依托课型研究 提升课堂效率

陈钰辉

摘   要：以一節探究“二次函数的图像和性质”的课为例，具体展现了运用规律探究课型理论，优化教学设计，结构化教学过程，高效达成独特育人价值的过程，阐释了日常教学中结构化课型对提升课堂效率的重要意义，表明了以课型结构化为主要特征的课型研究是实现课堂提质增效、课后减轻课业负担的一种有力抓手和有效途径.

关键词： 课堂教学;课型研究;结构化;课堂效率

初中数学中有很多规律探究的教学，比如“数与代数”中数与式的运算规律，两个变量的变化规律（函数）等，“图形与几何”中图形的性质、运动与变化规律探究等. 华东师范大学“新基础教育”项目在长期的研究中形成了规律探究课型的基本理论，笔者在其理念指导下，在日常教学中加以研磨和实践，有效提升了课堂效率，减轻了课业负担.

1  规律探究课型理论简述

规律探究教学的过程主要由以下几个环节组成，一是引入环节，确定对象提出问题;二是发现环节，寻找依据合理猜想;三是验证或证明环节，实验验证、分类枚举、推理证明等方法验证或证明猜想;四是获得环节，用文字语言和符号语言归纳概括结论，以及运用结论解决问题.根据第三个环节验证或证明猜想的方法不同，分为实验研究、枚举研究和推理研究三种基本课型[ 1 ].

2  课型理论应用及其结论

本文以人教版九年级上册教材“22.1.3二次函数y=ax2+k 的图像与性质”为例，着重介绍笔者运用课型理论，挖掘教学内容，优化教学设计，在结构关联、互动生成的课堂教学中推进深度学习，实现独特育人价值的过程.

2.1  教材分析

本单元研究二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质，根据知识内在逻辑关系和循序渐进的教学原则，在本单元的起始课，已明确了将从特殊到一般、简单到复杂的顺序，依次研究二次函数y=ax2， y=ax2+c，y=ax2+bx+c的图像和性质.本节课在上一节课“y=ax2的图像和性质”学习的基础上，研究y=ax2+k的图像与性质，采用“教结构、用结构”的教学策略展开教学.在教结构阶段，以“提出问题—类比猜想--枚举验证--归纳应用结论”的探究结构师生共同完成抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点和增减性等性质的学习;在 “用结构”阶段，主要由学生自主探究函数平移的性质.

2.2  教学过程 “教结构”阶段

2.2.1  确定对象，提出问题

本环节的目的在于让同学们明确研究对象是二次函数y=ax2+k的图像和性质.

问题1  回顾如何学习二次函数y=ax2的图像与性质，思考研究函数的一般路径？

设计意图：帮助学生整理回顾抛物线的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性等方面的性质，以及从特殊的a=1，-1函数图像与性质到抽象概括出一般的y=ax2（a≠0）图像与性质的学习过程，作好对y=ax2+k图像与性质的研究准备工作.

问题2  本节课将如何对二次函数y=ax2+k的图像和性质进行研究呢？

设计意图：明确本节课是基于类比上一节课的学习研究思路，研究二次函数y=ax2+k的图像和性质.

2.2.2  寻找依据，合理猜想

问题3  请在同一个坐标系中用描点法画出y=2x2+1 ，y=2x2-1图像，并根据图像，分析该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标？

设计意图：经历用描点法画函数二次函数y=ax2+k图像，直观感知研究函数性质的过程.培养学生作图的规范操作习惯.

自变量x从-2到2每隔0.5个单位取一个值，描出9个点，画出图像，如图1所示.

问题4  猜想二次函数y=ax2+k的图像和性质，说说你的理由.

设计意图：以具体的函数2x2+1，y=2x2-1的图像与性质为基础，类比函数y=ax2，学习归纳出一般的二次函数y=ax2+k的图像和性质，以此，渗透分类讨论思想，培养学生合情推理和抽象概括能力.

2.2.3  枚举验证，推理证明

问题5你能否举例验证猜想y=ax2+k的性质？

设计意图：在同一个坐标系中作出y=-x2，y=-x2+2，y=-x2-2的图像，并借此说出函数y=ax2+k的性质.提升学生作图操作技能和合情推理能力.

自变量x从-4到4每隔1个单位取一个值，描出9个点，画出函数图像，如图2所示.

问题6  基础练习

（1）在抛物线y=x2-2上的顶点是什么？

（2）对于二次函数y=-x2+3，请说说函数的开口方向、对称轴、顶点、和增减性.

