初中数学建模案例分析

韩际兵

在新课程标准背景下，数学建模教学模式是初中数学教学的必然选择。目前，构造方程模型、构造不等式模型、构造几何模型、构造函数模型是现实中比较常见的数学模型。初中数学建模教学一般需要经过六个步骤：建模准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析和模型检验。在实践中，要综合运用图像分析法、列表分析法、关系分析法等建模分析方法，加强数学建模的实践分析。

近年来，我国初中数学教学改革事业卓有成效，取得了不斐的改革成绩。然而，由于传统观念的长期制约，初中数学教学中仍存在一些问题，如重知识教学轻实践教学、重考试成绩轻质量提高、重学习结果轻学习过程等。受此影响，初中数学教学改革的效果远未达到预期。在这种情况下，学习和实践数学建模教学模式的呼声日益高涨。在此基础上，本文从常用模型、建模步骤和分析方法三个方面对相关问题进行了分析和阐述。

一、初中数学教学中常见的数学模型

数学模型是初中数学教学的工具和手段。能否利用好它们，直接影响到实际教学效果的好坏。为此，我们应对数学模型的类型有一个清晰的认识，以做到融会贯通。就目前而言，比较常见的数学模型有以下几种：

1. 构造方程模型。构造方程模型，又称方程组模型，是数量关系研究中的基本数学模型。众所周知，明确数量关系，有助于我们准确地认识问题、分析问题和解决问题。而构造方程模型又是明确数学关系的基本途径。因此，对于那些涉及数量关系的问题，如浓度配比问题、行程问题、工程问题、储蓄利息问题、增长率问题、打折销售问题、分期付款问题等等，都可建立构造方程模型。

2. 构造不等式模型。构造不等式模型也是处理变量关系方面比较常见的数学模型。不同的是，构造方程模型用以处理相等的数量关系，而构造不等式模型则用以处理不等的数量关系。如价格范围核定问题、统筹安排问题、生产决策问题等等，都可通过构造不等式模型来解决。

3. 构造几何模型。在实际中，如果实际问题无法直接解决，就可尝试将其转化为几何问题进行解决。而且，初中数学教学中包含着各式各样的几何问题，如裁剪方案问题、工程定位问题、测量问题、建筑问题、航海问题、道路拱桥设计问题等等。依靠这些几何问题，可建立几何模型，以此来解决各类现实问题。

4. 构造函数模型。在现实中，各类数量关系及运动规律，都可通过函数的形式予以体现。因此，构造函数模型是初中数学建模教学不可或缺的内容。如方案最优化问题、最小成本问题、最佳投资问题、用料造价问题、计划决策问题等等，都可建立相应的函数模型。

二、初中数学建模的基本步骤

通常情况下，初中数学建模大致经历以下六个步骤：

1. 建模准备。在问题分析过程中，应对问题的背景进行通盘考虑，并据此而制定科学的建模目标。同时，要整理相关的数据资料，并围绕着问题进行量性分析，以明确量的关系以及问题的本质。

2. 模型假设。问题简化是模型假设的重要基础，要依据建模目标进行有针对性的问题简化。而且，在模型假设过程中，还应注意语言的精确性，尽量选择那些主要的因素和变量进行假设。

3. 模型建立。假设模型以后，紧接着应将这种假设辅助实践。基于对各个变量的定量和定性分析，再辅之以简单而又合理的教学工具，建立数学模型。

4. 模型求解。建立数学模型意在解决实际问题。根据实际问题的需要，对数学模型进行求解处理。其中，比较常见的求解类型有图解、解方程、逻辑推理、定理证明等等。

5. 模型分析。待模型求解以后，根据不同的角度来分析求解的结果，如最优决策选择、数学预测、变量分析等等。

6. 模型检验。实际问题是检验模型分析好坏的最佳选择。通常情况下，我们主要检验模型分析的适用性、合理性、真实性，而这些都可以通过实际问题中的现象或者具体数据来实现。再者，检验模型是保证数学模型质量的最后一道关卡。看似合理的数学模型，如果未检验或者未通过检验，那么也不会被接受。

三、初中数学建模的分析方法

数学建模分析是初中数学建模教学的重要保证。而数学建模分析效果的好坏，在很大程度上要依赖于分析方法的选择。就目前而言，比较常用的分析方法有：

1. 图像分析法。在实际中，有些问题涉及到复杂的数量关系。针对这种情况，可就有关的数量关系进行作图，以此来作为数学建模和分析的依据。与其它方法相比，图像分析法具有直观形象的特点，便于我们准确地把握建模的要点，提高建模分析的有效性。

2. 列表分析法。有些数学问题不宜通过图像的形式展示。但是出于整体分析的考虑，选用列表方式来进行分析，往往更会收到意想不到的效果。而且，列表分析具有可靠的数据支撑，成为数学建模分析中比较常用的方法。

