面积问题归本质 函数最值细探究

雷淑华

[摘  要] 面积最值问题在中考中十分常见，要求考生提炼基本图形，聚焦相关几何量.近年来，通过建立函数模型解决相关问题的题型相对增多.文章对陕西中考压轴题进行特色分析，梳理解题思路，剖析解题原理，提出教学建议.

[关键词] 压轴题;面积问题;函数最值;核心素养

几何最值问题涉及众多知识点，问题形式也较为多变.求解该类问题，需理解问题本质，掌握典型问题模型和重点思想方法，切忌模型固化[1]. 以下试题以生活实际为背景，通过设出适当的未知数，建立面积与边长之间的二次函数模型，利用函数性质求解面积最值，解法众多但殊途同归，能有效考查学生的数学素养.

试题呈现

问题提出：（1）如图1所示，在平行四边形 ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF=5，连接EF，BF，求四边形ABFE的面积.  （结果保留根号）

问题解决：（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境，如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE. 按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O，P，M，N分别在边BC，CD，AE，AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC. 已知在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800 m，BC=1200 m，CD=600 m，AE=900 m. 为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小. 请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离;若不存在，请说明理由.

试题分析

1. 解法分析

对于第（1）问，不规则四边形ABFE的面积不便直接计算，可利用“割补法”将问题转化为规则图形面积之和或之差. 连接AF，S=S+S或S=S-S-S，细节不再赘述.

第（2）问的条件众多，可逐一推导. 由“五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800 m，BC=1200 m，CD=600 m，AE=900 m”，可知该五边形形状确定，面积确定;若延长CD，AE，交于一点，可形成确定的矩形;由“点O，P，M，N分别在边BC，CD，AE，AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC”，可知四边形OPMN是不确定的;因为AM=OC，AN=CP，∠A=∠C=90°，所以△AMN≌△COP，所以MN=OP，同理，NO=MP，因此四边形OPMN是平行四边形，使之面积最小即可. 由于其并无确定的底或高，无法通过控制高或底最小使其面积最小，结合第（1）问的思路，将之转化为规则图形面积之和或之差从而间接求解. 在表示规则图形面积时，“逢山开路，遇水搭桥”，设出适当的未知数，表示出未知边长，求出面积与边长之间的函数表达式，求函数最值即可.

2. 特色分析

本题背景朴实，表述自然. 第（1）问起点低，入口宽，符合考生的认知水平和心理特征，帮助考生耐心审题、细心计算，从而建立自信;通过“割补”法间接计算不规则图形的面积也为其解决第（2）问提供了直接经验. 第（2）问图形简单，问题了然，解题思路与（1）一脉相承;但从必然到或然，学生需要从新的问题情境中抽象出数学模型，综合性增强，层次性更丰富，达到了“不同的人在数学上得到不同的发展”的目的. 整个题目不仅体现了对基础知识和基本技能的评价，也体现了对数学思考和问题解决的评价.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想. 为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.[2]” 现将第（2）问中对核心素养的考查分析如下：

首先立足几何直观，整体把握图形. 结合已知条件对图形进行确定性分析[3]，经过演绎推理，确定其为面积已知的五边形，四边形OPMN为平行四边形，无确定的底或高;经过合情推理，类比第（1）问割补法，确定总体思路为通过“补形”或“分割”表示面积，考查学生的推理能力. 面积表达过程中，符号意识启发学生使用适当的未知数表示边长之间的数量关系并进行运算和推理，得到面积与边长的一般关系，即建立函数模型. 接着二次函数一般式与顶点式的互化、最值的生成与检验等体现运算能力. 纵观始末，从“人工湖面积”中抽象出数学问题，用数学方法求出结果并讨论结果的意义，反之应用到实际问题中，体现了模型思想;建模过程中，考查了学生的应用意识、创新意识.

解法荟萃

如图3所示，分别延长CD，AE，交于点F，则四边形ABCF为矩形.

设AN=x，则CP=x，BO=2x，BN=800-x，AM=OC=1200-2x，为确保四边形OPMN的存在性，则0≤AM≤AE，0≤CP≤CD，即0≤1200-2x≤900，0≤x≤600，解得150≤x≤600.

由题，MF=BO，PF=BN，△AMN≌△COP，△NOB≌△PMF，四边形OPMN为平行四边形.

