“平面解析几何”的试题研究与备考建议

郑惠帆

【摘要】本文主要分析2016—2021年高考理科数学中“解析几何”专题的命题特点及命题角度.从考查的形式与分值占比、考查的知识点全面、数学思想与核心素养的体现三个方面阐述命题的特点，以举例的形式将命题的角度细分为五大方面进行阐述，最后从紧扣教材，严抓双基、因材施教，分层教学、预设生成，相互融合三个方面提出相应的备考建议.

【关键词】解析几何;命题特点;命题角度

1 近6年全国卷理科数学试题的分析[1]

1.1 “平面解析几何”的命题特点[1]

1.1.1 考查的形式与分值占比[1]

从近6年真题来看，“平面解析几何”基本上分值是22分（除2020年Ⅰ卷和Ⅲ卷，2018年Ⅲ卷均是27分外），题型是两小一大，即两道小题一道解答题，基本上是一道选择题一道填空题一道解答题.2020年“平面解析几何”的占比有所上升，考查的形式是三小一大，如2020年Ⅰ卷和Ⅲ卷，但试题类型还是稳定的.

1.1.2 考查的知识点全面[1]

从近6年真题来看，“平面解析几何”重点考查圆锥曲线的基本知识，其中包括圆锥曲线的基本定义、简单的几何性质.除此以外，注重在知识的交汇处命题.如2020年Ⅰ卷·理20考查平面向量与解析几何的融合，2020年Ⅱ卷·理8运用基本不等式解决双曲线焦距最值问题，2020年Ⅲ卷·理10运用导数的几何意义求直线方程，2018年Ⅲ卷·理20（2）结合圆锥曲线的几何性质考查等差數列的知识，2018年Ⅲ卷·理11运用余弦定理、三角形面积公式等解三角形知识解决圆锥曲线问题.

1.1.3 数学思想与核心素养的体现

“平面解析几何”充分体现了试题设计的“四翼”（基础性、综合性、创新性、应用性[2]），突出对学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查，充分体现函数思想、化归思想、数形结合思想以及方程思想.

2 “平面解析几何”命题角度分析[1]

从近6年的真题来看，“平面解析几何”主要以下列几种类型进行考查：

2.1 求值问题

2.1.1 圆锥曲线的离心率

求圆锥曲线的离心率（或取值范围）需要求出a，b，c的值或者只需要找到三者中其中两者之间（a与b、b与c或a与c）的关系，再结合a，b，c三者隐含的关系即可求出离心率（或取值范围）.

例1 （2020年全国Ⅰ卷·理15）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.

分析  根据双曲线的几何性质可知，

BF=b2a，AF=c-a，即可根据斜率列出等式求解即可.

评析 本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用（双曲线离心率的取值范围）.

答案：2.

2.1.2 某个变量或式子的值

例2 （2020年全国Ⅲ卷·理11）设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a=（  ）

（A） 1.  （B） 2.  （C） 4.  （D） 8.

分析 根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.

评析 本题结合解三角形知识（三角形面积公式、勾股定理）考查双曲线的几何性质及基本定义，充分体现数形结合思想.

答案：（A）.

2.1.3 距离（长度）问题

例3 （2020年全国Ⅱ卷·理5）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（  ）

（A） 55.    （B） 255.

（C） 355.  （D） 455.

分析 由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为a，a，a>0，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点2，1在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x-y-3=0的距离.

评析 本题考查圆心到直线的距离，关键是求出圆的方程.

答案：（B）.

2.2 求方程（椭圆、双曲线、直线（切线方程）、圆）

例4 （2020年全国Ⅰ卷·理20（1））已知A、B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.求E的方程.

分析 由已知可得：A-a，0， Ba，0，G0，1，即可求得AG·GB=a2-1，结合已知即可求得：a2=9，问题得解.

评析 本题结合平面向量数量积考查椭圆的基本知识，根据数量积的坐标运算即可求出椭圆的标准方程.结合平面向量数量积的知识考查圆锥曲线的有2018年全国Ⅰ卷·理8，2019年全国Ⅰ卷·理16、理19，2017年全国Ⅱ卷·理20，2018年全国Ⅲ卷·理20（2）.

答案：x29+y2=1.

2.3 求最值

例5 （2020年全国Ⅱ卷·理8）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（  ）

（A）4.  （B） 8.  （C） 16.  （D）32.

分析 因为C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），可得双曲线的渐近线方程式，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.

