浅谈以“问题探究”为主基调的高效数学课堂的建构

胡红

[摘  要] 问题探究式教学模式是一种重要的数学教学模式，其将教学目标、教学设计等内容逐渐问题化，以此激发学生学习兴趣、诱发数学思考. 在日常教学中，教师应为学生营造一个自由的、宽松的问题探究环境，让学生在解决问题的过程中去思考、去合作、去交流，以此提升学生的综合素养.

[关键词] 问题探究;数学思考;综合素养

教学中教师会结合具体学情提出问题，从而以问题为导向启发学生进行数学探究，以此启迪学生的数学思维，激发学生的学习兴趣，提高学生的课堂参与度. 教学中教师可以依据教学内容从不同层面进行设计，如可以从知识与技能、过程与方法层面进行设计，也可以从情感和价值观目标层面进行设计. 不过，无论从何种层面设计都应从学生的实际学情出发，要以发展学生为目标，这样才能发挥问题探究教学模式的优势，让学生在探究、交流、合作中有所发展、有所成长.

笔者教學“两条直线的平行与垂直”第一课时，以问题探究为主基调进行了教学设计，旨在探究中让学生掌握数学研究方法，提升数学素养.

[?]教学设计

1. 问题引领探究

师：如何用符号语言来表示两直线l，l平行和垂直？

生1：l平行于l：l∥l;l垂直于l：l⊥l.

师：如图1所示，l∥l?α=α. 若BC∥EF，则△ABC与△DEF有什么关系？

生2：△ABC∽△DEF.

师：已知两点P（x，y），Q（x，y），当x≠x时，直线PQ的斜率k是多少？它有什么几何意义呢？

生3：PQ的斜率k=，它表示直线的倾斜程度.

师：如图2所示，直线PQ的斜率k还可以如何表示呢？

生4：k=.

师：图3中的k呢？

生5：k=-.

师：很好，我们知道斜率刻画了直线的倾斜程度，那么是否可以用斜率来研究两条直线平行呢？（生不语）

师：设直线l，l的斜率都存在，直线l：y=kx+b，直线l：y=kx+b. 若l∥l，猜一猜k和k是否存在什么关系.

生6：我猜想，若l∥l，则k=k.

师：它的逆命题是——

生6：若k=k，则l∥l.

师：很好，以上两个猜想是否成立呢？

教师预留充足的时间让学生合作交流，从而在交流中不断地完善自己，优化认知. 几分钟后，各小组已经有了探究结果，教师鼓励学生交流展示.

生7：我们小组是这样推理的：如图4所示，已知l∥l，任意作直线m∥x轴，分别交直线l，l于点A，D，在直线l，l分别有点B，E，过点B作BC⊥m于C，过点E作EF⊥m于F. 因为l∥l，所以∠BAC=∠EDF，从而△BAC∽△EDF，故=，即k=k. 反之，若k=k，即=，则△BAC∽△EDF，所以∠BAC=∠EDF，从而l∥l.

师：很好，对于图5，结论如何？若k=k=0，结论又如何呢？

设计意图：从学生熟悉的旧知出发，将平面几何和解析几何建立联系. 教学中教师鼓励学生进行合作探究，引导学生从已有经验出发——从倾斜角为锐角的情况出发，通过构造相似三角形证明结论. 为了诱发学生深度思考，学生给出证明过程后，教师继续追问，让学生思考当倾斜角为钝角时结论又如何，以此通过分类讨论，培养学生思维的严谨性.

师：根据以上分析，你能够得到什么？（引导学生进行总结归纳）

生8：两直线l，l不重合且斜率存在，若它们互相平行，则它们的斜率相等;反之，若两条直线的斜率相等，则它们互相平行. （定理1）

师：说得很好，如何用符号语言表达呢？

生9：若两直线l，l不重合且斜率存在，则l∥l?k=k.

师：总结得很好，对于定理1成立的条件有两个，一是两直线不重合，二是两直线的斜率存在. 若只满足其中一个条件，你能得到什么呢？

生10：若l，l的斜率都不存在?l∥l.

设计意图：引导学生对以上探究过程进行总结归纳，从而抽象出定理，培养学生的数学抽象能力. 为了让学生进一步理解定理，并能够应用定理解决问题，教师引导学生对定理的成立条件进行深度探究，以此深化理解，优化认知结构.

2. 联想拓展引申

师：以上我们用斜率研究了两条直线的平行关系，猜想一下，是否可以用斜率继续研究两条直线的垂直关系呢？

生齐声答：可以.

师：很好，现在继续我们的探究之旅. 如图6所示，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD是BC边上的高，则Rt△ABD与Rt△CAD有什么关系？

生11：Rt△ABD∽Rt△CAD，且AD2=BD·DC.

设计意图：从学生的已有认知出发，为新知的探究铺设思维台阶，提升学生的课堂参与度.

