谙命题之道 明解题之本

林春明　张如椿

摘 要：本文针对2021-2022学年佛山第一次质量检测导数压轴题给出解题策略剖析、命制策略揣析、命题手法综析、新题命制探析，帮助学生有效应对此类高考问题的求解，在过程中感知数学命题之道，感悟数学解题之本.

关键词：命题;函数;导数;解题;不等式

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（202222-0002-03

1 试题呈现

题目 已知函数f（x=1aex-1+x，其中a∈R且a≠0.

当a=1或0

本题是2021-2022学年佛山第一次质量检测第22题的第（2）问，试题设问清新自然又颇具特色，立意朴实又不失新颖.以含参不等式的证明进行呈现，乍看平淡无奇，细细品味后却感觉内涵丰富.本题在考查基础知识的同时，注重考查能力，将知识、能力与素质的考查融为一体，突出考查数学理性思维，着重考查对数学本质的理解，真正全面考查数学素养.

2 解题策略剖析

命题组采用分类讨论来求解.

当a=1时，利用常见的不等式ex≥1+x得到f（x≥1+x-1+x，要证明f（x≥12x，只需证明1+x-1+x≥12x，只需证明1+12x≥1+x，此不等式两边平方显然成立.

当0

令φ（x=1aex-12ax-（ex-12x，得φ′（x=（1-a（1aex+12>0，φ（x在[-1，+SymboleB@上是单调递增函数.所以φ（x≥φ（-1=（1-a（1ae-12≥0，故1aex-12ax≥ex-12x.要证明f（x≥

12ax，只需证明ex-12x≥1+x，此即a=1的情形，已证成立.

综上，当a=1或0

在充分理解上述过程的基础上，笔者发现，利用不等式ex≥1+x，可将待证不等式f（x≥12ax转化为1+xa-1+x≥12ax，经过适当代换，并结合基本不等式，即可将问题轻松求解，更彰显了问题的本质.

另解 （以直代曲）由ex≥1+x得1aex≥1+xa.故只需证明1+xa-1+x≥12ax.

所谓命题如制谜，解题如猜谜，至此，我们不难揣析到：命题者将一个常规的问题，通过逐步包装转换，将其变为一个新颖的试题.

而作为解题者的我们，则需通过转换手段，将一个陌生的问题，不断地转换到我们熟悉的情境和问题，就可轻松将其解决.

4 命题手法综析对上述命题手法作进一步的综合分析，我们可得到关于此类问题的一般化命制思路.

（1选择构成不等式模型的基本素材ex，1+x及x.

（2将基本素材进行线性组合，构成不等式原始模型.本题所构成的不等式原始模型为1aex-

b1+x≥cx（其中a>0）.

（3利用不等式ex≥1+x实现以直代曲，得到不等式原始模型的简化.本题得到不等式1+xa-b1+x≥cx.

（4作代换1+x=t，实现第三步所得不等式形式的进一步简化.本题得到（1-act2-abt+ac≥0（1-ac≥0，ac≥0）.

（5利用基本不等式将第四步所得不等式进一步简化，消去变量t，寻找使不等式成立的充分条件.本题中（1-act2+ac≥2ac（1-act，则只需2ac（1-act-abt≥0，只需2ac（1-ac≥ab，只需c（1a-c≥b2.

（6对参数赋值，使得不等式中仅剩下一個参数.本题中令b=1，c=12a，由c（1a-c≥b2可得a≤1，此时c=12a≤12，符合1-ac≥0，ac≥0.从而得到使不等式exa-12ax≥1+x成立的一个充分条件是0

（7进行合理设问.

由此步骤，可产生与此类似的一系列试题.

5 新题命制探析

基于上述试题命制手法，笔者尝试命制一些新题.

新题1 已知函数f（x=1a（2+x-12alnx，其中a∈R且a≠0.

（1）讨论f（x的单调性;

（2）证明：当0

为了体现两个设问的连贯性，问题（1）为问题（2）的证明提供线索，可尝试微调f（x的形式，将不等式lnx≤x-1蕴含其中.如令f（x=1a（2x-2-12alnx，当a=2时，f（x=（x-1-lnx，f（x≥0，即lnx≤x-1.从而可命制如下试题.

新题2 已知函数f（x=1a（2x-2-12alnx，其中a∈R且a≠0.

（1）讨论f（x的单调性;

（2）证明：当0

随着构成不等式模型的基本素材的调整，参数取值的不同设定，函数f（x形式的改变，问题设问的不同铺陈，根据上述命题思路，还可命制出各类相关试题，此处不再一一阐述.

数学解题有五重境界，从低阶到高阶分别是：“正确解题”“一题多解”“多题一解”“发现定理”“自己编题”.通过上述基于命题视角的试题研究，我们实现了解题策略分析、命题手法剖析、新题命制探析，对试题有了更深入的认识，在这个命题探究过程中，提升了自己的解题境界.

参考文献：

[1] 何灯.一道高考导数压轴题的命制手法[J].中学数学研究，2021（06：17-19.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：林春明（1963.11-，男，福建省福清人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

张如椿（1980.3-，男，福建省福清人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

基金项目：福建省教育科学“十三五”规划2019年度教育教学改革专项课题“新高考背景下情境化试题设计的导向和规律研究”（项目编号：jjgzx19-017）.[]