巧用数学模型 提升抽象概括能力

许沐英

摘   要：在解题中灵活运用常见的长方体模型，可以化解立体几何中抽象的一些空间想象问题，真正把数学运算和抽象概括素养能力落地生根.

关键词：模型;长方体;立体几何

时下教育的热门话题核心素养可谓是遍地开花，而数学中的数学建模和直观想象这两大素养也是备受教师的追捧，针对在实践教学中究竟如何有效运用数学建模才能真正达到核心素养的落地生根，这个问题，本文以一道立体几何月考题为例谈谈个人一些看法，供同仁交流.

1  试题呈现

以下四个命题中 （1）a//b，b//c 则a//c;（2）a⊥b，b⊥c，则a⊥c;（3）a，b异面，b，c异面，则a，c异面;（4） a，b相交，b，c相交，则a，c相交;

正确的是____________.

错误分析  本题看似简单的一道开放式选题在本校月考中错误率却是极高，考后调查分析可知学生主要错误点有两个：一是受到了初中平行传递性的影响，所以根据模糊推理，感觉每个选项似乎都是正确的;二是长期的考试命题陷阱又暗示一部分学生可能暗含玄机，但是苦于空间中寻寻觅觅找不到线线的关系图，只能草草选题收场.

教学反思  立体几何中很多题目让学生知其然不知所以然，所研究的线线，线面，面面的抽象位置关系让学生倍感陌生，这种境况下急需一种模型让学生从中获取熟悉的环境，进而解决形态各异的各种立体几何问题.而生活中的长方体这个模型堪称几何图形中的明星，集点线面于一体，又极具对称性，同时通过切割可以得到不同的几何体. 故利用长方体模型可以把立体几何中的基本概念和定理梳理清楚，同时多种多样的柱体、锥体、台体，可以拓展、丰富立体几何的研究空间，又体现出图形与知识间的内在联系[ 1 ]，许多空间问题如果放置在长方体模型中可以化陌生为熟悉.

2  妙用长方体模型

2.1  妙用长方体解决位置关系问题

例1  以下四个选项：

（1）a a，b a，a//β，b//β，β则a//β;

（2）a a，a⊥β，则a⊥β;

（3）a⊥b，a⊥c，则b//c;

（4）a⊥β，a∩β=l，b a，b不垂直于l，则b不垂直于β，下列命题正确的命题是（    ）.

A.（1）和（2）    B.（2）和（3）     C.（3）和（4）    D.（2）和（4）

解析  命题（2）来源于判定定理，命题（4）初看好像晦涩难懂，运用逆否命题与原命题的等价性不难判断。主要有挑战的是（1）和（3），活用上侧的长方体如图1可知AD//平面A1B1C1D1，平面ADD1A1内与AD平行的线有无数条，可知（1）错误，从常见的长方体模型中可以直观感知到线线和线面的位置关系，让抽象问题立刻清晰起来.

总结  利用常见的数学模型处理位置关系时，经常选择排除法可以快速选出正确答案，应该可以找出模型中的反例进行剔除.这种模型为载体的优点是无需调动太多立体几何中的定理和性质来寻找答案，缺点有时需要多次寻找才能确定哪个命题是正确的.

2.2  妙用长方体模型求解球相关问题

例2  已知四个点A，B，C，D均在球O上，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，且AB=AC=AD=b则这个球O的体积为_________.

解析 本题三棱锥同一个顶点出发的三条侧棱互相垂直，墙角模型非常明显，把此题放入边长为b的长方体中，所以可以把它放在如图所示的棱长为b的立方体中如图2，即三棱锥A-BCD.从图中可以看出此三棱锥A-BCD的外接球就是此长方体的体的对角线AE即是三棱锥A-BCD的外接球直径。根据AB=AC=AD=b，AE=b，可知此外接球的半径r=b，可知球O的体积为v=πb3.

总结  墙角模型，直棱柱，正四面体以及对棱相等的三棱锥都可以把此放到长方体或立方体内考虑，根据长方体的外接球的直径为长方体的体对角线长度，进而可以清晰之间的各种联系，进而可以有目标性的解题，创造无限巧解可能.

2.3  妙用长方体模型求解角问题

例3  已知正三棱錐O-PQR的所有边长都相等，E，F分别为OP，RQ的中点，那么异面直线EF与OR所成角为___________.

解析 求异面直线所成的角有单平移和双平移，而本题又是中点，通常都是找到中位线，进而得到平行线，用等角定理可求出本题答案.但在高一学生刚接触这部分内容，对三棱椎异面直线所成角的问题却是很难找到，但是在这样子一题多解中引入常见的长方体模型如图3，在长方体模型中找到本题的三棱椎如图4，进而可以很容易找到平行线EF//GR，本题所求异面直线所成的角就是∠GRO，还可以拓展本题正三棱椎对棱所成的角是直角，以熟悉的长方体做为一题的切入点，把难懂的空间直线变成可以具体形象化可把控的直线，也把本题的多种解法借助此模型理解的更为透彻.

总结  世间万物都是可联系的，透过现象可以看到本质，所解决的问题自然水到渠成，无论棱柱还是棱椎都可以看到长方体的一个部分截体，通过长方体还可以看到正三棱锥对棱互相垂直，陌生的东西找到可以操作的对象，何乐而不为，数学的学习不再是枯燥乏味，而是有了更多的联系感和美感对称感。

2.4  妙用长方体求解距离问题

例4  已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，底面上一点O到三个侧面的距离为3，4，5，求此点O到顶点P的距离.

解析 三条侧棱两两垂直，可以快速和长方体建立联系，把三个平面当作三个正方体的相邻三个侧面，点O到各个平面的距离可以重新建立一个长方体如图5，题目所求的OP的距离等价于求体对角线的距离，则OP==5.

3  教学反思

《高中数学课程标准（2017版）》在教师的目标导向中强调运用发挥长方体的模型示范作用，可以达到把空间中点线与面的抽象关系直观感知，同时把立体几何中定量和定性问题有效的化归和转化，而长方体中蕴含丰富的三条侧棱两两垂直模型，对棱相等模型，三棱柱[ 2 ].

课程目标的有效实施离不开数学核心素养的落实，当前数学课程改革迫在眉睫，作为数学的两大核心素养——数学建模，直观想象如何在教学中落实显得尤其重要.本文中运用长方体作为桥梁的引入，不仅可以降低立体几何学习的难度，而且可以让学生感受成功的喜悦，在亲切的图形中获得了知识，化陌生为熟悉.

参考文献：

[1] 周顺钿.重点高中二轮复习用书（高中数学）[M].杭州：浙江大学出版社，2020：94-100.

[2] 王作顺.与长方体相关的三类四面体[J].中学生数学，2010（23）：12-13.