小学高年级数学活动课程渗透模型思想的探究

黄媛媛　刘梅梅

[摘    要]模型思想是义务教育阶段数学十大核心概念之一，是指建立和求解数学模型的方法和意识的总和，培养学生的模型思想，不仅有利于提高学生学习数学的兴趣和问题解决的能力，还能够提升学生的思维水平和应用意识。小学高年级的数学活动课程是渗透模型思想的一条有效路径，但当前小学高年级数学活动课程渗透模型思想存在教师缺乏渗透模型思想的意识、教师重技巧而轻模型建构过程的问题。教师可以通过创设情境，初探数学模型;合作探究，建构数学模型;操作交流，深化模型意识;反思总结，迁移应用模型，有效地帮学生建立起模型思想。

[关键词]小学高年级;活动课程;模型思想

数学是研究数量关系和空间形式的科学，要想学好数学需要掌握一定的数学思想和方法，模型思想、数学建模是近年来数学教学领域里比较热门的话题，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）将模型思想列为义务教育阶段数学十大核心概念之一，并明确指出“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”，模型思想的渗透也有助于提高学生学习数学的兴趣和应用意识。随着数学与社会生活的联系越来越紧密，数字化、信息化的发展都对数学思想方法产生了极大的影响，而作为基本数学思想之一的模型思想在数学教学中也将占据更为重要的位置。尤其是对于小学高年级的学生，随着数学问题的复杂化，更需要培养模型思想来助力数学问题的解决。

一、模型思想的内涵及其在数学活动课程中渗透的意义

（一）模型思想的有关概念

1.数学模型

数学模型是运用数学语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且要经过实践检验的一种数学结构。广义地说，数学模型包含各种基本概念和算法，包括方程、不等式、函数、结构性算法、图形、图表等;狭义地讲，只有反应特定问题或特定具体事务系统的数学关系结构才叫作数学模型，比如人口模型、预测模型等。数学模型并不是一个很高大、深奥的概念，恰恰相反，它是帮助人们将复杂问题简单化的工具，人们所熟知的运算定律、周长及面积公式等都是数学模型。

2.模型思想

模型思想是连接数学与外部世界的桥梁，它是一种较高层次的数学思想，是指建立和求解数学模型的方法和意识的总和。理解模型思想首先要将数学思想和数学方法区分开来，虽然很多时候数学思想方法都是作为一个整体的概念被提到，但是二者有着本质区别。数学方法强调的是探究问题的技能、技巧，是可以直接教给学生的。但是思想是一种本质的、理性的认识，是不能直接教给学生的，它是对知识和方法的抽象和概括，需要学生在数学学习的积累中去形成理性的认识。作为数学学习的一种基本的思想，模型思想在数学学习中具有十分重要的影响，同时作为一种解决问题的思路，对于学生未来生活也有重要的作用。

（二）小学高年级数学活动课程渗透模型思想的意义

1.对新课程改革的呼应

新课程改革相比于以往更关注学生的发展，随着时代的进步和学生心理的发展，新课标在原来“双基”的基础上又提出了要发展学生的基本思想和基本活动经验，而《标准》把模型思想列为数学十大核心概念之一，足见模型思想的重要性。数学学习不是机械死板的，需要让学生感悟数学思想，那么教师就应该在教学中有意识地引导学生通过问题的探究、实际操作等活动不断培养学生的数学思想，积累活动经验。因此，在新课程改革的背景下，模型思想作为三大基本数学思想之一，小学数学教师在教学中理应重视模型思想，并在此基础上不断推动基础教育数学教学的发展和进步。

2.提高解决问题的能力

模型思想的作用在于帮助学生从解决一个问题到解决一类的问题，从而提高学生解决问题的能力。模型思想是较高层次的数学思想，也是最上位的数学思想，其中还包含优化思想、量化思想、方程思想、随机思想、统计思想等。每一种思想都代表着一类数学问题的解决思路，只要掌握了解决这类数学问题的核心思路，也就是建立了解决这类问题的模型，遇到类似的问题就可以运用模型来求解，问题的解决就容易了很多。尤其是在小学阶段，数学模型的作用是不可估量的，它是帮助学生理解和抽象数学问题的非常重要的工具，持续影响着中学甚至大学阶段的数学学习。如果不能够很好地掌握基本的数学概念、公式、定律等，那么势必也会影响学生的数感、符号意识甚至应用意识和创新意识的养成。并且数学问题需要深入思考，解决问题不是照搬模型，而是在模型的帮助下去思考问题，在这个过程中学生逐渐学会解决问题，逐渐提高解决问题的能力。

