借助转化思想，解答数学难题

冯文梦

【摘要】转化思想是一种重要的解题思想.解答初中数学习题时根据题干创设的情境注重转化思想地灵活应用，可达到事半功倍的解题效果.本文结合初中学习者的知识储备，认真筛选相关习题，为学习的展示转化思想在数学难题中地应用，以供参考.

【关键词】初中数学;转化思想;数学难题

为提高学习者运用转化思想解题的灵活性，教学中应注重为其讲解常用的转化方法[1].其中换元转化、数形转化、方程与函数转化、动静转化等在解题中有着广泛地应用.实践中为使学习者更好地掌握转化细节应做好解题示范.

1 换元转化

例1 已知a，b，x，y满足a+b=x+y=4，ax+by=9，求（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值.

解析 该题看似难以下手，但是主要通过巧妙换元可迅速找到解题思路.

根据题意可设a=2+m，b=2-m，x=2+n，y=2-n，

则ax=（2+m）（2+n）=4+2m+2n+mn，by=（2-m）（2-n）=4-2m-2n+mn，

a2+b2=（2+m）2+（2-m）2=4+4m+m2+4-4m+m2=2m2+8，

xy=4-n2，ab=4-m2，x2+y2=（2+n）2+（2-n）2=2n2+8.

又由ax+by=9，则（4+2m+2n+mn）+（4-2m-2n+mn）=9，整理得到mn=12，

则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=（2m2+8）（4-n2）+（4-m2）（2n2+8）=（8m2-2m2n2+32-8n2）+（8n2+32-2m2n2-8m2）=64-4m2n2=64-4×（12）2=64-1=63.

2 數形转化

例2 已知菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x和y=k2x的图象上，如图1所示，若∠BCD=60°，则k1k2的值为.

解析 根据题意连接AC，BD，则易得AC⊥BD，由菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x和y=k2x的图象上，则A、C和B、D均关于原点对称.

线段AC、BD均经过原点O，则∠BOC=90°，

又由∠BCD=60°，

则∠BOC=30°，则OBOC=tan30°=33.

分别过B、C两点向x轴作垂线，垂足分别为M、N，则由∠OCN+∠NOC=90°，∠NOB+∠NOC=90°，则∠OCN=∠NOB，则△OMB∽△CNO，则S△OMBS△CNO=（OBOC）2=13，

所以12k1-12k2=13，则k1k2=-13.

3 方程与函数转化

例3已知关于x的方程|x2+2px-3p2+5|-q=0，p、q均是实数，若方程有三个不同的实数根x1，x2，x3，且1x1+1x2+1x3=0，则q的值为.

解析 对原方程进行变形得到：|x2+2px-3p2+5|=q，由绝对值知识可知x2+2px-3p2+5=±q，令y=x2+2px-3p2+5，因其开口向上，对称轴为直线x=-p;因方程有三个不同的实数根x1，x2，x3，则y=-q必然过该抛物线顶点，则4（5-3p2）-4p24=-q，整理得到：4p2-5=q.

设x1，x2为方程x2+2px-3p2+5=4p2-5的两根，整理得到：x2+2px-7p2+10=0，

则x1+x2=-2p，x1x2=10-7p2，x3=-p，

又有1x1+1x2+1x3=0，

即，x1+x2x1x2+1x3=-2p10-7p2-1p=10-5p2（10-7p2）p=0，整理得到p2=2.

同时Δ=（2p）2-4（10-7p2）=32p2-40>0成立，因此q=4p2-5=4×2-5=3.

4 动静转化

例4 如图2，圆O的内接△ABC为边长12的等边三角形，其中点D在弧BC上运动，且有BE⊥OD于点E，当点D沿弧BC从B点运动到C点时，则线段AE的最大值为.

解析 连接BO，设BO的中点为点M，连接ME.由BE⊥OD，在直角△BEO中ME=12BO，因此可知点E的运动轨迹是以BO为直径的圆，则当点E处在AM的延长线上时AE的长度最大.

延长BO和AC交于点H，则∠HBA=30°，则BH=ABcos30°=63，OB=23BH=43，

则OM=23，MH=43，在直角△MHA中由勾股定理可得AM=AH2+MH2=221，

因此，AE=AM+ME=221+23.

5 结语

综上所述，换元转化、数形转化、方程与函数转化、动静转化是转化思想中常用的转化方法[2].

教学实践中为提高学习者的应用意识，应在为学习者系统讲解相关理论知识的基础上，结合经典习题逐一讲解其在解题中的应用，尤其鼓励学习者认真揣摩解题过程，多进行总结与反思，真正地理解与掌握不同转化方法，促进其解题能力的有效提升.

参考文献：

[1]张锦尾.巧用转化思想解答数学难题[J].名师在线，2021（18）：38-39.

[2]谢晓玲.巧用转化思想解答数学难题[J].数理化解题研究，2020（35）：5-6.