以上推理过程不再重复说明.

1. 思路一：补形法

解法1：矩形补形.

S=S-S-S-S-S=S-2S-2S=800×1200-x（1200-2x）-2x（800-x）=4x2-2800x+960000=4（x-350）2+470000.

所以当x=350时，S=470000，经检验，150<350<600，故该图形存在，所以四边形OPMN面积的最小值为470000 m2，此时AN=350 m.

解法2：五边形补形.

S=S-2S-S-S=930000-x（1200-2x）-·2x·（800-x）-

·2x（800-x） -30000=4x2-2800x+960000.

其余同解法1.

解法3：矩形或五边形补形，求其余图形面积之和的最大值，例如：

S=S+S+S+S=-4x2+2800x=-4（x-350）2+490000.

所以当x=350时，S=490000，S=960000-490000=470000.

其余同解法1.

2. 思路二：分割法

解法4：沿对角线分割

如图4所示，连接NP，S=2S=2（S-S-S）=4x2-2800x+960000.

其余同解法1， 连接MO同理.

解法5：沿水平宽或铅垂高分割.

如图5所示，以B为原点，分别以BC，BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设AN=CP=a，則N（0，800-a），P（1200，a），O（2a，0），连接NP，过点O作y轴的平行线交NP于点G.由待定系数法，得直线NP的解析式为y=x+800-a，所以G2a，

a2

-a+800.

所以S=S+S=·OG·BO+·OG·CO=·OG·BC=2a2-1400a+480000.

所以S=2S=4a2-2800a+960000.

其余同解法1， 连接MO同理.

解法6：弦图分割.

过动点N，P作BC的平行线，过动点M，O作AB的平行线，分别交于Q，R，S，T，将四边形OPMN划分成5个部分，其面积分别表示为S，S，S，S，S. 根据N点的不同位置，将出现如图6、图7两种图示. 则对于图6，S=

S

+S

+S

+S+S=

S

-S+S=480000+S=480000+·（800-2x）·（1200-4x）=4x2-2800x+960000.

其余同解法1， 图7同理.

教学建议

1. 因势利导，强化模型思想

本题在2020年压轴题的基础上平稳过渡，旨在回归数学本质，与往年“隐形圆”等几何模型相比，避免了部分学生对既定模型的生搬硬套，更能考查学生自主思考和创新能力.

教师应从广义层面理解数学模型，它不只是一个具体问题，而是用于解决同一类问题的思维模式. 概念、公式、函数、定理、某类实际问题等都可看作广义的数学模型. 在教学中，应通过有针对性地变换条件、重组结构等方式进行变式延伸，在丰富的问题情境中突出数学本质;使学生有充分的时间和空间亲历建模过程，积累观察、实验、猜测、计算、推理等数学活动经验，强化模型思想，提高应用意识，达到“学一道，会一类，通一片”的效果.

2. 回归本质，重视推理能力

波利亚在“怎样解题表”中指出，首先必须弄清题目，明确已知、未知、条件分别是什么. 其次，拟定解题计划，找出已知和未知之间的联系，如果找不到直接联系，不得不考虑引入某些辅助元素[4].

在日常教学中，教师应注重课程内容的层次性和多样性，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，保证学生理解和掌握基本的知识与技能，体会和运用典型的思想与方法，为逻辑推理奠定基础. 在解决问题时，教师需引导学生综合利用几何和代数条件，发掘基本图形，梳理数量关系，必要时通过合理设元，理清线段或角度的和差倍分关系. 所谓“合理”，指该未知数便于表示其余几何量，且计算较简洁.  在明确已知和未知的基础上，注重推理能力的培养——综合法之“由因导果”以及分析法之“执果索因”，二者虽然是高中学段才涉及的名词，但其内涵对于发展学生的演绎推理能力大有裨益. 问题解决后，应当指导学生反思来龙去脉，促进学生数学思维的广阔性和深刻性.

参考文献：

[1]丁力. 初中数学几何最值问题探究——以“将军饮马”问题模型的解题策略为例[J]. 数学教学通讯，2020（14）：79-80.

[2]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]付粉娟，陈法超. 基于通性通法，探求一题多解[J]. 中学数学教学参考，2021（02）：16-19.

[4][美]乔治·波利亚. 怎样解题[M].  徐泓译.

上海：上海科技教育出版社，2011.