挖掘“源头” 把握方向

刘熙 刘冰楠

[摘  要] 以2021年全国新高考Ⅱ卷（数学）第14题为例，挖掘其在教科书中的“主流源头”和“支流源头”，并提出备考建议：解读文件精神，明确考查方向;回归教科书，把握命题方向;挖掘同类素材，预测试题命制.

[关键词] 高考题;数学教科书;追根溯源;备考建议

高考试题大多源于教科书例习题的改编与整合，在一定程度上体现了基础性、创新性的高考学科考查要求. 挖掘高考数学试题在教科书中的“源头”，不仅可以体悟高考试题源于教科书的命制思路、了解教科书内容的改编方式，还可以初步感知高考命题动向、把握复习重点. 以2021年全国新高考Ⅱ卷（数学）第14题（以下简称“新高考Ⅱ卷第14题”）为例，挖掘其在教科书中的“主流源头”和“支流源头”，并提出一些备考建议.

[?]试题呈现

（新高考Ⅱ卷第14题）写出一个同时具有性质①②③的函数f（x）：______.

①f（xx）=f（x）f（x）;②当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0;③f′（x）是奇函数.

解：取f（x）=x2，则f（xx）=（xx）2=xx=f（x）f（x），满足性质①;f′（x）=2x，x∈（0，+∞）时f′（x）>0，满足性质②;f′（x）=2x的定义域为R，又f′（-x）=-2x=-f′（x），故f′（x）是奇函数，满足性质③. 故答案为f（x）=x2（答案不唯一，f（x）=x2n（n∈N*）均满足）.

[?]试题评析

考生应明确填空题的命制意图——“侧重于基础知识和基本能力的考查，關注对课本知识掌握的牢固程度”[1]. 该试题要求写出一个同时具有性质①②③的函数，该函数类型在教科书中有所提及，而教科书中的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，满足性质①的仅有幂函数f（x）=xα（其中x是自变量，α是常数），由此确定函数类型. 根据性质②，函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，因此α>0. 由性质③，可知f′（x）=αxα-1中x的指数α-1为奇数，故α为偶数，于是f（x）=x2n（n∈N*）均满足. 此外，考生应理性审视试题，题目要求写出函数解析式，答案应是熟悉的函数类型或其复合函数，因此要迅速提取已学的函数类型（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等），并对三条性质逐一验证，从而解决问题. 该试题解答的关键在于理性地选择函数类型，对备选的函数类型要进行验证，并做出正确的取舍.

该试题给出了明确的已知条件，考生需要结合性质①判断所求函数的类型，再结合性质②③写出符合要求的函数解析式，标准答案不唯一，属于开放性试题中的“举例问题”，这种试题在2021年高考数学中首次出现[2]. 试题聚焦“一核、四层、四翼”评价体系，立足幂函数的性质、利用导数判断函数的单调性、奇偶函数的定义等基础知识，打破常规，增大试题探究性，扩大开放度，体现创新性，对数学知识进行多方位、深层次的考查，渗透数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养，考查逻辑推理能力、运算求解能力、创新能力、综合运用知识解决问题的能力，突显思维的创新性、灵活性和多样性，体现“重思维、重应用、重创新”的命题要求.

[?]追根溯源

1. 高考试题的“主流源头”

高考命题应立足学业质量标准和课程内容[3]. 教科书作为课程内容的主要载体，其内容在高考命题中占有一定的地位，大多数高考题在教科书中均可以找到“影子”. 如新高考Ⅱ卷第14题可以在教科书中寻到其“主流源头”——人教A版数学必修第一册第74页习题3.1第17题（简记为“例1”）.

例1 探究是否存在函数f（x），g（x）满足条件：

（1）定义域相同，值域相同，但对应关系不同;

（2）值域相同，对应关系相同，但定义域不同.

解：（1）存在. 如f（x）=x，定义域为R，值域为R;g（x）=2x+1，定义域为R，值域为R. 又如f（x）=x，定义域为R，值域为[0，+∞）;g（x）=x2，定义域为R，值域为[0，+∞）. （答案不唯一）

（2）存在. 如f（x）=x2，定义域为[0，2），值域为[0，4）;g（x）=x2，定义域为（-2，2），值域为[0，4）. （答案不唯一）

新高考Ⅱ卷第14题是该教科书原题的变式与拓展，不仅包括必备知识的加深拓展，还包括关键能力、学科核心素养等的深化. 第一，二者均为根据已知条件写出函数解析式的题目，要求学生透彻理解函数主线的基础知识，能灵活运用函数性质. 高考试题将幂函数的性质、单调性、导数、奇偶函数的定义等基础知识有机整合，注重知识的系统性和整体性;教科书原题重点考查函数三要素，巩固深化教科书内容. 这在一定程度上体现了高考试题是由教科书原题改编、拓展的，突出考查学生综合运用基础知识解决问题的能力，是必备知识的加深拓展. 第二，二者均属于开放性问题中的“举例问题”，需根据题目条件写出符合要求的函数解析式且答案不唯一. 这不仅可以激活学生的知识网络，还可以培养学生思维的灵活性和创新性，且高考试题考查的知识点较多，在一定程度上增加了试题的难度. 第三，“举例问题”打破常规，要求学生根据条件写出函数解析式，而常规题目多根据函数解析式及相关条件推导函数性质，这对学生数学能力的培养侧重点有所不同. 常规题目注重培养学生的逻辑推理能力，落实数学运算素养;“举例问题”注重培养学生从多角度审视问题的能力，考查学生思维的灵活性和创新性.

