一道2021年安徽省冬季联赛题的解法探究与推广

摘 要：文章通过对2021年安徽省冬季联赛第22题的解法探究，得到了相关研究对象在运动变化过程中保持的规律性及其变式推广，并由试题的解答与变式得出了关于圆锥曲线的一个统一结论，从而揭示了问题的本质和规律.

关键词：冬季联赛;解法探究;共轭弦性质;圆锥曲线

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0057-04

1 试题呈现

题目 （安徽省示范高中培优联盟2021年冬季联赛（高二）第22题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为42，离心率为32.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）已知斜率为12的直线l与椭圆C交于两个不同的点A，B，点P的坐标为2，1，设直线PA与PB的倾斜角分别为α，β，证明：tanα+tanβ=0.

试题第（1）问考查了椭圆的长轴、离心率等简单的几何性质，体现了试题的基础性;第（2）问以圆锥曲线共轭弦性质为背景设置了与动直线有关的定值问题，综合性强，对学生逻辑推理、数学运算、直观想象等素养有较高要求，值得深入探究.

2 解法探究

点评 证法1把待证问题转化为求证两直线PA，PB斜率之和为0，从而几何问题通过坐标运算转化为代数问题，既展示了坐标法的魅力，又体现了数形结合的思想.继续探究，如图1，发现当Δ=0时，t=-2或t=2，此时直线l与椭圆C相切，点P坐标为-2，1或2，-1，直线l的斜率与椭圆C在点P处的切线的斜率互为相反数，这一发现为进一步探究试题本质提供了思路.图1

点评 证法2从直线PA与PB的倾斜角入手，自然联系到应用直线的参数方程解题，亮点在于对坐标的处理，借助参数的意义和三角恒等变换，整个运算过程一气呵成，简洁明了.

由于平移变换后点P的坐标变为P′0，0，故kP′A′，kP′B′是方程①的两个根，由韋达定理知kP′A′+kP′B′=04-16m=0，由于平移变换下不改变直线的斜率，所以kPA+kPB=0.

点评 证法3通过平移变换巧妙地把椭圆上的定点P转化为坐标原点P′，变换后两直线P′A′，P′B′的斜率恰好是点A′，B′的坐标比值，从而通过齐次化处理，把两直线斜率之和问题转化为韦达定理根与系数的关系，解答简洁明了，相比通性通法中运算量大的特点，平移变换后齐次化处理很大程度上避免了繁杂的运算，是解答过定点两条动直线斜率之积、之和问题的利器.

点评 证法4“曲线系方程法”相比前面证法，站在更高的观点，为我们解决这类解析几何问题提供了新视角，但也有一定的局限性，在具体的解题实践中，还需根据自身实际，选择适当的方法.

3 推广探究

著名数学教育家G·波利亚说“分解和重组是思维的重要活动”，因此我们有必要深入到试题的细节中去，通过逆向变换，亦或者改变曲线背景提出新的问题，以探究试题内在规律，培养学生思维品质.

变式1 已知A，B为椭圆C：x28+y22=1上的两个动点，点P2，1，若直线PA的斜率与PB的斜率互为相反数，证明直线AB的斜率为定值.

推广2 设点Px0，y0是对称轴平行于坐标轴的定圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线和抛物线）C上一定点，A，B是C上两个动点，若直线PA，PB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率存在时为定值，等于曲线C在点P处切线的斜率的相反数.

（1）当曲线C是有心圆锥曲线时，设方程统一形式为λx2+μy2=1（λμ≠0），则kAB=λx0μy0y0≠0;

（2）当曲线C是抛物线时，可设C：y2=2px（p≠0），则kAB=-py0或C：x2=2pyp≠0，则kAB=-x0p.

推广2也称为圆锥曲线共轭弦性质，以其为背景命制的高考试题和竞赛试题屡见不鲜，像这样通过挖掘改造著名数学问题来命题已成为近年高考数学圆锥曲线压轴题命制的新趋势，这也启示一线教师在教学中应充分利用这些素材，引导学生探究试题解法，剖析试题本质，从而培育学生的思维品质，落实学科素养.

参考文献：

[1]波利亚，涂泓译.怎样解题——数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：栾功（1982.10-），男，甘肃省陇西人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：南宁市教育科学“强基计划，拔尖人才培养”专项课题“强基计划背景下高中数学学科拔尖人才培养模式研究——基于问题提出的视角（项目编号：2021QJ010）.