在课堂上，教师可以介绍数学的相关背景知识，也可以介绍数学发展中的一些重要历史事件和人物.

4.2 加强与数学现实的联系

数学现实指的是运用数学概念和方法对客观事物的全面认识，具体来说，既包括学生在学习中遇到的数学概念和数学问题，也包括学生原本的认知结构.

加强数学史与现实之间的联系可以通过巧妙地创设数学问题情境来实现，为确保情境的新颖性、学科性，教师和学生要时刻关注社会上的新现象、新问題，并带入课堂教学中.

4.3 加强与其他学科的联系

数学是一门基础学科，因此，在编排内容时，要考虑与其他学科之间的联系.数学可以用来帮助解决一些跨学科问题，在解决复杂的社会问题时也能体现出数学的基础性地位.

目前，现有的问题是数学与其他学科的联系只停留在表面上，没有深入到思维领域.数学与其他学科的联系不应只局限于研究对象和内容上，更要在其他学科中渗透数学思维.在教学过程中，要利用它们之间的积极联系，争取减少他们之间的消极联系.

5 结语

HPM的研究方向逐渐从“为何”转变为“如何”，即出现越来越多的HPM教学案例.但是到目前为止，数学史并没有真正走进高中课堂，只有少部分一线教师会在教学中融入数学史.

高中数学可以增强学生学习动力、提高学生审美意识以及为他们建立起良好的数字价值与方法上.目前，教师运用数学史的方式主要有点缀式，重构式多用于探究课题，既可以满足新课标对数学的探究要求，并且可以培养附加式、复制式、顺应式、重构式教师和学生的再创造能力.

教师在教学中可以讲讲数学背后的故事，使枯燥无聊、晦涩难懂的课堂富有感染力.针对不同的教学内容，选择最合适的教学方法，并适当运用多媒体等辅助手段，更有效地将数学史融入课堂.

参考文献：

[1]普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].人民教育出版社.2020.5.

[2]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社.2017.5

[3]Katz V J.Using History to Teach Mathematics： An International Perspective [M].

[4]徐乃楠，张安妮.高中数学选修教科书中数学史呈现比较研究[J].长春师范大学学报，2018，37（02）：107-112.

[5]符唯.数学史融入小学数学教学的策略研究[D].湖南师范大学，2019.

[6]李文林.数学史概论[M].高等教育出版社，2002.