经历知识形成过程 增强学生空间观念

石艳 赵文超

关键词：小学数学;整体性;迁移;思维能力;空间观念

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2022）25-0060-05

教材分析：

“认识圆柱和圆锥”是小学阶段“图形与几何”最后一部分内容，为学生今后立体几何的学习打下坚实的基础。学生在这之前有了认识长方体和正方体特征的学习经验，新学的内容将进一步扩大认识形体的范围，丰富对常见几何体的认识，积累立体图形的学习经验，发展学生数学思维与空间观念。

学生先认识圆柱，再认识圆锥，从整体上体会它们的特征，了解围成圆柱的各个面，认识圆柱的高;认识圆锥时就直接利用学习圆柱的知识经验，放手让学生研究各部分内容。

学情分析：

学生在第一学段就已经积累了一些探索立体图形的经验和研究的方法，教材从识别圆柱形的物体开始，图片中有些物体是圆柱形，也有些物体不是圆柱形。在圆柱形的物体中，有高矮、厚薄，这都为认识圆柱提供了丰富的具象。学生从长方体、正方体到圆柱、圆锥的认识，从表面都是平面到含有曲面，是学生认识过程中的一次飞跃，也是学生观察和认识客观世界的重要突破。

教学设想：

学生此前对圆柱的直观认识和在日常生活中对这两种几何体的接触，为学生顺利开展学习活动奠定了基础。教学时，考虑到内容的整体性，联系生活实际，借助实物直观，展开探索活动，结构化呈现知识。利用学生学习中已经积累的图形与几何学习经验，进行知识的迁移，放手让学生进行探索，经历并发现数学知识的形成过程，积累数学活动经验，发展数学思维能力。教学上将传统教具、学具和现代多媒体技术有機地结合起来，让学生在“找”中学，在“比”中学，在“思”中学，培养学生动手操作能力、直观思维和抽象思维能力，使数学课堂教学“动”起来、“活”起来。

1.教学目标：

①在分类中认识圆柱与圆锥，在观察、操作、交流等活动中感知并发现圆柱和圆锥的特征，知道圆柱、圆锥的底面、侧面和高。

②在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验、增强空间观念与空间想象能力，发展数学思考。

③体验立体图形与生活中实物的联系，感受立体图形的学习价值，提高学习数学的兴趣。

2.教学重点：认识圆柱和圆锥的特征。

3.教学难点：体会面与体的转换及之间的关系。

教学实录：

一、创设情境，导入新课

师：孩子们！这节课是什么课？

生：数学课

师：在以前的数学课上你们都学了些什么呢？

生边回忆边答。

师：对！数学课不仅学数，还学形。请看！这是一个点（幻灯出示），像这样若干个点就形成了一条线，线的平移可以形成面，（一个长方形），如果让这个面平移，你会想到什么？

生（思考）：长方体。

师：它就形成了一个长方体（电脑显示面形成体的动画过程，然后出示正方形），瞧！如果让这个图形平移，你还可能想到什么体呢？

生：正方体！

[评析：通过回顾点、线、面的内在联系，使学生将已学习的零散的几何图形知识在头脑中串成线，联成片，结成网，加深了各个图形之间的内在联系，沟通了面与体之间的联系和区别，加强了知识的纵向联系，也为后续学习作了孕伏性知识，使之形成一个较完整的知识体系，便于学生进一步理解每一个概念的本质。]

师：我们从点研究到线，再研究到面，最后研究到体，这节课我们还将继续一起来研究体。（出示图）如果让你分类，你会怎么分？

生：1、2、3、5、6为一类，4、7、8为另一类。

师：你们真聪明！很快将这些图形分成了两类，前一类物体的形状简称为圆柱，另一类简称为圆锥。

师：生活中见过圆柱与圆锥吗？

生：水管的形状是圆柱，圣诞帽的形状是圆锥……

师：这节课我们就从数学的角度进一步研究它们。

板书：认识圆柱和圆锥。

[评析：顺应学生的知识起点，精心选择数学学习活动的素材，通过分类活动认识圆柱、圆锥，并联系生活实际，借助实物直观，为两种形体的认识提供了丰富的具体对象。]

