探寻问题本质 落实核心素养

樊洁莹 陆吉健

[摘  要] 文章以《义务教育数学课程标准（2011年版）》为主要研究命题背景，以2021年浙江省十市中考数学试卷中的函数考试题型为研究载体，利用8道不同地区中考函数试题进行说明，在系统梳理、分类、评析函数考试题型的同时，阐述对通过函数培养基础数学综合素养的基本认识，并对全面逐步提升初中学生的基础数学核心素养水平做出了具有现实意义的理论探索.

[关键词] 中考;函数;数学素养

引言

数学对于人的发展是至关重要的，它时时刻刻都在我们身边，不论是在日常生活中，还是研究中.数学作为一门基础学科，因为它的重要性，使得它在整个中考教学体系中的主导作用彰显无遗.函数蕴含着变化，这不仅让初中学生在学习函数后对于数学知识有一个新的认知，也使得函数出题方式多种多样，出题难度可难可易，可以考查函数的图像与性质，可以将函数与其他数学知识结合起来，也可以将函数与日常生活实际应用结合起来.如何科学而富有新意地对中考函数进行命题，发挥其重要的指引作用，这一点十分值得研究.值得一提的是，初中阶段函数知识的学习有利于提高中学生的数学素养.

2021年浙江省十市中考数学试

卷函数题型分类评析

函数的考查题型可基本分为六大类，分别是“函数基本型”“函数代数型”“函数几何型”“函数应用型”“函数动点型”以及“函数最值型”.

笔者将2021年浙江省十市中考数学试卷中涉及函数知识试题进行相关分类，结果如表 1所示：

通过上表可以看出，2021年浙江省十市中考数学试卷对每一种题型的考查都有所涉及.其中函数基本型、函数代数型和函数最值型考查频率较高，说明命题人注重基本概念的考查，要求学生思维多样化并希望学生能够把所学知识应用到实际中去，这是非常好的现象.

1. 函数基本型

例1  （2021金华中考）已知点A（x，y），B（x，y）在反比例函数y= -的图像上. 若x<0

A. y<0

C. y

例2  （2021绍兴中考）Ⅰ号无人机从海拔10 m处出发，以10 m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30 m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5 min两架无人机位于同一海拔高度b（m）. 无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图1所示. 两架无人机都上升了15 min.

（1）求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式;

（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28 m.

例3  （2021宁波中考）如图2所示，二次函数y=（x-1）（x-a）（a为常数）的图像的对称轴为直线x=2.

（1）求a的值;

（2）向下平移该二次函数的图像，使其经过原点，求平移后图像所对应的二次函数的表达式.

评析  以上例题分别考查的是反比例函数、一次函数、二次函数三种基本初等函数的图像及其单调性，此类型试题是各地中考的常见题型，要求学生理解并掌握初等函数的解析式和图像性质，并且能够将其熟练运用于具体题目情境中;要求学生能够充分理解两者结合的特定情境下的解题技巧.而函数作为数学的代数知识和几何知识的综合，更加要求学生熟练掌握函数的图像法和解析法以及两者结合使用的综合法[1].

2. 函数代数型

例4  （2021嘉兴、舟山中考）已知点P（a，b）在直线y=-3x-4上，且2a-5b≤0，则下列不等式一定成立的是（      ）

A. ≤   B. ≥

C. ≥   D. ≤

评析  本题将一次函数与不等式结合了起来，其意思与“若-3a-4=b，且2a-5b≤0，则等式一定成立的是”相同.在一次函数的背景下，要求学生将图像上的點转化为等式中的点，不仅有效考查学生对一次函数性质的理解，而且将函数与不等式相结合，使得题目变得更为“丰满”.此外，还可以用数形结合的思想求解该类问题，更加直观.值得一提的是，本题为选择题，可以利用分别代入验证的方法求解此问题.在实际教学中，教师应该注重此类问题的多种求解方法，多方面深入剖析求解过程.

3. 函数几何型

例5  （2021年杭州中考）如图3所示，在平面直角坐标系中，函数y=（k是常数，k>0，x>0）与函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像交于点A，点A关于y轴的对称点为点B.

（1）若点B的坐标为-1，2，

①求k，k的值;

②当y

（2）若点B在函数y=（k是常数，k≠0）的图像上，求k+k的值.

评析  本题重点考查了反比例函数、一次函数、点的对称性质，以坐标轴和反比例函数曲线为基础背景，要求学生能根据已知条件即点的对称性质求出各点坐标，从而求出函数表达式，再根据图像信息，解答取值范围等问题.根据此题得到启示，教师在解题教学中可采用引导探究的方式，引导学生透彻理解问题[2]，同时应当注重培养学生的数学作图分析能力，引导学生自己动手参与实践.

4. 函数应用型

例6  （2021年台州中考）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便. 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，R与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R=km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），如图4所示;在图5所示的电路中，电源电压恒为8 V，定值电阻R的阻值为30 Ω，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U，该读数可以换算为人的质量m，

温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I=;

②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压.

（1）求k，b的值;

（2）求R关于U的函数解析式;

（3）用含U的代数式表示m;

（4）若电压表量程为0～6 V，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量.

评析  题目以现实生活中电子体重秤为背景，是借助现实生活中的事件完善题目，主要考查的是学生对一次函数图像的理解与实际应用，与前几年试题相比，如今题目虽然花哨，但其中所考查知识点仍然不变，然而还要求学生在正确理解题目的基础上，将问题中所给文字语言和图像语言转换成数学符号语言，只有正确转化之后，才能求出一次函数解析式，进而才能借助函数这个桥梁完成一系列问题，可谓一环扣一环，也说明数学人要具备胆大心细的特质.在日常教学中，教师应当注意强调数学符号语言的重要性和数学“从生活中来，到生活中去的”的实际意义，注重培养学生的数学抽象素养和数学建模核心素养，注意引导学生将非数学化语言转换成数学语言文字，学会用简单字母表示问题中较为冗长的语言文字.在教学实施过程中，像“用字母表示数”这一课要特别注意，其内容虽然基础，却是一块不错的垫脚石，为今后数学学习发展做好铺垫.

