立足基础重思维 考查能力显素养

孙树德

[摘  要] 2021年广东省中考数学第23题遵循立基础、考能力、考素养、重思维、重创新的指导思想，考查了多种辅助线的作法和多个基本图形的应用，聚焦知识本质， 解法开放多元，引领学生创新思考，凸显了数学核心素养，文章对其进行了研究.

[关键词] 深度学习;单元复习课;高阶思维能力

试题呈现

（2021年广东省中考第23题）如图1所示，在边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点. 连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长.

试题评价

1. 立意基础，关注模型，聚焦本质

本题以正方形和三角形折叠为载体，综合考查了正方形、勾股定理、全等三角形、相似三角形、平行线分线段成比例和锐角三角函数等核心的基础知识.在立足基础知识上，考查主干，关注基本图形，回归教材，回归本质. 本题条件简单，图形简洁，但内涵非常丰富，简约而不简单.在问题的解决过程中，尝试寻找基本图形，利用题目里折叠的对应角相等以及正方形里的直角、边的中点等条件，尝试添加辅助线，构造了“一线三等角”“8型”或“A型”相似三角形等基本图形，借助勾股定理、相似三角形等知识，利用模型的本质与内涵解决求线段长度的问题.本题有效地突出了对数学基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验这 “四基”的考查，引领聚焦数学本质，考查了学生的模型思想和应用意识.

2. 解法多元，引领创新，凸显素养

本题命题者精心设计，考查了多种辅助线的作法和多个基本图形的应用，不同的思考方向要添加不同的辅助线，不固化学生思维，解法开放多元，但学生需要具备较强的几何构造能力、直观想象能力、逻辑推理能力与运算能力.从阅卷情况来看，大多数学生沿着平时学习的 “一线三等角”“8型”或“A型”相似三角形等基本图形添加辅助线，还有学生采用“建系法”“截长法”等方法，本题引领学生创新思考，在简洁的图形中“无中生有”，构造了丰富多彩的几何图形.题目也有意向高中过渡，与高中衔接，有少数学生利用平时自学拓展的“二倍角公式”解决问题，这不仅满足了不同层次学生的需求，也为激发学生的创新思维提供更多能力展示的空间.本题蕴含了方程思想、化归思想、模型思想等多种重要数学思想方法，综合考查了数学抽象、逻辑推理、数学运算、直觀想象和数学建模等核心素养，这有助于引导初中数学教学要更加注重培养学生的数学核心素养.

解法赏析

1. 思路1：以平行线为视角，构造相似三角形

解法1：（基于构造“X型”模型添加辅助线）如图2所示，延长BF交CD于H，连接EH. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD，∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB=1，由勾股定理得AC=，由翻折的性质可知，AE=EF，∠EAB=∠EFB=90°，∠AEB=∠FEB，因为点E是AD的中点，所以AE=DE=EF，Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），易得∠DEH+∠AEB=90°，∠AEB+∠ABE=90°，所以∠DEH=∠ABE，△EDH∽△BAE，=，DH=，CH=，因为CH∥AB，所以==，CG=AC=.

解法2：（基于构造“A型”与“X型”模型添加辅助线）如图3所示，延长AD，BF交于点H.  易得△HEF∽△HBA，=，BH=2EH.设EH=x，AH2+AB2=BH2，即

x+2+12=（2x）2，x=，即AH=，因为△HGA∽△BGC，==，由勾股定理得AC=，得CG=.

解法3：（基于构造“一线三等角”添加辅助线）如图4所示，过点F作CD的平行线分别交AD，BC于点M，N，过点G作BC的垂线交BC于点P. 易得△MEF∽△NFB. 设MF长为x，则FN长为1-x，=，=，ME2+MF2=EF2，即

2+x2=

2，解得x=，ME=，DM=，CN=，FN=. 因为△GBP∽△FBN， =. 设GP长为y，则CP长为y，BP长为1-y，FN=，BN=，=，y=，在Rt△PGC中，PC=PG=，∠GPC=90°，由勾股定理得 CG=.

2. 思路2：以平行线和半角为视角，构造等腰三角形

解法4：如图5所示，延长BF交CD于点H，延长BE和CD交于点I. 设CH长为x，△HIB为等腰三角形，得CH2+CB2=BH2，即x2+12=（2-x）2，x=. 因为 CH∥AB ，所以△HGC∽△BGA，==，由勾股定理得AC =，CG=.

3. 思路3：以截取等长为视角，构造等角

解法5：如图6所示，延长AB，截取BH=BG，连接GH，过点G作GJ⊥AB，易得∠ABE=∠H，则tan∠ABE=tan∠H=，设AJ=GJ=x，则JB=1-x， BH=2x-（1-x）=3x-1，在Rt△GBP中，x2+（1+x）2=（3x-1）2，解得x=. 由勾股定理得AC=，CG=.