3. 关系分析法。寻求变量之间的关系，往往能找到问题的突破口和解决办法。对此，可利用这种关系来建立数学模型，对初中数学建模进行关系分析。

四、建模实例分析——以测量旗杆高度为例

《测量旗杆的高度》主要是让学生掌握实地测量的方法，弄清建模的基本原理。测量旗杆的高度是数学建模应用的基础体现，是在相似三角形的判定和性质的知识基础上的拓广和发展。为使本节课收到很好的效果，可分为两个阶段进行。第一阶段组织学生探究设计方案，发掘并掌握基本原理，明确每种测量方案的方法和需测量的数据、注意的事项等。第二阶段划分几个小组，到户外进行实地测量。最后依据不同方案归纳总结，得出结论。在测量时，为避免集中测量，影响教学秩序，被测物也可以选定旗杆之外的物体，如：树、路灯杆、篮球架的某一边等。活动中应鼓励学生创新思路、另辟蹊径。由于教材中把三种方法介绍得比较具体，所以第一阶段教学程序采取自学型，引导学生使用比较法、分析归纳法进行疑点剖析并养成合作交流习惯，提醒学生选择最适宜解题方案，同时教师加强巡视、指导，保证自学顺利进行，随时了解学生的掌握程度。学生懂得了相似三角形知识的基本结构，使他们对知识的应用才变得容易，构建数学模型注重了前后知识的联系和对思维能力的培养。采取“自学——分析归纳——启发式”教学法，尤其是第一阶段，通过学生自學、生生讨论、小组讨论和师生讨论、教师释疑等环节完成教学任务，主要培养学生自学能力和探究问题的能力。在此过程中，教师必须为课堂营造一种平等竞争、热烈讨论的和谐氛围，最大限度地把课堂的时间、空间、提问、评价的权利还给学生。促使学生主动地去想、去说、去做，教师在引导学生的过程中，要注重渗透思想、方法，使学生在掌握知识的同时，提高综合能力素养。

1. 教学实施

（1） 活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度。

（2） 活动方式：分组活动、建立数学模型、全班交流研讨。

（3） 活动准备：有关用具（小镜子、标杆、皮尺、计算器等）;

（4） 教师准备：各个学习小组提前确定好观测者，量好观测者的身高以及观测者的眼睛离地面的高度等。

2. 教学活动过程

第一阶段：自学具体的测量方法和要求

方法一：利用阳光下的影子（原理：相似三角形的直接运用）。具体操作：每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他同学分为两组，一组测量该同学的影长，另一组测量同一时刻旗杆的影长。根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说说你的理由。（注意问题：在说明两个直角三角形相似的理由时，要用到“太阳光是平行光线”的知识。对此，教师可以向学生做些解释，可以把太阳光近似地看成平行光线。）需测量的数据——观测者的身高、观测者的影长、同一时刻旗杆的影长。

方法二：利用标杆（原理：相似三角形的间接运用）。具体操作：每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆。观测者适当调整自己所处的位置，当旗杆的顶部、标杆的顶端、观测者的眼睛恰好在一条直线上时，其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底部的距离以及观测者的脚到标杆底部的距离，然后测出标杆的高。根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说说你的理由。（注意问题：使用这种方法时，观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直。）需测量的数据——观测者的脚到旗杆底部的距离、观测者的脚到标杆底部的距离、标杆的高度，观测者的眼睛离地面的高度。

第二阶段：根据各不同方案，到户外分组实际测量。每组至少分别采用三种方法进行测量（如果学生有其他的测量方法，可以实地测量）。全部测量完后，利用计算器分别计算出旗杆的高度，对比数据是否一致。分析讨论并比较这几种方案的优劣，形成优化意识，选择最佳方案。

总之，在新课程标准的背景下，教师和学生是一个教学相长、授之以渔的过程。活动不仅培养了学生收集和使用数据的能力，还进一步丰富了学生在数学活动中的经验。通过引导学生开展合作学习和研究性学习，有意识地培养学生的探究精神和挑战自我、超越自我的意志品质，使学生理解数学丰富的人文价值，促进学生观察、分析、归纳、概括、运用数学知识等综合能力的发展。同时，加强初中数学建模教学研究是一项十分系统的工程。要巩固项目的基础，提高项目的实效性，就要注意以下几个问题：一是要明确认识加强初中数学建模教学与研究的必要性;其次，全面分析当前初中数学建模教学的研究现状;最后，科学把握加强初中数学建模教学与研究的路径。只有这样，才能真正实现初中数学建模教學又好又快地发展。

*本篇论文是马鞍山市级课题《发展初中生数学建模素养的教学案例研究》（课题编号： MJG20066）的研究成果之一。