5. 函数动点型

例7  （2021年湖州中考）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x>0）图像上的一个动点，连接AO，AO的延长线交反比例函数y=（k>0，x<0）的图像于点B，过点A作AE⊥y轴于点E.

（2）如图6，过点E作EP∥AB，交反比例函数y=（k>0，x<0）的图像于点P，连接OP. 试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由.

评析  本题是反比例函数与点的轨迹相结合的“函数动点型”问题，着重考查学生的逻辑分析推理能力，虽然本题考查难度远高于课标之上，但对提高学生的空间能力、逻辑思维能力有着较大的促进作用.本题所给反比例函数解析式中存在两个未知数，因此反比例函数图像也会随着未知数的变化而相应改变，另外也可能出现多种情况，由此抓住题中的关键信息是解题的关键.本类型题目，如果单靠画图解答，会将问题复杂化，因此在实际教学中，教师应当注意引导学生用各类数学思想處理问题，比如常见的数形结合思想、整体思想以及化归思想等.

6. 函数最值型

例8  （2021年衢州中考）（1）一座抛物线形拱桥的侧面示意图如图8所示，水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系.

（2）如图9所示，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式;

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.

评析  本题是“函数最值型”考题，考查的知识点是二次函数的典型最值性质，着重考查学生的逻辑思维分析和逻辑思维推理能力.本题所给启发：教师在实际教学过程中，应该注重培养学生的数学素养以及数学逻辑能力，并且引导学生充分利用“选择题”此类特殊题型的特点对试题进行多方位剖析，帮助学生建立“特殊到一般”的归纳思想.

从中考函数试题中看数学核心素养

函数基本型试题主要体现的是数学运算能力，这是初中阶段的学生最应具备的能力.事实上，每道数学题都在考查学生的数学运算能力，如果在这个方面丢分，实在可惜.

而函数动点型试题主要体现的是逻辑推理能力，在难度远高于课标要求的情况下，要求学生有较为严谨的逻辑分析和逻辑推理思维，根据不同情况下的动点条件一一作答.

拿上文中例6来讲，该题将函数应用从传统的代数领域扩展到平面几何领域，并且和实际事例相结合，拓展了初中阶段函数应用的新思路，丰富了对学生数学建模素养的考查方式，也丰富了实际教学中如何形成、培养、发展学生的数学建模核心素养的途径[3].另一方面，函数解析式和函数图像密切相关，这就又涉及了直观想象素养.中学阶段是对学生直观想象素养培养较为关键的阶段，因为处于萌芽时期的学习奠定了今后的学习状态;中学阶段，刚刚较为深入地接触到几何知识，恰好高中立体几何的学习正是需要初中萌芽时期几何的铺垫，因此直观想象素养的合的函数试题显得更加新意满满，在为解决问题的方法方面提供了更多可能性，也为考查直观素养提供了更多可能性.

除了上述已提及核心素养，数据分析和数学抽象核心素养虽然未在中考函数试题中有所体现，但关注面向信息化未来的数据分析素养的培养，并坚守数学基础的数学抽象素养的培养也显得尤为重要[4].

实际教学中如何培养数学核心素养

数学核心素养的培养要通过学科教学和综合实践活动课程来具体实施，在核心素养下，建立初中数学高效课堂是当今教学发展之必经之路.初中数学教师要实现通过有效课堂的构建来助力学生核心素养的发展，就应将学生放在教学的正中央，通过以满足学生的核心素养发展需求为目标.

课标中提到“综合与实践”式教学方式，其重在综合也重在实践，主张教师在日常教学活动中应将主动权交给学生，引导学生积极主动参与课堂，主动分享所思所感.这也呼应了教师观中应发挥教师主体地位和发挥学生主导作用相结合的理念.在正式实施该教学方式时，教师应时刻谨记，让学生参与实际活动应该积累活动经验、展现思考过程、交流收获体会、激发创造潜能[5].

除了上述所提的教学方式应当普及，纵观当今初中数学课堂，教师应该在教学方式上有所突破，努力为培养学生数学核心素养做出努力.在构建高效数学课堂的情境下，教师的教学设计也应当朝着高效设计看齐，所给案例应当从实际生活中所取，从而增加课堂趣味性，另外中考试题也越来越“接地气”，如此所做，也可尽早帮助学生适应中考之变;其次课堂中要适当性地增加互动次数，无论是师生之间还是生生之间，相较传统被动接受式教学，在交流中学习更有助于思维的横、纵向发展，也更有利于发展学生的数学核心素养;最后，在问题中拓展思维是关键，因此在如此有限的45分钟课堂内，教师更应严格把控问题的精准性及有效性.

参考文献：

[1]杨颖. 探寻问题本质，变式学习探究——以一道函数综合题为例[J]. 中学数学，2018（12）：95-97.

[2]黄刘洋. 破除“函数”伪装，直切“几何”本质——以一道中考函数与几何压轴题为例[J]. 数学教学通讯，2021（02）：78-79+82.

[3]刘允达. 拓展函数应用的新思路 提升数学素养的好途径——例谈一类中考选择题[J]. 中学数学教学，2021（01）：69-72.

[4]高琼，陈薏仁，陆吉健.数学核心素养的中考测评分析及思考——以近五年杭州市中考为例[J]. 中学数学教学参考，2021（14）：54-57.

[5]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.