关注教材,以生为本,培养数学意识

俞永毅

[摘  要] 教材是教学的重要载体，学生是教学的对象，研究教材，落实以生为本的理念，发展学生思维是教学的核心目标.通过确定研究对象、研究方法，培养学生的数学意识，感受数学思想.

[关键词] 教材;以生为本;数学意识

新课改的深入，强调学习过程中创设情境、主动探究、合作学习，充分调动学生的学习兴趣，促进了学生学习能力的提升. 然而在强调学习活动的同时，却在一定程度上忽视了对教材的钻研，对教学内容的深入思考，以至于学生不能区分代数式（1-20%）x，x-20%x是单项式还是多项式. 教材是教学的载体，无论课改怎样深入发展，对教材的研究始终应是教师不可忽略的重要工作，在研究教材的基础上，落实以生为本的教育理念，从整体上帮助学生架构起知识的框架，发展学生的思维品质是教学追求的核心目标[1]. 笔者在数学代数知识的教学部分进行了一些思考，下面将和大家分享一些想法！

代数研究对象

研究代数教学首先要弄清楚初中数学代数知识主要研究的对象是什么. 用数学符号进行表示就是类似10a+2b，，2a2，这样的代数式是初中代数学习的基本内容. 用文字语言表述就是通过数、字母以及加、减、乘、除、乘方和开方组成的数学表达式，或者由一个数或字母组成的表达式也是代数研究的对象.

思考：数学表达式是数学知识的基本呈现方式，正是通过各种各样的表达式揭示了数量之间的关系，可以是代数、几何、概率等等. 本文主要研究的是代数式，在代数式中还有一个关键的连接符号，就是“加、减、乘、除、乘方和开方”等等，这类符号称为“运算符号”，通过运算符号，代数式就可以表达各种数量关系. 当然数学表达中还有表达关系功能的关系符号，利用代数式表达数量之间的关系.

初中代数主要表达相等和不等两种数量关系，相对应的教学内容为函数、方程和不等式. 而不等式可以看作是等式省略一些条件进行的表达形式，函数与方程则表达的都是相等关系. 从这个意义上来说，一切的数學问题都可以归结为方程问题进行解决. 因此初中数学代数研究的主要内容就是代数式与方程. 那么具体的来说又包括了哪些内容呢？

研究对象的具体分类

代数式从组成的结构和要素上来分可以分成由数、字母之间相乘组成的单项式;由单项式相加组成的多项式. 从表达的形式上来说有两个含有字母的代数式相除的分式，如，，等;还有表达算术平方根的二次根式，如，，等.

思考：纵观教材，基本上是按照不同的运算方式进行分类的，从含有加、减、乘、除、乘方和开方的整式，到进行除法计算的整式称为分式，还有含有开方运算的根式. 相比于小学的计算，在初中阶段多了开方的运算，因此出现了根式，使数学学习呈现出一种螺旋上升的形式，而到了高中和大学阶段，还将继续学习更加复杂的计算问题.

经过以上的总结思考，我们就不难解答开始提出的数学问题，如怎样区分单项式和多项式：（1-20%）x，x-20%x，从代数式的结构上就可以进行区分，分别属于单项式和多项式.在教学中，很多教师常常认为（1-20%）x=x-20%x，但是两者的形式是不一样的，这里的等号只是表达了一样的数量关系.

代数研究的另一个重要对象方程，方程主要是用来揭示数量关系的，可以通过含有的代数式的不同分为整式方程、分式方程和根式方程. 如（1-20%）x=0揭示的是关于x的一元一次关系，被称为一元一次方程. 方程与之对应的是函数，y=x和y=，表面上看起来表达形式不一样，但是揭示的关系是一样的，因此都可以表示为y=x·sinx的形式. 通过以上的研究，我们就能透过表面现象抓住本质，更加深刻地理解代数式的含义.

综上所述，作为初中代数研究的两大对象代数式和方程，它们之间既有联系又有区别，最大的区别在于代数式是一种数量表达形式，而方程则是一种关系表达形式，在明晰了两者的区别之后，我们继续探究研究代数的方法.

代数研究方法

方程的研究最终通过化归的思想都可以转化为整式方程，而整式方程可以分三类：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，总结起来我们可以称为n元m次方程.