二、联系实际，探究新知

（一）研究圆柱的特征

1.圆柱的面

师：孩子们！回想一下过去学习长方体和正方体经验，先认识了它们的哪些方面？用了哪些方法呢？

生：认识了点、面、棱……

生：用看一看、摸一摸、量一量、比一比等方法。

师：那今天咱们就用这些经验和方法去研究圆柱和圆锥。

学生分小组进行自主学习。

师：孩子们！有发现吗？谁能分享一下你们组的发现？

生上前边说边演示。生：发现两个面相同，而且都是圆形。

师：两个一样的圆形？能用什么方法说明是相同的圆？

生1：我用量一量的方法，这两个圆形的直径是一样的，所以它们是两个同样大小的圆。

生2：我用描一描的方法，先把圆柱下面的这个圆形描在纸上，再把圆柱倒过来，用上面的那个圆形靠一靠纸上的圆形，发现可以重合，所以它们是同样大小的圆。

……

师：真棒！其实我们刚才说到的上下这两个圆，叫做圆柱的底面。

板书：2个底面（一样的圆）

师：还有发现吗？

生：圆柱有一个弯曲的面连接了上下两个底。

师：把你的圆柱拿出来，指给大家看一看。

师：听明白了吗？你的圆柱有这个面吗？指一指，摸一摸。这个面跟我们以前认识的面一样吗？

生：不一样，这个是弯曲的。

师：对！这个面是曲面，它在圆柱中叫侧面。圆柱有几个侧面？

生：1个

师相机板书：1个侧面（曲面）

师：根据这些特征，这个腰鼓（电脑出示）是圆柱吗？

生：不是

师：它也符合这些特征啊？为什么不是呢？

生：它两头细，中间粗

教师相机板书：上下一样粗。

师：现在我们对圆柱的认识又更深入了一些，（指着屏幕上开始分类的五个圆柱）如果把它们的主要特征用线画出来会是什么样子呢？先在脑海中想一想！

（通过幻灯在屏幕上先闪动，再抽象出来）为了研究的方便，老师把其中一个圆柱请到了黑板上。

[评析：学生通过看、比、摸、量等动手操作实验以及课件演示，亲身经历知识的形成过程，一步步从实物抽象出几何形体——圆柱，进一步整体感知圆柱在头脑中的表象，培养学生的空间观念，让学生对圆柱的特征有了深入比较，从而使学生对圆柱有更深的认识。]

2.圆柱的高

师：圆柱除了这些特征，还有别的吗？

学生思考

师：这有个圆柱，和你的比一比，你有什么发现？

生：有粗有细、有高有矮

师：圆柱的粗细与什么有关呢？

生：圆柱的粗细和底面圆的直径有关，直径越大，圆柱越粗，直径越小，圆柱越细。

师：圆柱有高有矮，高矮也是我们生活中的说法，数学中叫做圆柱的高。圆柱的高在哪呢？你认为是指哪一段之间的距离呢？（指名学生指一指。）

幻灯片出示：两底之间的距离叫做圆柱的高。

师：你能按照这样的说法，去找一找，量一量圆柱的高吗？

学生上前说量法。

师：听了这位同学的量法过程，你有什么想说？

生：圆柱有无数条高，长度都相等。

师：圆柱有无数条高，为了方便，数学上一般取两个底面圆心的连线，画出它的高。

[评析：教学采用分组观察、操作、讨论，动手做实验等方法，突出了学生的主体作用，引导学生通过活动，结合圆柱的直观图，在理解概念的基础上对圆柱的高有了较完整的认识，调动学习积极性。]