评析  本题运用基本不等式求焦距的最值问题.与此相同的有2017年全国Ⅰ卷·理10，2019年全国Ⅱ卷·理21（2）运用导数求三角形面积的最大值.

答案：（B）.

2.4 证明问题

2.4.1 定点问题

例6 （2020年全国Ⅰ卷·理20（2））证明：直线CD过定点.

注：已知条件同例4.

分析  设P6，y0，可得直线AP的方程为：y=y09x+3，联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标为-3y02+27y02+9，6y0y02+9，同理可得点D的坐标为3y02-3y02+1，-2y0y02+1，当y20≠3时，可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得：y=4y033-y02x-32即可知直线过定点32，0，当y20=3时，直线CD：x=32，直线过点32，0，命题得证.

评析 本题证明直线过定点问题，关键是根据已知条件转化求出直线的方程.在2019年全国Ⅲ卷·理21（1）也考查相同的问题.证明直线过某点问题，偶尔也可以先借助该定点的坐标，如2017年Ⅱ卷·理20（2）.

2.4.2 其他证明问题

在近几年真题发现，除了证明定点问题外，还有证明定值和角度相等问题、线段长度成等差数列、证明点在圆上等等，其本质问题都一样，充分考查圆锥曲线的几何性质，在这里不一一列举.

2.5 求参数（或面积）的取值范围

例7 （2016年全国Ⅰ卷·理20（2））设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

分析 把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值.

评析 本题结合弦长和函数的性质考查四边形面积的取值范围.在2019年全国Ⅱ卷和Ⅲ卷·理21（2）也考查相同的问题.在2018年全國Ⅲ卷·理6结合圆的几何性质考查三角形的面积的取值范围，与此相同的有2019年全国Ⅲ卷·理10、2016年Ⅱ卷·理20（1）.在2016年Ⅱ卷·理20（2）结合弦长考查直线斜率的取值范围.

答案：四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83）.

3 备考建议[1]

3.1 紧扣教材[1]，严抓双基

在复习备考中，要依据考纲，紧扣教材，做到源于课本又高于课本，夯实“平面解析几何”的基础知识.高考数学大纲明确提出“六核四性”，因此要严抓双基，吃透直线方程、圆锥曲线的基本概念，深入挖掘几何性质，适当掌握一些二级结论，便于快速解题（如：2017年全国Ⅰ卷·理10）.其次，要善于利用课本中的例题、习题，充分挖掘其隐藏的金矿，找到本质，并将其类比到其他的圆锥曲线上，找到蘑菇圈.再次，以思维导图方式建立本专题的知识网，注重本专题与平面向量、解三角形、数列、函数与导数等专题的融合，注重掌握方程思想、函数思想、转化与化归思想及数形结合思想等.华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休[3]”.在“平面解析几何”备考中，根据题意准确画出图形是第一步，有时数据在图形中不攻自破（如：2018年全国Ⅲ卷·理20（2）），因此要求学生独立画图，灵活转化三种语言并能及时地根据圆锥曲线的定义转化相关的线段（如：根据抛物线的定义可将焦半径转化为点到准线的距离）.

3.2 因材施教，分层教学[1]

在复习备考中，教学内容和难度既要符合教学大纲，也要符合所授学生的实际情况.因此，基础薄弱的学生要注重基本知识的掌握，主要攻破基础题，可放弃解答题的第二小问;对于计算能力较好的学生，可掌握用通性通法解决解答题的第二小问;而对于思维能力不错的学生，除掌握通性通法外，引导学生通过观察图形思考找到更简便的方法，做到在思考中观察，在观察中思考，体现高考“多思考少计算”的理念.

3.3 预设生成，相互融合

教育学家苏霍姆林斯基说过：“没有自我教育，就不是真正的教育”.笔者在教学中也发现，一切教学活动，如果离开了学生的参与，教师讲得再精彩，也不过是一场“个人秀”，既累了自己，也苦了学生.在备考中，教师不能一味地讲自己预设好的内容，而应根据学生的生成及时调节自己的预设.从2020年全国卷真题来看，“平面解析几何”所占的比值有所上升，综合性强，解法灵活多样，作为高三的教师应该把平台留给学生，让学生做到真探究，实操作，明原理.

参考文献：

[1]骆妃景，潘敬贞.核心素养导向下全国理科卷“函数与导数”试题研究与备考[J].教学考试，2019（20）：29-33.

[2]教育部考试中心.中国高考评价体系说明[M].北京：人民教育出版社，2020.

[3]王臣玥.数形结合在初中数学解题中的运用[D].河南师范大学，2015.