3.提高应用意识和思维水平

数学思想对一个人的影响是全面的、持续的，模型思想的养成不仅有利于数学问题的解决，其更深远的影响是提高学生的应用意识和思维水平。数学作为一门工具性的学科，是能够被运用到社会生活的各个领域的，生活中处处都隐藏着数学可以解决的问题，建立和求解模型的过程同样可以用于解决生活中的数学问题。如优化思想，学生在购物中常常会遇到选择哪种物品更合适的问题，此时解决最优问题的模型就能够发挥作用。适当渗透模型思想有助于提升学生思维的抽象水平，锻炼思维的深刻性、广阔性和灵活性。学生通過数学建模解决问题需要准确地把握问题的本质，分清问题中的各种因素，从而确定数据、求解问题。这不是机械套用的过程，而是深思熟虑的过程，这个过程经过了思维的不断转换，因此建立模型思想的过程本身也是思维水平提升的过程。

二、小学高年级数学活动课程渗透模型思想存在的问题

与普通的数学课程相比，数学活动课程的活动性、趣味性、思考性、实践性和协作性都更强，更强调学生在活动中建构知识、提升思维、积累活动经验，一般设置在综合与实践板块。这样的课程更适合于注重建构过程的模型思想的渗透，但是在小学高年级课堂中，教师还存在着问题：在活动课程中缺乏了渗透模型思想的过程，没有利用好活动课程这个良好的培养途径。

（一）教师缺乏渗透模型思想的意识

模型思想从2001年在课标中首次出现，到2011年正式确立为数学的核心概念，发展到现在已经20余年，但是大多数小学数学教师并没有对模型思想给予足够重视，认为模型思想过于复杂，在小学階段并不适用，甚至片面地认为是奥数学习的内容，所以在教学中普遍缺乏渗透模型思想的意识。实际上，小学阶段的数学内容大部分都蕴含着模型思想，方程、公式、运算定律这些都是数学模型。但是在实践中可以发现，许多教师没有将公式、定律等与数学模型联系起来，在教学中也不会刻意地强调渗透和培养学生的模型思想。同时，也有部分教师由于自己没有掌握数学建模的方法，因而在教学中也不懂得如何渗透模型思想，教师的个人素质和能力制约着学生模型思想培养的环境创设。活动课程的内容通常都蕴含了重要的模型思想，如果教师没有组织学生探究模型、感悟模型思想，那么活动课程的开展就失去了很大的价值。

（二）教师重技巧而轻模型建构过程

在应试教育的背景下，部分教师为了学生能够得到更高的分数，往往更加注重传授学生解题技巧和方法，但却不关注学生是否理解方法的本质，忽视了学生知识建构的过程，这也是教师未能很好渗透模型思想的一个重要的原因。以乘法口诀的教学活动为例，很多教师在教学中侧重于教学生怎么背乘法口诀，会组织学生通过“对口令”“找朋友”等活动反复记忆和训练，实际上，编制乘法口诀的过程才是体现乘法的意义的过程，因为随着加数的增加，加法的计算就变得越来越复杂，因此借助乘法来计算就会更简单。每一句口诀代表什么意思是通过学生自己的探究过程得来的，而不是靠背下来的，所以很多学生存在乘法口诀记不牢或者反应很慢的问题，很大程度上是因为没有掌握乘法口诀编制的要领、没有理解乘法的意义，乘法的模型并没有建立起来。因此，教师在教学中应该更关注的是学生建构模型的过程，只有学生掌握了模型的本质，才能够更好地应用模型，形成模型思想。

三、小学高年级数学活动课程渗透模型思想的策略

小学高年级学生的认知水平处于具体运算向形式运算过渡的阶段，基本具备了思维的完整性和逻辑性的体系，独立探究能力显著增强，语言表达能力和观察感知能力也有了明显提高，对于理解和运用数学模型有了更强的能力。随着高年级数学学习内容的难度越来越大，结合活动课程来渗透模型思想，可以在一定程度上减缓学生对复杂数学问题的焦虑，让学生在相对趣味和轻松的活动中发挥其主动性和探究能力。同时，由于学生抽象能力已经发展到了更高的阶段，因此更容易掌握建构数学模型的方法，并深刻感悟数学模型的作用和重要性。小学高年级数学活动课程一般分为以下几个步骤：确定活动主题，创设情境——发现问题，提出问题——探索活动，解决问题——汇报交流，深入思考——评价激励，迁移应用——反思总结。结合以上的步骤和数学建模的特点，在小学高年级数学活动课程中渗透模型思想可以从以下四方面入手：