（3）已知抛物线y=4x2+2上有两点A（x，y），B（x，y），且x+x=0，则y与y的大小关系如何？

（4）二次函数y=2x2+1 具有增减性，你能用符号语言加以表示吗？

设计意图：前两题是简单的巩固性练习，后两题旨在用符号语言表述函数的对称性和增减性，发展学生的符号意识和数学表达能力.

问题7  用符号语言表述了函数y=2x2+1的增减性，尝试加以证明.

明确问题：已知点A（x，y），B（x，y）在函数y=2x2+1图像上，且0

证明：y-y=（2x+1）-（2x+1）

=2（x-x）=2（x+ x）（x-x）

∵00， x-x>0

∴（x+ x）（x-x）>0， 即y- y>0

∴ y

设计意图：根据规律探究课型的基本结构，尝试对猜想进行证明，经过推理证明，以此加深理解，发展探究和推理能力.对二次函数增减性的证明虽然是较高要求，有了学习研究y=ax2（a≠0）图像与性质的基础，不妨试一试，提出“能不能对猜想进行证明”这样的问题.同时数学符号语言表达是一个难点，要让学生充分经历从文字语言到数学符号语言的抽象过程，发展学生的抽象能力.

至此，再辅以几道巩固练习，第一阶段的教学任务完成.

2.3  教学过程“用结构”阶段

这个阶段是“用结构”的教学阶段，指导学生运用前面“教结构”阶段的规律探究的方法，自主探究二次函数y=ax2+k图像平移的性质，教师根据推进情况，作适时的点拨.

2.3.1  明确对象，提出问题

问题8  在学习理解抛物线y=ax2的二次项系数a反映了抛物线开口大小和方向的基础上，深入领会y=ax2+k中二次项系数a和常数项k反映了抛物线那个方面的性质？k取值不同的抛物线之间有什么关系？

设计意图：引导学生运用规律探究的基本方法，设计探究程序，自主展开研究.明确 “提出问题—形成猜想--验证证明--归纳结论” 探究的基本过程.

2.3.2  寻找依据，合理猜想

适时引导学生利用已有的资源，观察y=2x2+1，y=2x2-1和y=2x2 的图像，以及y=-x2，y=-x2+2，y=-x2-2，的图像之间的关系，提出猜想.

设计意图：从特殊的函数图像出发，通过直观感知，发现抛物线之间的平移关系.

2.3.3  计算验证，推理证明

在课堂上，除了通过观察图像直观感知抛物线平移的关系外，通过几何画板动态演示验证.也可以通过观察表格的数据，从数量角度反映了两个抛物线上下平移的关系，即当自变量取值相同时，函数值的差相等.利用画图像时列出的表格，验证了前面的第一组函数，如表格1所示.

也验证了前面的第二组函数，如表格2所示.

接下来，顺势提出，能否证明一般抛物线的平移关系呢？

明确问题：求证抛物线y1=ax2+k1 可以由抛物线y2=ax2+k2 （k1> k2）上下平移得到.

证明：设（x， y1）为抛物线y1=ax2+k1上任意一点，点（x， y2）在抛物线y2=ax2+k2上.则：y1- y2= （ax2+k1）-（ax2+k2）= k1-k2（常数），所以，抛物线y1=ax2+k1可以由抛物线y2=ax2+k2 向上平移k1- k2个单位得到.

追问：還有什么性质是可以继续探究的呢？可提炼出两个问题，供大家课后思考解决.

（1）请尝试证明抛物线y=2x2+1关于y轴对称.

（2）请尝试证明抛物线y=ax2+k的增减性.

经历了规律探究全过程，激发学生问题探究的积极性主动性，促进学生提出问题能力和符号语言表达的能力得到了有效的提升.

通过“教结构、用结构”的教学过程，促进学生深度学习，提升数学思维品质，有效地减轻了课业负担.

3  规律探究课型的教学效果与启示

通过规律探究的教学，让学生经历从问题出发，通过测量、计算、观察、合情推理等多种路径形成猜想，运用分类枚举、实验论证、推理论证等方法获得结论，进而增强学生用数学语言表达和运用的体验过程.供此，帮助学生了解和掌握函数学习与研究规律探究的方法结构，提升合理猜想的意识和能力，分类枚举、实验论证、推理论证等探究方法，提升动手实践、抽象概括、逻辑思维和创造性思维水平，以及数学语言的表达能力和水平.

在实际教学中，教师若能长程整体规划教学内容，依托以结构化为特征的课型研究，结构化推进教学过程，便可以有力地激发同学们学习的主动性积极性，深入学习，提高课堂效率，从而有效减轻课业负担.

参考文献：

[1] 吴亚萍.中小学数学教学课型研究[M].福州：福建教育出版社，2014.10（2015.5重印）：316-320.