初中数学反思性学习提升学生直观想象素养的策略

【摘 要】反思是学生在数学学习活动过程中不可缺少的环节，要提升学生的数学核心素养，就必须培养学生的反思能力。而直观想象是学生发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。因此，文章通过教学实践阐述如何在初中数学教学中引导学生进行反思性学习，以此提升学生的直观想象素养。

【关键词】初中数学;核心素养;直观想象;反思性学习

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2022）24-0093-04

著名教育家约翰·杜威在《我们怎样思维》这本书中系统阐释了反思性学习，并把常规行为与反思性行为进行了比较。常规行为是在固有的、传统的模式下形成的，不加批判地继承已学知识;而反思性行为则是对知识和方法的深思，不是简单的苦思冥想，而是涉及直觉、情绪的高级认知过程。

什么是数学反思性学习？是指通过对数学学习活动过程的反思来进行学习。反思是对自己的思维过程、思维结果进行再认识的检验过程，是学习中不可缺少的重要环节。建构主义理论认为，学习是在活动中进行建构，要求学生不断地对自己的活动过程进行反省、概括和抽象。可以看到，反思性學习是实现深度学习的重要途径。

什么是数学直观想象核心素养？《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式理解和解决数学问题的素养，主要包括借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路[1]。直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。因此，培养学生的直观想象能力极其重要。

为什么要培养学生的反思性学习能力呢？如何提升学生的直观想象能力呢？为什么反思性学习对提升学生的直观想象能力具有关键的作用呢？针对这些问题，首先要从学情分析入手。

1   学情分析

数学反思性学习对于初中生来说是极其重要的。初中生的心理发展水平与小学时期相比得到了一定程度的提升，具有一定的自控能力和自我分析能力，但在学习和认知的过程中依旧比较依赖他人，以被动学习为主，缺乏主动思考。在这样的学习模式下，学生即使学习很认真，上课认真听讲，当下对知识和方法有所掌握，但过一段时间后，遗忘程度非常高，甚至在阶段考试中考查原题，依然有很多学生出错或不会，出现“假懂”的现象。出现这种现象是由于学生的认知只是停留在表面，没有进行深度学习。而反思性学习是让学生进行深度学习的一种有效的方法。本文通过实际教学案例，引导学生进行反思性学习，总结模型和方法，提升学生的直观想象素养。下面从培养函数直观想象能力和引入几何图形中的特殊模型两个角度来阐述如何通过反思性学习提升学生的直观想象素养，引导学生进行深度学习。

2   教学实践

2.1  培养函数直观想象能力

针对这道题，许多学生反映字母特别多，一开始都很畏惧，并且无从下手。但通过笔者精细的教学设计，让学生在解决比较简单的同类型题目的过程中总结反思出函数直观想象的方法后，再来解决这道题时，大部分学生都会做了。具体的教学设计如下。

例1：已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于

（-1，0），（3，0），求其对称轴。

教师：画出函数的大致图象，你能直观地看出对称轴吗？

学生：容易得到对称轴为。

教师：这两个点坐标有什么特点？

学生：这两个点都在x轴上，也可说它们的纵坐标相同。

教师：这体现了二次函数的什么性质？

学生：二次函数的对称性。

例2：已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（0，5），（4，5），求其对称轴。

教师：现在两个点不在x轴上了，当画出函数的大致图象，你还能直观地看出对称轴吗？

学生：容易得到对称轴为。

教师：这两个点坐标有什么特点？

学生：这两个点的纵坐标相同。

教师：从上面两题来看，你可以总结出什么方法吗？

【学生反思总结方法】在二次函数上的两个点，如果纵坐标相同，那么这两个点关于对称轴对称。此时抛物线的对称轴公式是直线。

【设计说明】例1选自教材，这对学生来说较为熟悉，易于入手。例2在例1的基础上，调整为不那么特殊的两个点（0，5），（4，5），让学生自己发现这两道题目的共同特点是两个点的纵坐标相同，让学生在简单、熟悉的情境中慢慢地感受到其中蕴藏的函数直观想象的方法。

例3：若抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，对称轴是直线，点A（-2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是

（   ）。

A.y1C.y3

教师：同学们，你还能通过这道题得到什么重要的发现吗？如这些点离对称轴的距离等。

【学生反思总结方法】开口向上的抛物线上的点，离对称轴越近，点的高度越低，即纵坐标越小，这体现了二次函数的对称性。

【设计说明】例3是一道含参数的二次函数题，难度适中。设计目的是引导学生反思体会，只要能够画出抛物线的大致图象，那么问题就会迎刃而解。另外，还可以让学生了解到二次函数上的点与顶点和对称轴的位置特点，根据二次函数的对称性，发现开口向上的抛物线上的点离对称轴越近，点的高度越低，纵坐标越小。这为学生解决真题1提供了方法，让学生通过反思，总结出二次函数直观想象的方法，并在解题过程中应用，获得成就感。

