基于核心素养的“二项式定理”探究式教学的实践与思考

摘 要：基于核心素养的探究式教学，需要结合学生学习的最近发展区，设计合理的教学方案，把握教材底蕴，把握教学内容的本质.本文以“二项式定理”探究式教学为例，以问题探究的形式，活化数学教学，渗透数学思想方法，提升学生的核心素养.

关键词：核心素养;二项式定理;探究式教学

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）27-0014-03

1 问题的提出

有些学生常常以记结论，套公式的方式来学习数学知识，有的教师也常常在课堂教学中告诉学生大量的解题技巧，学生经过模仿性的训练似乎也掌握了技巧，但在考场上，却常常“找不到解决问题的入手点”.究其原因，笔者以为主要是教师在传授数学知识和学生在学习数学知识的过程中不重视知识的形成过程，没有做到真正的理解数学，理解数学知识的三重境界，知其然，知其所以然，何由以知其所以然.这不仅是数学教师专业化发展的基石，是数学教学质量的根本保证，也是衡量学生是否理解数学的依据.本课例遵循学生的认知规律，由特殊到一般，由感性到理性，重视学生的参与过程，以“问题”为主线来设计教学情境，不断地向学生提供参与数学活动的机会，引导学生从直观上感知二项式定理系数变化的特点，帮助学生在自主探究和合作交流过程中真正理解和体会二项式定理的形成过程，用心打造出一个充满智慧的数学课堂.

2 教学分析

2.1 学情分析

本节课是人教A版《数学》选择性必修第三册，第六章第三节第一课时，针对的是高二学生.从知识储备来看，通过前面的排列组合知识的学习，学生对分类与分步的概念有了本质的认识;从方法积累来看，学生有从特殊到一般的基本活动经验; 学生对二项式定理的困惑主要有两点，一个是公式本身很抽象.另一個是公式来得很突兀，学生不理解为什么课本先用多项式展开，看出每一项的系数，再把这个系数用组合知识进行解释.

2.2 教学目标

（1）利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明;

（2）通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力.2.3 教学重难点

（1）教学重点 二项式定理的形成.

（2）教学难点 二项式定理的形成.

3 探究式教学实践

3.1 探究第一波“投石问路”.

采用特殊到一般的不完全归纳法得到公式，从直观上感知知识的形成.

问题1 请写出下列式子的展开式，并说出展开的方法.

①写出a+b2的展开式？

②写出a+b3的展开式？

③写出a+b4的展开式？

设计意图：引导学生直观感知展开项的各种类型，设计易于学生操作的展开式，由浅入深，环环相扣，帮助学生打通受阻的思维.

问题2  请用观察法找出以上三个展开式的规律，并猜想a+b5的展开式.

追问：观察的角度有哪些？

学生1 观察展开式的项数，次数和系数.

学生2 根据a+b2的展开式得到三项，a+b3的展开式得到四项，a+b4的展开式得到五项，可猜想a+b5展开式为六项.

学生3  根据a+b2的展开式中每个单项式的次数为二次，a+b3的展开式中每个单项式的次数为三次，a+b4的展开式中每个单项式的次数为四次，可猜想a+b5展开式中每个单项式的次数为五次.

学生4 猜想a+b5展开式，我只能说出其中的两项a5和b5，并不能全部回答出来所有的项，因为觉得其它项的系数和字母的次数很麻烦.

设计意图：从已有的知识储备入手，引导学生在未知境界中依靠已有的知识，经验和思维，通过实践活动观察、归纳、猜想，讨论验证来解决问题，使学生明确数学思维的方向，问题的分析和解决，对所学的内容心中有数，提高学习的兴趣和欲望，提升数学逻辑推理能力，发展学生核心素养.

问题3 系数收集后如何整理和分析并且根据分析结果做出推断？

学生5 横向有序排列：1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，没有发现规律.

学生6 纵向有序排列如图1，没有发现规律.

教师：做学问需要想象力，老师给一个图片（金字塔图片），请同学们想一想，还可以怎么整理收集到的系数.

学生7  排列成金字塔形状，可发现1+2=3，1+3=4，3+3=6.

这时及时介绍数学文化，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用如图2的三角形解释二项和的乘方规律.

设计意图：由于学生是根据自己已有的知识经验来建构新的知识，学生由于知识方法储备不足，或者由于思考的问题过于抽象，或者由于运算过于复杂，常常产生思维障碍，教师需要给学生一定探究方向，通过问题导学，引导学生带着问题去观察展开式，引发思考积极参与互动，不断地向学生提供参与数学活动的机会，说出自己的见解，引导学生从直观上感知二项式定理系数变化的特点，提升学生的数学运算、数据分析的核心素养.