师：思考一下，若两直线l，l的斜率都存在，且分别为k，k，则l⊥l?_____.

为了便于学生进行沟通交流，教师将以上问题进行了转化，给出了如下问题：如图7所示，l⊥l于P，作直线m分别交l，l于点R，S，再作PQ⊥m于Q，由此你能得到什么？

生12：根据上面分析，可得PQ2=RQ·QS.

师：很好，根据斜率的几何意义，你还能得到什么呢？

生13：k=，k=-.

师：很好，根据以上结果，你能得到什么呢？（学生积极思考）

生14：我知道了，k·k=·

-= -1.

师：很好，很棒的发现. 那么，若k·k=-1，是否可以得到l⊥l呢？

这样在问题的引导下，学生通过积极思考，得到了定理2：两直线l，l的斜率都存在，若两直线互相垂直，则两直线的斜率之积等于-1;反之，若它们的斜率之积等于-1，那么两直线垂直. 用符号语言表示为l⊥l?k·k=-1（直线l，l的斜率都存在）.

得到定理2后，教师又引导学生对定理成立的条件进行了深度剖析，以此让学生明晰定理的内涵及外延. 通过对定理2的拓展容易发现：若两直线中的一条直线的斜率不存在，那么与之垂直的直线的斜率为0. 这样通过对定理成立条件的适度剖析及拓展，培养了思维的全面性、深刻性，为接下来的灵活应用奠定了坚实的基础.

3. 应用巩固提升

经历以上自主探究的过程，学生总结归纳出了两个定理，为了让学生感悟定理的应用价值，教师精心设计了如下练习：

练习1：证明顺次连接A（-1，2），B（3，4），C（4，2），D（2，1）四点所得的四边形是直角梯形.

练习2：过点A（1，2）且与直线l：2x+y-5=0平行的直线是______.

练习3：过原点作直线l的垂线，垂足为（1，2），则直线l的方程为______.

练习4：已知直线l：ax-y+2a=0与l：（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，则a=______.

设计意图：借助具体练习及时检测学生的学习效果，以便教师更好地了解学生，并根据学生的反馈调整教学方案，从而让学生将新知学懂学会，并建立完整的认知体系. 对于练习1，其来自课本例习题的改编，既应用了两直线平行的等价命题，又应用了两直线垂直的等价命题，同时又渗透了利用解析法证明平面几何问题的方法，可谓是一举多得. 对于其他3个练习，主要考查学生对定理的掌握情况，应用时需要关注定理的应用条件及其特例. 练习中充分发挥学生的主体作用，让学生通过具体操作更好地了解自己，体验成功的喜悦，激发数学学习信心.

4. 总结归纳提升

师：说一说，这节课都有什么收获？（教师预留时间让学生回顾、反思、总结）

生15：我们学习了两个定理. 定理1：l∥l?k=k（l，l不重合，且k，k都存在）;定理2：l⊥l?k·k=-1（k，k都存在）.

生16：注意两个特例：①若l，l不重合，且k，k斜率都不存在，则l∥l;②已知两直线l，l互相垂直，若其中一条直线的斜率不存在，那么另外一条直线的斜率为0.

……

师：大家总结得都非常好，应用时不能忽略应用条件，当心特例，同时要注意数形结合、分类讨论等数学思想方法的灵活运用.

设计意图：通过小结，引导学生对课堂内容进行反思回顾，总结归纳出本节课的重难点，并提炼出蕴含其中的数学思想方法，从而让学生可以更加系统地、全面地掌握本节课的内容，建立起新的认知结构，进一步提高学生的认知水平，提升学生的数学抽象素养.

[?]教学反思

本节课以“问题”为内驱力，充分地调动了学生参与的积极性，这样学生在问题的启发和引导下，不仅掌握了新知，而且掌握了数学的研究方法，感悟了数学思想方法的应用价值，提升了学生的学习品质. 问题探索式教学模式虽然表面上多消耗了一些时间，但是其达到的效果是“灌输”课堂无法比拟的，其有助于学生提高自主学习能力，有助于學生优化认知结构，有助于学生长远发展. 因此，教师应从教学实际出发，为学生量身定制探究问题，以此让学生的思维在问题的引领下能够得到质的提升.

本节课教学中，教师关注学生的发展，重视数学课堂文化的建构，为学生营造了一个平等、和谐的学习氛围，引导学生通过独立思考、互动探究、对话交流等学习活动更好地理解了数学，提升了数学学习兴趣. 教师从学生熟悉的直线垂直和平行出发，在问题的启发和引导下，充分暴露了学生的思维过程，让学生感悟到由形到数的发展过程，揭示了数形结合的本质，提高了数学教学的品质.

总之，为了更好地教学，提高教学品质，教师应精心设计适合学生发展的问题情境，以此让学生的学习能力和数学素养在问题的引领下得到全面提升.