一道解析几何模考试题探究与推广

摘 要：本文以2022年深圳市高三调研考试解析几何试题为例，谈一谈该试题的解法探究以及结论推广.

关键词：一题多解;结论推广;圆锥曲线

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0061-04

1 试题呈现

题目 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）经过点A（2，0），且点A到C的渐近线的距离为2217.

（1）求双曲线C的方程;

（2）过点P（4，0）作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M，N两点，直线x=4分别交直线AM，AN于点E，F. 试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标;反之，请说明理由.

2 解法探究

2.1 第（1）问解析

所以以EF为直径的圆经过定点（1，0）和（7，0）.

3 结论延伸

细品解题过程，笔者感觉第（2）问的解答耐人寻味，似乎隐藏一个定点的结论，于是笔者思考，对于一般形式的双曲线，上述问题该如何表示？本例中的定点P、以EF为直径的圆所过的定点、以及a，b之间是否存在着内在联系？如果背景的圆锥曲线换成椭圆、抛物线，是否又有类似的结论呢？基于上述思考，笔者得到如下结论：

结论1 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右顶点为A，过点P（λ，0）（λ>a）的直线l1与双曲线C交于M，N两点，直线AM，AN分别与直线l2：x=λ交于E，F两点，则以EF为直径的圆过定点T（λ±baλ2-a2，0）.

结论2 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右顶点为A，过点P（λ，0）（-a<λ

证明 椭圆结论的证明过程与双曲线类似，这里不再给出.

结论3 已知抛物线C：y2=2px（p>0）的頂点为O，过点P（λ，0）（λ>0）的直线l1与抛物线C交于M，N两点，直线AM，AN分别与直线l2：x=λ交于E，F两点，则以EF为直径的圆过定点T（λ±2pλ，0）.

结论4 已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，过点P（λ，0）（λ>0且λ≠p2）的直线l1与抛物线C交于M，N两点，直线FM，FN分别与直线l2：x=λ交于E，G两点，则当0<λp2时，以EG为直径的圆过定点T（λ±（λ-p2）2pλ，0）.

圆锥曲线中的定点定值问题，可谓一花一世界，一树一菩提，在解题后，若能够静心思考，潜心研究，必能有所收获.

参考文献：

[1] 唐洵.揭秘直线与圆锥曲线4大热点问题[J].高中数理化，2014（21）：9-11.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2020年修订版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：唐洵（1988-），男，福建省福州人，中学一级教师，从事数学教学研究.