2. 高考试题的“支流源头”

教科书的函数主线还涉及其他类型的“举例问题”，包括构建满足函数解析式的问题情境、根据问题情境画出函数图像等. 具体如下：

例2 构建其他可用解析式y=x（10-x）描述其中变量关系的问题情境. （人教A版数学必修第一册第63页探究题）

例3 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y=来描述. （人教A版数学必修第一册第64页练习第4题）

例4 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y=ax2（a>0）来描述. （人教A版数学必修第一册第73页习题3.1第14题）

例5 一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高. 画出自服药那一刻起，心率關于时间的一个可能的图像（示意图）. （人教A版数学必修第一册第86页习题3.2第6题）

例6 体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图. （人教A版数学必修第一册第118页练习第3题）

上述教科书原题均为开放性问题中的“举例问题”（答案不唯一），与新高考Ⅱ卷第14题所属主线一致. 前三题根据函数解析式构建满足变量关系的问题情境，后两题根据问题情境画出函数图像. 满足变量关系的问题情境、函数解析式、函数性质、函数图像等紧密相关，命制试题时可根据考查要求将其中一方设为未知量. 新高考Ⅱ卷第14题将函数性质作为已知条件，将函数解析式设为未知量，考查学生对基本初等函数性质的掌握情况以及对知识的灵活运用水平;教科书的例2、例3、例4将函数解析式作为已知条件，将满足变量关系的问题情境设为未知量，可以让学生深度理解函数解析式，感悟数学源于生活;教科书的例5、例6将问题情境作为已知条件，将函数图像作为未知量，可以提高学生的动手实践能力、作图能力，使学生体悟数学应用于生活. 上述教科书原题均为新高考Ⅱ卷第14题的“同类素材”，且契合“习题应开发一些具有应用性、开放性、探究性的问题”[3]的编写建议，并发挥独特的数学学科育人价值. 随着试题开放度的增大，上述教科书原题在预测高考试题命制时具有一定的参考价值.

[?]备考建议

基于新高考Ⅱ卷第14题在教科书中“源头”的挖掘，本文提出以下几点备考建议：

1. 解读文件精神，明确考查方向

高考评价体系是新时代高考内容改革的理论支撑和实践指南[4]. 在备考过程中，应关注国务院、教育部考试中心等发布的文件以洞悉高考内容改革方向，同时阅读高考命题者公开发表的文章，关注他们对国家相关政策文件的解读、对高考评价体系的认识，以及依据高考评价体系、高校人才选拔要求、国家课程标准建构的数学命题框架，由此明确高考数学学科的考查内容、考查要求、考查载体，以及选择题、填空题、解答题的命制意图等. 例如，若明晰填空题的命制意图，新高考Ⅱ卷第14题就可以将函数类型的范围缩小至教科书中的基本初等函数，进而一一验证.

2. 回归教科书，把握命题方向

历年高考命题中有大量试题直接源于教科书或由教科书中的例习题改编而来[5]，但试题的回归并没有降低考查难度与深度，而是通过对教科书例习题进行变式拓广提高了试题的综合性和创新性，优化了高考选拔功能. 在备考过程中，应充分挖掘历年高考试题在教科书中的“源头”，明晰其改编方式，把握命题方向，并“结合高考命题实际，对教科书中的某些内容进行补充、拓展、改进、增补、变式、整合等”[6]. 例如，新高考Ⅱ卷第14题是在保持例1“举例开放”题型以及所属主线一致的基础上，对必备知识的加深拓展、对关键能力的深化、对学科核心素养的落实. 因此，备考过程中应关注教科书中新题型的出现（如“举例问题”），并尝试对其进行改编，包括条件与结论的倒置、综合性的增强、知识点所属主线的改变等，加强试题的开放性和探究性，设计条件或结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题，减少“刷题”在高考中的作用.

3. 挖掘同类素材，预测试题命制

在备考过程中，注重挖掘历年高考试题在教科书中的“源头”并找寻同类素材，包括题型一致（如均属于“举例开放”问题）、所属主线相同、思维程序类似等，以期预测高考试题命制. 高考“通过命制开放性试题、结构不良试题，发挥选拔功能;通过创新题型，对学生的创新能力进行考查”[4]，扩大试题的创新性、探究性、开放性. 新高考Ⅱ卷第14题与例2至例6均属于开放性试题中的“举例问题”，探究性、创新性、开放性较强，符合高考命题要求，因此例2至例6作为新高考Ⅱ卷第14题的同类素材（题型一致、所属主线相同），在预测高考试题命制时具有一定的参考价值.

参考文献：

[1]  赵轩，任子朝，翟嘉祺. 高考评价体系的数学学科化实践[J]. 数学通报，2020，59（10）：12-17.

[2]  教育部考试中心. 聚焦核心素养，考查关键能力——2021年高考数学全国卷试题评析[J]. 中国考试，2021（07）：70-76.

[3]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4]  任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径[J]. 中国考试，2019（12）：27-32.

[5]  余小芬. 回归教科书  高三复习的正道——以人教版函数与导数为例[J]. 数学通报，2018，57（12）：9-13.

[6]  唐永. 回归教科书：提升学生核心素养的有效途径[J]. 数学通报，2020，59（07）：40-43+48.