思维生长：从“原点”走向“远点”

【摘   要】关注思维发展的数学学习，要引领学生从已有经验的“原点”走向思维生长的“远点”。基于“一题一课”的“魔方表面涂色问题”教学，借助直观的几何模型，学生“由浅入深，通过递进式探究学习推进思维深度;由此及彼，通过从特殊到一般的迁移扩展提升思维灵活度”，积累寻找规律、解决问题的思维经验。

【关键词】思维生长;涂色问题;空间观念;一题一课

数学的本质是思维，帮助学生学会思维是数学教学的基本目标。数学思维的发展，要植根于学生已有知识经验的“原点”，要撬动学生生长需要的“支点”，要引领学生在开阔、纵深的思维场中通往生长的“远点”。

基于“一题一课”的“魔方表面涂色问题”教学，从小学生的认知视角出发，提供可拆分的正方体学具，让学生借助直观的几何模型，通过递进式探究学习推进思维深度，真正经历探究过程，发现其中蕴含的规律。聚焦“一题”，充分挖掘其背后所承载的价值，进行教学设计，可帮助学生实现从特殊到一般的迁移扩展，提升思维灵活性，积累寻找规律、解决问题的思维经验，发展空间观念和推理能力。

【教学过程】

一、情境引入，提出问题

师：请看大屏幕，你认识它吗？（出示图1）

生：它是一个七阶魔方。

师：这个魔方是个什么图形？

生：正方体。

师：正方体有什么特征？

生：正方体有8个顶点，12条棱，6个面。

（板书：8个顶点，12条棱，6个面）

生：这个魔方中的小正方体一共有7×7×7=343个。

师：如果只在七阶魔方的表面涂上颜色，那么每个小正立方体被涂上颜色的面数一样多吗？

生：不一样。

师：猜一猜，会出现哪几种不同的涂色情况？

生：我猜有3面涂色的、2面涂色的、1面涂色的，还有0面涂色的小正方体，一共有四类不同情况。

师：学习数学需要大胆地猜想，更应该小心地验证。这就是我们今天要研究的“魔方表面涂色问题”。（板书课题）

（设计意图：利用学生喜闻乐见的智力魔方，能迅速引发其学习欲望，在回顾正方体特征的过程中，借助直观的几何模型让学生充分感知立体图形，发展空间观念。）

二、展开探究，解决问题

师：古代先哲老子说“天下难事，必作于易”。你们知道是什么意思吗？

生：意思是说，要解决天下的困难大事，必须从容易处着手。

师：为你点赞，在数学上表现为化难为易、化繁为简。（板书：化繁为简）研究七阶魔方这样复杂的问题，我们可以先从简单的、常见的魔方开始。

1.自主探究，探索规律

师：老师给每个小组准备了一个可拆分的“三阶魔方”。下面以小组为单位研究魔方表面涂色问题，注意明确活动要求。

活动要求：

（1）找一找：三阶魔方中每类涂色小正方体分别在大正方体的什么位置？各有几个？

（2）想一想：五阶魔方中每类涂色小正方体在大正方体中的位置变化了吗？各有几个？

（3）理一理：根据表中记录的数据，你有什么发现？

（设计意图：让学生体会到从七阶魔方入手比较困难，感受化繁为简、探索规律、解决问题的必要性。提供可拆分的学具，便于学生直观地找出小正方体表面的涂色及隐藏在中心没有涂色的小正方体。经历从三阶到五阶的探究过程，有利于学生建立数学模型，为发现规律积累活动经验。）

2.分享交流，发现规律

生：在三阶魔方中，3面涂色的小正方体都在大正方体的顶点位置，所以共有8个;2面涂色的小正方体在每条棱的中间，共有12个;1面涂色的小正方体在每个面中间，共有6个;0面涂色的在大正方体正中心，只有1个。

师：你们是怎么得到这些结论的？

生：我先观察三階魔方，不确定时就“掰”开来数一数。

师：这位同学用了一个动词——“掰”，非常形象！我们通过课件再来数一数，看看他们“掰”开来数得是否正确。

（课件动态演示几种情况，如图2）

师：通过课件动态演示，我们可以直观地数出：魔方顶点位置的小正方体3面涂色，共有8个;每条棱中间位置的这个小正方体2面涂色，共6个;魔方每一个面（9个小正方形）中间位置的小正方体1面涂色;整个魔方正中心位置的这个小正方体没有涂色，1个没有涂色。那么，五阶魔方中的涂色情况是怎样的？

生：五阶魔方中，3面涂色的也是8个，都在顶点位置;2面涂色的36个，在大正方体的棱中间的位置;1面涂色的54个，在大正方体每个面的中间;0面涂色的27个，在大正方体的中心位置。

师：同样，我们通过课件演示，再来数一数。

（课件动态演示几种情况，如图3）

生：我发现三阶和五阶魔方中，涂色3面的小正方体个数相同，都是8个，且都在顶点位置。

师：不错的发现！2面涂色、1面涂色和0面涂色的小正方体是否也有规律？

生：各类涂色小正方体所在的位置都没有变化。

师：非常棒，你找到了它们的位置特征。那么，个数上是否也存在一定的规律？

生：2面涂色个数=（阶数-2）×12，1面涂色个数=（[阶数-2]）[2]×6，0面涂色个数=（[阶数-2]）[3]。

师：这些算式中都有一个“阶数-2”，说说你们是怎么想的。

生：阶数就是大正方体每条棱长上小正方体的个数，3面涂色的小正方体都在大正方体顶点位置，2面涂色的是（阶数-2）。1面涂色的正好是边长为（阶数-2）的正方形，0面涂色的在大正方体正中心，是棱长为（阶数-2）的正方体。