（二）研究圆锥的特征

师：刚刚我们一起研究了圆柱的特征，用了看、摸、量、比等方法，那你还能像这样，在小组内研究圆锥吗？

学生小组内进行合作学习。

师：有发现吗？谁来代表你们组分享一下？

学生述说，教师相机板书：

一个底面

一个侧面

一个顶点

师：如果把它们画下来会是什么样子呢？先在脑中想一想，再用手比划比划。

利用投影，出示圆锥图。为了研究的方便，教师把一个圆锥图贴到黑板上。

师：除了上面的特征，圆锥还有别的特征吗？

生：顶点到底面圆心的距离，是圆锥的高，圆锥只有一条高。

[评析：圆锥的认识和圆柱的认识在研究内容上有其相似之处，在认识圆柱后教师及时地进行回顾、交流，学生对学习的方法进行了有效地迁移，学习的积极性得到有效地激发，兴趣盎然地投入到观察、研究之中。]

三、深化理解，巩固练习

判断下面物体哪些是圆柱，哪些是圆锥？（指名判断，并说理由。）

（一）由平面旋转形成立体

师：同学们，还记得课的开始吗？（课件动画回顾）点形成线，线形成面，面形成体，其实就这样一个面（指着长方形），它平移能形成长方体，如果旋转呢？先闭上眼睛想一想。

生：圆柱。

借助多媒体出示长方形经过旋转后形成圆柱的过程。

师：这时你还能找到圆柱的底面和侧面吗？这个长方形与它所形成的圆柱有什么关系呢？

生：长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱底面圆的半径。

师：如果让这个直角三角形沿着这条直角边旋转，（幻灯出示：直角三角形），你又会想到哪个立体图形呢？想一想！

生：圆锥。

师：那你能找出它的底面、侧面和顶点吗？还有什么发现？

生：直角三角形的一条直角边是圆锥底面圆的半径，另一条直角边是圆锥的高。

（二）体面转换

出示连线题：从前面、上面和右面观察圆柱，看到的是什么形状？从这三个面观察圆锥呢？

师：还敢接受挑战吗？先看一看，再连一连。

（三）开放题

师：你们能从体看到面，下图是两个立体图形从前面看到的样子，想一想：可能是哪两个立体图形？

学生思考

生1：可能是圆柱和圆锥

生2：可能是长方体和圆柱

生3：可能是圆柱和圆柱

生4：可能是长方体和球

……

师：随着知识的延伸，它们还可能是什么呢？想象永无止境……

[评析：练习阶段，设计了针对性练习和发展性练习，在形式、难度、灵活性上都有体现。通过多个不同层次的练习，经历平面与立体互变过程，强化了对圆柱与圆锥的特征的认识，提高学生思维的深刻性和灵活性。]

总评析：

这节课中教师设计适合学生的数学实验活动，以学生的发展为教学的主线，让学生经历认识圆柱与圆锥特征探索的全过程，发展思维，培养核心素养。

1.整体架构了图形与几何内容的知识网。结合具体情境和操作活动，引导学生经历“点动成线”“线动成面”“面动成体”的过程，体会“点、线、面、体”之间的联系，由平面图形长、正方形通过平移与旋转形成几何体，这是几何体形成过程的学习，同时也是图形与几何知识网的认识过程。教学中在结合具体情境感受的基础上，让学生能动态描述图形的变化，并在变化中抓住本质，如长方形旋转后形成的圆柱，在圆柱的哪里能找得到原长方形的长与宽，直角三角形旋转成圆锥的相关联系等等，引导学生结合空间想象体会立体图形的形成过程，发展学生的数学素养。

2.经历了数学化的学习过程。教学从生活到数学，从实物到抽象，先由生活事例入手，把以前学习长、正方体特征的方法迁移到研究圆柱、圆锥，先扶后放，让学生很好地完成了从实物图到立体抽象图的学习过程，在这个过程中学生的表象在脑中由模糊变清晰。课中引导学生将零散的知识经过梳理找到其间内在的联系，不仅可以帮助学生将学习过的知识连成线、形成网，便于学生掌握，而且可以引導学生对数学知识有一个整体性的认识。

3.在面与体相互转化中增强空间观念。练习中重视学生发散思维能力，比较思维能力的发展，先由立体图形从不同方向看到面，再由面想到对应的可能的立体图形，把实验操作与思考、想象相结合，发展学生的空间观念。练习中，出示一道长方形与圆的组合开放题，学生在认识图形、探索图形特征的知识学习中实现了面与体的相互转换，发展了思维想象力，增强了空间观念。