思考：代数中的很多名称就源自于它的含义，如n元m次方程，这个名称中就蕴含了方程的两个特点：第一，这个名称告诉我们有几个未知数的值，就需要几个方程，也就是说需要n个互相独立的数量关系. 第二，方程有几个解，取决于方程的次数，也就是m的值. 这样就告诉我们方程有几个解以及何时有解的问题，因此这样的思想在方程求解过程中就是消元、换元方法的应用[2].

案例1  已知m+n=7，求2m+2n+3的值.

方法一：通过将m+n=7的值进行代入，2m+2n+3=2（m+n）+3=14+3=17.

说明：由于字母与代数式是2倍关系，所以可以通过整体代入的方式进行求解，这种解法就是一种整体思想，而透过表象，整体代入的方法其实就是换元，我们将方程中的两个未知数看成了一个整体，整体代入进行消元，从而得以求解.

方法二：通过原题进行变式可以得到1=，因此2（m+n）+3=（m+n）+3=17.

说明：这是一种常数变易思想，将已知和未知进行等量转换，然后进行代入换元求解.

方法三：由原题可得m=7-n，所以2m+2n+3=2（7-n）+2n+3=17.

说明：将方程的两个未知数换算成一个未知数代入求解，用n表示m，将m代入原式，抵消后即可得结果.

方法四：通过列举特殊值进行求解，设m=1，则n=6，代入原式进行计算为17.

说明：这是从方程的角度，赋予m和n特殊值，进行计算. 这种特殊值的计算方法是一种探索未知数量关系的常用方法，其本质还是一种消元法.

方法五：令m=1+t，则n=6-t，通过代入可以得到，原式=2（1+t）+2（6-t）+3=17.

说明：这种方法与方法四类似，其本质是将两元消为一元进行计算，将m和n换成了一元t，从而求得代数式的值.

方法六：令m=3. 5+t，n=3. 5-t，通过代入可以得到2（3. 5+t）+2（3. 5-t）+3=17.

说明：这种换元方法同上一种相比更加侧重于对称性，除了在代数的计算中可以应用，常常还被用于因式分解的变换当中.

方法七：设2m+2n+3=T，则m+n=7，

2m+2n+3=T 通过将第一个代数式扩大2倍，然后两式相减，进行计算求解，可以得到T=17.

说明：这种解法也是一种整体思维，将整个代数式看作一个整体进行换元，通过转换成为m和T的二元一次方程，然后进行消元.

以上的解法，我们通过不同的角度进行了换元和消元，从而求得代数式的值. 这样的求解过程我们可以看到都是在代数思想的指导下进行的代数变形求解，不同的思考角度会带来不同的解法.

构建整体框架

代数的学习让我们学会以数学的眼光去看待和审视生活中的数学问题，面对生活中的问题，我们往往可以先提取出研究的基本对象，然后针对研究对象，从代数、几何、概率等多角度进行进一步的求解. 在求解的过程中，从变化中找出不变的数量关系，抓住数学的本质，这样的研究方法也可以用于其他很多领域[3]. 我们把代数的研究方法总结如表1所示.

这个知识框架给我们展示了研究代数的方法，这样的方法我们也可以应用在其他领域，其关键是先找到不变的数量或者不变的数量关系，这种寻找方式可以是多角度的联想也可以是静态的观察，再通过所学的数学知识进行多角度的求解. 通过知识框架的建构，使学生理解了代数的内涵以及研究代数的方法和如何解决代数问题. 多角度解决问题的过程还可以激活学生思维，促进思维的灵活性，发展思维的创新性，提升学习能力.

综上所述，代数的研究告诉我们一种数学的研究方法，从分类研究到在具体问题中提取研究对象，在变化中寻找不变的规律. 只有教师能够将教材知识体系研究透彻，才能给予学生清晰的学习思路. 代数的学习是一种数学意识的培养和数学思想的渗透，通过研究体察到从具体问题中抽离出数学模型的方法，进而进行求解和计算，从多个角度进行研究，抓住数学的本质.

参考文献：

[1]孙学东. 数学需要教“解题模型”吗[J]. 中学数学教学参考，2018（29）：6-9.

[2]沈良. “大概念，大任务”视角下的数学单元教学设计[J]. 中学教研（数学）， 2021（07）：9-13.

[3]刘达. 例谈对初中数学主题教研活动的思考与实践[J]. 上海课程教學研究，2016（11）：19-28.