师：不但结论正确，而且思路清晰。掌声表扬！

师：此刻，请想象一下，七阶魔方表面涂色，各类涂色的小立方体分别有多少个？把数据记录在表格中。

（设计意图：经历过程比得出结果更重要。从三阶魔方的“掰”开来数，到五阶魔方的想象中数，从通过几何模型感知“数”与“形”之间的联系，到适时追问并运用课件动态演示，其目的都是让学生将直观的经历内化为个体的理解，并能对最终得出的规律进行合理解释，即经历推理的过程。）

3.深度探究，解释规律

师：如果继续研究下去，在n阶魔方表面涂色，可以怎样表示前面的规律？（学生独立思考后，与同桌交流讨论）

生：在n阶魔方中，3面涂色的还是8个，2面涂色的是（n-2）×12个，1面涂色的是（n-2）2×6个，0面涂色的是（n-2）3个。

（根据学生的回答，利用小棒教具直观演示）

师：通过观察、想象和总结，我们发现了各类涂色小正方体的个数与大正方体的顶点、棱、面都有着密切联系。（形成板书，如表1）

（设计意图：将探究内容从可见的一定阶数的魔方推进至用字母表示的抽象正方体，从探究魔方表面涂色问题推向发现正方体表面涂色的一般规律，学生在从一维到二维，再到三维的空间转换中，不断内化对数学模型的理解，丰富和积累解决问题的基本活动经验。）

三、巩固应用，抽象拓展

1.学以致用，应用规律

师：刚才，我们一起解决了七阶魔方表面涂色问题。现在，八阶、九阶魔方的表面涂色问题，你们能解决了吗？

师：其实不管几阶魔方，都是正方体，只要应用这些规律，就可以顺利解决正方体表面涂色问题。那么，如果在长方体表面涂色，我们能用同样的思维方式迁移到长方体来解决问题吗？

2.类比迁移，思维关联

出示：如图4，把一个长方体的六面都涂上颜色，再沿着长、宽、高把它切成若干个相同的小正方体，3面、2面、1面和0面涂色的小正方体各有几个？

生：我发现，8个顶点位置的小正方体还是3面涂色。2面涂色、1面涂色和0面涂色的小正方体所处位置与魔方中相同，只是计算起来好像又不一样。

生：其實，本质上是相同的。只是正方体12条棱长相等，而在长方体中计算（n-2）时，需要区分是长、宽，还是高，也就是（ɑ-2）、（b-2）、（h-2）。

师：好一个本质上相同！透过现象看到本质，才能让我们的思维更清晰、更通透！

（设计意图：正方体是特殊的长方体，将正方体表面涂色这一特殊情况迁移到长方体中解决一般问题，即从“一题”走向“一类”。这样的迁移，既对学生进行了解决问题的方法指导，也促使学生的数学思维更具深刻性。）

四、微课链接，关联生活

微课链接：三阶魔方中，3面涂色的8个叫角块，2面涂色的12个叫棱块，1面涂色的6个叫中心块。0面涂色的那1个小立方体在真正的魔方中是不存在的，因为魔方转动时，需要有一个用来支撑的中心轴，那个中心轴占据了这个位置。

【教学思考】

一、几何直观：植根已有知识经验的“原点”

精准把握学生已有知识经验的“起点”，引发数学学习与学生已有认知之间的冲突，可以激发学生思考、探究和解决问题的内在需求。“魔方表面涂色问题”重在经历探索过程，而不是规律的应用。教师可在学生充分感受到用原有的经验和方法解决问题有困难时，提供可拆分的“魔方”，通过任务驱动，让学生借助“真实”直观的几何模型，从已有的思维“原点”出发，动手、动口、动脑，多种感官协调活动，不断拓宽获取数学知识的渠道。学生在经历探索规律、发现规律和解释规律的整个过程中，多角度感悟其中蕴含的数学思想，丰富与积累思维活动经验，感受数学思考的无穷魅力。

二、空间观念：撬动生长需要的“支点”

认知心理学认为，学生学习知识的过程就是不断同化与顺应的过程。引导学生从已有知识经验的“原点”跃至深层次的思维“远点”，空间观念这个支点至关重要。从“掰”开来找一找到想一想的过程，正是帮助学生从通过观察建立直观表象，走向根据直观进行推理想象。学生在活动中经历了从具体形象到本质抽象的转化过程，发展了空间观念和数学思维能力。

三、通透思维：走向思维生长的“远点”

学生在课堂教学中的学习表现、感悟、体验，是未来“远点”成长的基石。正方体表面涂色问题中的探索规律只是个例子，将探究内容迁移扩展到长方体中解决问题，不仅让学生进一步感悟到正方体和长方体之间的密切联系，而且丰富了学生数学学习和解决问题的经验。从特殊走向一般，从“一题”推进“一类”，学生的数学认知不断丰富，思维逐步走向通透。课尾，通过微课展示的知识链接，让教学从课堂再次回归到生活，通过对魔方的各部分名称和中心轴问题加以说明，让学生逐步学会用数学的眼光解释生活中的现象，感受数学无处不在的应用价值。

如此，“一题一课”教学关注的是不仅仅是分类计数问题中规律的探索，也关注对学生解决问题方法的指导，引领学生真正实现从已有知识经验的“原点”走向思维生长的“远点”，提升数学学习能力，发展核心素养。

参考文献：

[1]鲍善军.基于SOLO分类理论的“一题一课”教学设计与实践[J].教学月刊·小学版（数学），2021（11）.

[2]谢东伊.借助直观   经历过程   发展思维：人教版五下《探索图形》教学实践与思考[J].数学教学通讯，2017（10）.

[3]董春艳.渗透思想   感悟方法：“探索图形”教学实践的思考[J].基础教育论坛，2021（5）.

（浙江省杭州市钱塘区教师教育学院   310018）