定点定线函数新几何意义与应用

【摘 要】 本文通过正比例函数常数几何意義的拓展、延伸，获得一、二次函数常数新几何意义，通过探寻新几何意义的应用依据和思考方法，展示过定点函数问题、二次函数图像顶点经过定直线和抛物线问题的魅力，收获十分有益的数学活动经验.

【关键字】 新几何意义;定点;定线;数学思想;数学活动经验

我们知道，在函数中系数为常数时的几何意义，但当系数为任意常数时，又有怎样的几何意义呢？譬如，正比例函数y=kx（k≠0）无论k取何值，图象都经过点（0，0），所有这些直线称为过定点（0，0）的直线束，这就是系数字母k的新几何意义，那么，对于一、二次函数的情形呢？下面给予探究与应用.

1 新几何意义

定义1 当系数字母无论取何值，对应函数值都不改变时，这个函数的图象都经过同一点或两点，这些点称为该函数的定点.

新几何意义1 在一个平面内，无论系数字母取何值，所有直线都经过一定点，这些直线称为定点直线束[1];类似地，无论系数字母取何值，所有抛物线都经过一定点或两定点，这些抛物线称为定点抛物线族[2].

定义2 当系数字母无论取何值，抛物线的顶点坐标满足一定函数关系式，称这个函数图象为定线.特别地，当满足一次函数关系时，这个图象称为定直线;当满足二次函数关系时，这个图象称为定抛物线.

新几何意义2 在一个平面内，无论系数字母取何值，抛物线顶点始终在一条直线或一条抛物线上，这些抛物线称为定向抛物线族.

定义1和定义2中的“定”是不变的意思.

2 图象过定点函数问题

2.1 有关结论

结论 已知ax=0，若a取任意实数，则x=0.

证明：根据乘法法则，任何数乘以零，都等于零，所以结论成立.

推论 已知ax=b，若a为任意实数，则x=0且b=0.

证明：若b=0，由结论得x=0;若b≠0，则a≠0且x≠0.这与a为任意实数矛盾，说明b≠0不成立.从而b=0，所以x=0.综上，推论成立.

运用上述结论，可以有效解决有关函数图象定点问题.

2.2 思考方法

①改变主元法：采取以系数字母为主元的方法先合并同类项，再依据结论或推论，可得有关结果，这是一种常用方法;

②特殊值法：依据定义，对系数字母取两个特殊值，代入函数表达式，得到关于自变量和因变量的两个二元一次方程，联立解方程组，即可.

2.3 应用举例

从突出系数字母的主体地位，化无限为有限，实现从数到形的转换.

2.3.1 过定点直线问题

当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因而y的值也随x值的变化而变化.将（1）代入（2），得y=2x-1.可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：y=2x-1;根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2-2mx+2m2-3m+1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.

分析 把抛物线解析式配方成顶点式，再写出顶点坐标，然后消掉m整理即可得解y=x2-3x+1.

定点、定线函数问题作为初中函数的拓展内容，常以阅读理解型问题出现在考题中，对学生阅读理解能力、应用拓展能力能进行有效考查，为将来高中更深入的学习和应用奠基.

参考文献

[1]张维强.过定点的一类直线族方程的应用探究[J].中小学数学（初中版），2008（12）：30-32.

[2] 金关涛，程可.抛物线族y=a（m）x2+b（m）x+c（m）过定点的充要条件[J].数学教学，1985（03）：25-27

[3]姜强柱，孙筱倩.函数图象的“两定”问题[J].数学解题研究（初中版），2014（03）：15-16.

作者简介 李发勇（1964—），男，四川巴中人，中学高级教师;主要研究初中数学教学;发表文章90余篇.