学生运用自己总结的方法进行自主分析：

①观察条件发现A、C的纵坐标相同，可得对称轴为x=;②画出坐标A（m，n）、C（3-m，n）的大概位置;③大概画出二次函数的图象，如图2;④标出点B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）的位置;⑤观察点的位置即可得出结论。

可以发现，由于离对称轴x=最近，因此点D最低。而0离对称轴最远，因此点B最高。不难发现，这题的解题思路和之前总结的结论相同。因此，同一个方法可以运用到不同的题目中，通过反思真正掌握这个方法，就可达到举一反三的效果。

2.2  引入几何图形中的特殊模型

几何直观是直观想象素养的重要体现，而几何图形中的特殊模型是几何直观的一个非常重要的部分，它可以让学生在复杂的图形结构中迅速地发现自己熟悉的特殊模型，找到解决几何问题的思维方向或者得到更多的已知条件，进而提高解决几何问题的能力。引导学生通过几何直观抽取图形中的特殊模型，并反思总结其特征，学生的几何直观能力才能有所提高。

真题2：（2018年福建中考）如图3，D是ΔABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F。BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB。

（1）求证：BG∥CD;

（2）设ΔABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小。

此题是2018年福建省中考的压轴题，由于图形结构十分复杂，大部分学生都不会做。但通过引导学生借助几何直观，抽取图形中的特殊模型，反思总结，学生也可以举一反三。教学设计如下。

例5：（圆中垂直弦模型——“弧”）如图4，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点P。求证：。

教师：圆中的特殊性质指的是哪些方面？

学生：弧，弦，圆心角，圆周角。

教师：那我们首先研究弧的特点。两条弦可以把圆周分成几段弧？

学生：4段。

教师：这4段弧有什么特点，会相等吗？

学生：应该不会。

教师：可以从特殊情况入手，如过圆心的直径等。

学生：两段对弧加起来相等。

教师：若对角线AC⊥BD于点P。怎么求证呢？

思路分析：如图5，过O作直径CE，连接AE，DE，容易证明AE平行BD，因为平行线间所夹的弧相等，所以;又因为为半圆，所以为半圆，所以。

【学生反思总结模型】垂直弦所夹的两段弧和是半圆。解题策略为连直径、得直角、构平行、转化弧。

【设计说明】将几何压轴题中的关键结构单独呈现，引导学生发现和总结这个几何结构蕴含的性质，再让学生进行证明，并在探索的过程中感受如何在复杂图形中发现这样一个特殊的几何结构模型，总结解题的策略和步骤，以后再遇到这个模型时就可以迅速识别。

例6：如图6，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点。若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径。

思路分析：如圖7，过O作直径DF，连接CF、BF，容易证明AC平行BF，因为平行线间所夹的弧相等，所以，即AB=FC。在RtΔDFC中，DF2=DC2+FC2=42+22=20，所以DF=2。所以⊙O的半径是。

【设计说明】设计本题的目的是让学生在比较陌生但又不是太复杂的图形中发现垂直弦模型，并学会如何应用。其实这道题的实际步骤和垂直弦的步骤基本一样，让学生体会整理几何模型的重要性，提升学生的几何直观能力。

例7：（圆中垂直弦模型——“弦”）如图8，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点P，求证：AB2+CD2=4r2或AP2+BP2+CP2+DP2=4r2。

教师：垂直弦所分的弧有特殊性质，那么所形成的弦有特殊性质吗？

学生：可能也有。

教师：那和圆中的什么量有关呢？

学生：半径。

教师：可以从特殊情况入手，如过圆心的两条直径等。

学生：与4倍的半径平方有关。

教师：很好！其实解决这道题的策略依然是连直径、得直角、构平行、转化弧，运用勾股定理可得结论。

【学生反思总结模型】垂直弦所分的四条线段与半径有关，即AP2+BP2+CP2+DP2=4r2或AB2+CD2=4r2。

以上从“弧”与“弦”的角度，引导学生整理圆中的垂直弦模型，学生从中掌握了很多潜在的有价值的信息，再来解答真题2就比较容易了。

3   教学反思

本文从培养函数直观想象能力、引入几何图形的特殊模型两个角度分析了如何引导学生进行反思性学习，进而提升学生的直观想象能力。

引导学生对解题过程进行反思，是提高学生解题元认知水平的需要，是加深学生对数学知识的理解的有效途径[2]。认知心理学认为，熟练掌握基本技能需要经过三个阶段，分别是认知阶段、联系阶段、自动化阶段。如何让学生的解题技能达到自动化阶段呢？反思性学习是必由之路。同时，直观想象能力可以让学生透过问题的表面迅速找到思考的方向。学生通过反思性学习抽取模型和方法，提升直观想象素养，同时又利用直观想象素养发现、总结更多模型和方法，长此以往，学生的数学解题能力才能得以提升，数学素养才能得以发展。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

【作者简介】

杨振兴（1985～），男，汉族，福建泉州人，本科，中学一级教师。研究方向：数学教育。

*基金项目：本文系厦门市直属中小学2019年度课题“基于核心素养下的数学反思性学习能力培养策略研究”（课题编号：zsx2019003）阶段性研究成果。