（一）创设情境，初探数学模型

一般而言，在综合与实践板块，教材会给出特定的问题情境，情境一定是与生活相关并且问题明确的。在北师版五年级上册数学 《设计秋游方案》这一课中，教材呈现的情境是61名学生和教师去北京故宫和北海公园参观，问题是买门票要多少钱？怎么安排时间更合理？这个情境涉及“秋游”，很容易引起学生的探究兴趣，很多学生都有旅游、买票的经验，因此这个问题也足够吸引学生。教师自主设计活动情境也需要注意联系学生的生活实际，且问题是具有挑战性但又不会太难的。将生活实际问题抽象成数学问题是问题解决非常重要的一步，也是体现数学素养的关键之处，抽象的过程一定是学生自己经历的，而不是教师直接告诉学生的。“买门票需要多少钱？”“怎么安排时间合理？”将这样的生活问题抽象成数学问题需要学生确定变量及数学关系，学生要思考需要哪些变量、他们之间的关系如何？确定了数据和关系之后，学生就可以根据这些信息抽象出数学问题了，在头脑中初步形成解决此类问题的模型。这个步骤是建立模型的第一步，也是让学生思维打开的过程。

（二）合作探究，建构数学模型

合作学习是数学活动的重要表现形式，协同探究的过程不仅有助于学生发散思维，也有助于提高学生的积极性和合作能力。合作探究的过程需要留给学生足够的发挥空间，教师不宜发出太多的指令和要求，否则学生所掌握的知识是不牢固的。数学建模的过程更强调学生的自主建构，其建构性具体表现在两方面：一是学生需要自己寻找变量和关系式，用数学符号表示出来;二是解决一个问题可能不止有一个模型，学生需要自己去发现问题的多解性，并尽可能找出所有可以解决这个问题的模型。这个过程教师应该让学生自己探索，合作探究就给了学生思考和探究的空间。以人教版五年级上册“数学广角”中“植树问题”为例，学生通过初步探究可以发现“植树棵数=间隔数+1”这个模型，但是这个模型真的能解决所有植树问题吗？通过这样的问题引导学生深入思考问题的多样性，探究各种不同条件的植树问题。学生通过小组集思广益会发现问题不只这么简单，从而探究得到“一端栽一端不栽”“两端都栽”“两端都不栽”三种问题下的数学模型。

（三）操作交流，深化模型意识

活动课程强调“做中学”，将书本间接经验与操作所获得的直接经验结合，能够深化学生的知识学习，并且能让学生真正感到力所能及，因此操作交流是活动课程必不可少的环节。一是在课堂中结合工具或者画图、设计等活动将模型外化出来，二是一定要用数学语言表达、解释模型，经历交流的过程。在学生已经建立了数学模型的基础上，结合操作活动进一步加深对模型的认识，同时操作的过程也是一个验证的过程。在交流活动中，学生可以输出自己的观点，获得成就感，也能在别人的输出中解决困惑，教师也可以在其中引导学生克服困难，在活动中深化模型意识。例如“植树问题”通过实际操作是很容易发现其中的规律的，学生只需要画一画或者用小棒摆一摆便可知其建立的数学模型是否正确、是否完整，验证其之前的想法。最后在教师的引导下说出自己的看法，将多种数学模型清晰地表达出来，师生互评，让学生客观地了解自己在活动中的表现，并向他人学习，通过“做与分享”的过程深化模型意识。

（四）反思总结，迁移应用模型

活动进行到最后还需要一个将探究得出的结论一般化的过程，目的是解决更多数学问题以及生活实际问题，这也是培养模型思想的目的所在。总结是对活动目标的强化，也是学生积累活动经验的重要一环。学习新知最终是为了应用，一个新的数学模型的学习主要有两个作用：一是用来解决同类的数学问题;二是用于解决生活实际问题。因此在总结经验之后需要及时练习、应用。如何将得到的数学模型一般化，需要学生联系所学知识以及生活实际发散思维，如在“植树问题”中得到的数学模型只能解决“植树”问题吗？答案显然不是，把树换成路灯、换成垃圾桶都是一个性质，最后再结合练习继续让学生的思维得到一次次地强化和提升，并且让学生自己思考可以解决生活中哪些问题，不断地巩固学生所形成的模型意识。

参考文献：

[1]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.

[2]陈蕾.渗透模型思想的教学策略：以小学数学为例[J].上海教育科研，2018（10）.