几个重要定积分等式的推广及应用

【摘 要】定积分的计算是高等数学教学中的重点内容，计算问题往往灵活多变，需要学生掌握一定的方法和技巧，因此一些重要结论在定积分计算中至关重要。文章结合教学实际，给出了四个重要结论的证明及应用实例。

【关键词】定积分;等式;证明

【中图分类号】O13;G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2022）24-0009-04

定积分是微积分的重要组成部分，它的计算也是高等数学教学环节中较为重要的内容，基本计算方法有直接积分法、换元法和分部积分法。但有些题目往往难度较大，只掌握基本方法还不够，还需要掌握一些重要结论，这些重要结论在解决某类积分问题时有着不容小觑的作用。

1   重要等式及证明

结论1：设函数f （x）在[-a，a]上连续，则。特别地，若f （x）为偶函数，则;若f （x）为奇函数，则。

进一步，若f （x）为偶函数，则;若f （x）为奇函数，则。

结论1是关于对称区间的定积分的重要结论，这个结论几乎在所有高等数学教材中都有介绍，所以很多学生并不陌生，基本上都能熟练掌握这个结论的应用[1]。利用结论1的证明思路及方法，将结论进一步推广就可以得到如下结论。

结论2：设函数f （x），g （x）在[-a，a]上连续，f （x）满足f （x）+f （-x）=A且g （x）为偶函数，则。

证明：先利用定积分区间可加性将积分拆成两个积分。

对称区间的定积分是一类特殊积分，其特点就是定积分的积分区间形式必须为对称区间，然而平时研究的很多定积分并不具备这样的特殊性，那有没有相应结论可用呢？如果将结论1的对称思想进一步推广，利用区间对称中点进行推导，便可以得出如下的任意积分区间的重要积分公式。

在上述证明过程中，若对第一个积分进行换元，则很容易能证明（2）式，进而可以推出

以上各结论均是利用换元法进行推导证明的，采用同样的思想方法，可以得出下面关于三角函数的定积分重要结论[3]。

2   等式的应用举例

详细证明以上四个关于定积分的重要结论后，接下来就探究一下这四个结论在计算定积分问题时是如何将复杂问题简单化的。

解：此題可采用结论2进行求解，关键需要确定两个函数的形式，故令f （x）=arctanex，g （x）=，，显然函数g （x）为偶函数，同时可以证明y=f （x）+f （-x）=arctanex+arctane-x=。

一般情况下，需要注意的是，在使用结论3计算定积分问题时，当被积函数f （x）转为f （x）+f （a+b-x）时，后者的对应积分要容易计算才可行。

综上，本文给出了定积分中四个重要结论及应用实例，通过实例分析，可以发现这些结论使得某些类型的定积分的求解变得更加容易，达到了将复杂问题简单化的目的，大大提高了解题效率。在学习微积分时，要善于发现和总结，知识的积累往往都是循序渐进的，温故而知新是应有的学习态度[6]。尤其是在数学这门学科中，解决同一问题的方法可能很多，然而在诸多的方法中还是存在一些“捷径”，但这些“捷径”往往是在实际解题过程中偶然发现的，这就需要及时地记录与总结，这样在遇到类似问题时，思路才会多样化，进而轻松地解决问题。

【参考文献】

[1]吴赣昌.微积分（上册）[M].北京：中国人民大学出版社，2009.

[2]杨慧卿.经济数学微积分（微课版）[M].北京：人民邮电出版社，2017.

[3]张天德，王玮.高等数学（上册）[M].北京：人民出版社，2020.

[4]陈仲.高等数学竞赛题解析教程[M].南京：东南大学出版社，2016.

[5]同济大学数学系.硕士研究生入学考试数学复习与解题指南[M].上海：同济大学出版社，2017.

[6]庄科俊，徐凤.积分等式在定积分计算中的应用[J].衡水学院学报，2012（4）.

Generalization and Application of Several Important Definite Integral Equations*

Qingjuan Li

（Public Teaching Department of Dalian University of Finance and Economics， Dalian， Liaoning， 116622）

Abstract：The calculation of the definite integral is the key content in the higher mathematics teaching. Calculation problems are often flexible， which requires students to master certain methods and skills. Therefore， some important conclusions are very important in the calculation of the definite integral. Combined with the teaching practice， this paper gives the proof and application examples of four important conclusions.

Keywords：definite integral; equation; proof

【作者简介】

李庆娟（1980～），女，汉族，吉林榆树人，硕士，教授。研究方向：大学数学教学与研究。

*基金项目：本文系辽宁省普通高等教育本科教学改革研究项目（辽教办（2021）254号）：应用型人才培养模式下数学课程教考分离的研究。