3.2  探究第二波“他山之石，可以攻玉”.利用组合原理推导公式.

问题4 能否换一个角度找系数的规律.

（经历刚才的探索，学生的探究欲望很高，但不知从何入手，这时引导学生做实验.）

实验操作1  分组教学，每个小组都有2个盒子，每个盒子中有红球a个，白球b个，每次从2个盒子中各取一个球，小组讨论，完成下列问题.

①摸出的白球恰好0个，有种方法？

②摸出的白球恰好1个，有种方法？

③摸出的白球恰好2个，有种方法？

实验操作2  分组教学，每个小组都有3个盒子，每个盒子中有红球a个，白球b个，每次从3个盒子中各取一个球，小组讨论，完成下列问题.

①摸出的白球恰好0个，有种方法？

②摸出的白球恰好1个，有种方法？

③摸出的白球恰好2个，有种方法？

④摸出的白球恰好3个，有种方法？

问题5 通过两个实验，你发现了什么？

学生8 从实验操作1得到的数据1，2，1恰好是a+b2的展开式的系数，从实验操作2得到的数据1，3，3，1恰好是a+b3的展开式的系数，

学生9 把a+b3中的a当成红球，b当成白球，展开式的系数就是摸出的白球恰好多少个的种数.

学生10 根据摸球原理，a+bn的展开式的某一项就是摸出的白球恰好多少个的情况，例如a+b4摸出的白球恰好2个，则展开式的某一项就是C24a2b2=6a2b2.

设计意图：引导学生从已有的知识归纳猜想出一般性的结论，学生对自己总结归纳的结论会留下深刻的印象，产生持久效应，而且能紧扣课堂教学目标，明确数学的思维方向，提高学习的自主性，提升直观想象素养.

问题6 能否利用上述原理将a+b4和a+b5按字母a的降幂排列展開.

设计意图：将乘法运算转化成摸球的模型，通过前面所学的排列组合的知识，根据多项式相乘的运算法则，探索二项式定理的构造性证明，体会运算法则的作用，感知运算是一种严格的逻辑推理，通过一般性运算可以发现和提出命题，掌握推理的形式和规则，探索和表述论证过程，发展数学运算素养.

问题7 能否利用上述原理将a+bn按字母a的降幂排列展开.

教师追问1：二项式定理中为什么n∈N*，等号右边的展开式共有多少项，什么叫做二项式系数.

教师追问2：二项展开式的第几项的二项式系数是Crn，所有的二项式系数与a，b的取值是否有关关，一定是正数吗？

教师追问3：二项展开式的通项是什么？

设计意图：学生通过从特殊到一般的归纳、猜想，准确把握本节课的内容性质，通过不断的探索发现、体验感悟，突出直观想象素养，培养学生的理性思维能力，形成由感性到理性的升华，感悟数学本质，培养创新精神和实践能力.

3.3 知识运用

练习1 （x+2）6的展开式中x3的系数是（  ）.

A.20  B.40  C.80  D.160

练习2 （2015全国高考试题）x2+x+y5的展开式中，x5y2的系数为.

练习3 x+4x-44的展开式中的常数项为.

4 教学反思

章建跃博士提出，上好一堂课，数学教师必须要理解数学，理解学生，理解教学，理解技术，特别是内容所反映的数学思想方法的理解水平，决定了理解数学的高度，决定了教学所能达到的水平和效果，同时也决定了学生对其所学重点内容应达到的理解程度.学生对数学的概念、公式及定理的掌握大多呈现这样三种情况：告诉我的知识，我会忘记;分析给我听的知识，我会理解;让我参与建构的知识我会留下很深的印象.

美国心理学家布鲁纳指出，教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动思维，思维永远是问题的开始，从已有的知识储备入手，引导学生在未知境界中依靠已有的知识，经验和思维实践活动观察归纳猜想，讨论验证来解决问题，教师在课堂教学过程中，通过精心设计问题，不断为学生搭建思维平台，使学生通过问题的提出，对所学的内容心中有数，不断提高学习的兴趣和欲望，提升数学逻辑推理能力，可大大提高学生学习数学的兴趣和效率，提高学生数学思维广度和深度，提升学生的数学核心素养.

参考文献：

[1]李大勇.中学数学解题论导引[M].合肥：合肥工业大学出版社.

[2] 张厅剑.数学概念教学的误区与对策 [J].中学数学教学参考，2016（12）：13-15.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-06-25

作者简介：陈定火（1975.5-），男，福建省永安人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：本文系2021年福州市教育科学研究课题“基于核心素养的高中数学探究式教学模式在中等生的实践研究”课题编号FZ2021GH051的阶段性成果.