4. 思路4：以正方形中特殊角45°为视角，构造相似三角形

解法6：如图7所示，连接FH，因为 AD∥BC ，所以△AHE∽△CHB，==，由勾股定理得AC=，AH=，HC=，易证△AEH≌△FEH，AH=HF=，∠EAH=∠EFH=∠GFH =45°，易证△GFH∽△GCB，==，设HG= x，FG= y，==， HG=，CG =.

分析  上述六种解法都要先添加辅助线，作法多样，大多数都要添加多条辅助线，对学生提出了一定的挑战，但这些作法的方向与思路都来源于教学中重要的基本图形.这些解法应用了相似三角形和勾股定理等核心知识，考查了学生几何直观想象能力、图形构造能力和创新意识.

5. 思路5：以垂直为视角，建立直角坐标系

解法7：如图8所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，连接AF交BE于点H，正方形ABCD的边长为1，得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E为AD中点，AE=，E0，

，设直线BE的解析式为y=kx+b，由B（1，0），E0，

，得直线BE的解析式y=-x+， 由于△ABE折叠得到△FBE，EF=AE=，设点F（x，y），则（x-0）2+y-

2= ，因为线段AF的中点H

x，

y在直线BE上，得-×x+=y，联立（x-0）2+

y-2=

，

-

×

x+

=

y，解得x=

，

y=

，所以F

，

. 由B，F两点的坐标可得直线BF的解析式为y=-x+. 联立y=-

x+

，

y=x，解得x=-

，

y=

.于是得到点G的坐标为

，

，所以CG== .

分析  利用建系法把数量关系转变成位置关系，在直角坐标系中找到直线的解析式，学生需要从边的数量找到点的坐标，考查了学生的数学抽象能力和合情推理能力.

6. 思路6：以折叠半角为视角，利用二倍角公式

解法8：如图9所示，作GH⊥AB， 因为tan∠ABE=tan∠EBF=，tan∠ABF==，设HG=AH=4 x，HB= 3x，4x+3x=1， AH=，AG=，CG=.

分析  從阅卷的实际情况看，有少数学生采用了二倍角公式解决问题，本题向高中过渡，也可以作为初高中衔接教学的优质素材.由于此方法超出初中的学习范畴，在此不做太多论述.

教学导向

1. 夯实基础知识，关注基本图形

基础知识是解决问题的基本支撑， 夯实基础知识有助于解题思路的形成.本题主要考查了教材中正方形、勾股定理、相似三角形等基础知识和重要的基本图形，但从阅卷中发现，有不少学生知识不够扎实，不能把基础知识和基本图形联系起来，缺乏在题目图形中抽离、构造、拆分基本图形的能力，因此在平时的教学中，教师要引领学生打好知识基础，引导学生建立并归纳基本图形，理解基本图形的内涵和本质，理解其蕴含的几何特征和代数关系，提高学生的识图能力，建立数量关系，强化通性通法教学[1].

2. 优化解题路径，注重思维培养

几何教学中辅助线的添加在初中数学学习的过程中一直是难点，学生需要具备较强的几何直观想象能力和创新能力，有不少学生遇到这种需添加多条辅助线的几何题就一筹莫展，不能在知识关联、图形的构造、解题思路的形成建立思考.在几何教学中，怎样引导学生形成清晰的解题思路？例如：如何借助基本图形解决问题？可以概括成四个步骤：（1）熟记基本图形;（2）识别基本图形;（3）构造基本图形;（4）建立关系解决. 在平时的教学中，多总结、提炼、熟记，方可敏锐发现题眼.如果发现图形中没有基本图形的结构，可以根据题目的已知条件和基本图形的结构特征添加辅助线构造基本图形，最后利用基本图形的特征建立数量关系解决问题.在解题教学中，要留给学生充足的时间拆分和构造基本图形，探索基本图形的特征和数量关系，为解决问题积累基本活动经验.教师可以开展开放式教学和变式教学，寻找有价值的“题根”，开展一题一课、一题多变、一题多解、多解归一等教学研究，引导学生多角度、多层次的充分思考、讨论，在观察、分析、比较、选择、批判中优化解题路径，促进深度学习，提高学生逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力，培养学生思维的灵活性、发散性、广阔性、深刻性和创新性，从而提升学生的数学核心素养[2].

参考文献：

[1]刘华为. 基于深度学习的初中数学课堂教学[M]. 上海：华东师范大学出版社，2020.

[2]刘月霞，郭华. 深度学习：走向核心素养[M]. 北京：教育科学出版社，2019.