关注高频易错点打造品质新课堂

摘要：高中三角函数的教学中，通过高频易错点的指导，不仅可以使学生充分掌握三角函数的相关图象与性质，调动学生的思考兴趣，而且还可以提高学生辨别是非的能力，以提高学生自身的思想境界，确定学生的学习目标与动力，从而经过理性方式实现相关数学问题的解决.

关键词：高中数学；三角函数；图象与性质；高频易错点

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0077-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：章莹莹（1984.11-），女，江苏省连云港人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

三角函数图象与性质是近年高考中的高频考点，高中学生在处理有关三角函数问题时，常因对三角函数的图象与性质的理解不够到位和缺乏严谨而又深入的思考导致错误.笔者着重从以下几个方面，就三角函数的图象与性质在具体运用中出现的高频易错点进行详细的归纳整理，旨在帮助同学们进一步提高解题思维能力，避免一些常见差错的产生.

1 忽视三角函数图象的周期性

利用三角函数的图象求解三角不等式时，需要先在一个周期内加以分析，再结合正弦函数、余弦函数的周期2kπ（k∈Z，k≠0）或者正切函数的周期kπ（k∈Z，k≠0），即可获得原不等式成立的充要条件.

例1函数y=2cos2x+1的定义域是.

错解由題意可得2cos2x+1≥0.

所以cos2x≥-12.

所以结合图1可知-2π3≤2x≤2π3.

解得-π3≤x≤π3.

故该函数的定义域为x-π3≤x≤π3.

辨析以上错解的原因是利用余弦函数的图象解不等式时，只是在一个周期内进行思考，显然忽视了余弦函数图象本身具有的周期性，导致因考虑不全而出现错误.

正解由题意可得2cos2x+1≥0.

所以cos2x≥-12.

解得2kπ-2π3≤2x≤2kπ+2π3k∈Z.

即kπ-π3≤x≤kπ+π3k∈Z.

故该函数的定义域为

xkπ-π3≤x≤kπ+π3，k∈Z.

评注一般地，求解形如sinx≥m型不等式，需要先在［-π2，3π2］内分析，再结合周期2kπ可获得该不等式的解集；求解形如cosx≥m型不等式，需要先在［-π，π］内分析，再结合周期2kπ可获得该不等式的解集；求解形如sinx≤m型不等式，需要先在［π2，5π2］内分析，再结合周期2kπ可获得该不等式的解集；求解形如cosx≤m型不等式，需要先在［0，2π］内分析，再结合周期2kπ可获得该不等式的解集.

2 忽视区间端点值的取舍问题

求解三角函数中的参数范围问题时，往往会利用转化思想，若先转化为区间之间的包含关系，再据此构建不等式组时，则需要准确分析区间端点值的取舍问题，否则，极易因考虑不全而出现差错.

例2已知函数fx=2sinωxω>0在-π3，π4单调递增，求ω的取值范围.

错解因为x∈-π3，π4，

所以ωx∈-ωπ3，ωπ4.

所以由函数fx在-π3，π4单调递增可得

-ωπ3，ωπ4-π2，π2.

从而可得-ωπ3>-π2，ωπ4<π2.

解得ω<32.

故ω的取值范围是（-，-32）.

辨析以上错解的原因是构建不等式组时，对区间端点值的取舍理解不到位，会导致缩小参数的取值范围；同时还忽视了对题设已知条件ω>0的及时运用，会导致扩大参数的取值范围.

正解函数fx=2sinωx的图象，可根据正弦函数y=sinx的图象经过伸缩变换得到.

因为x∈-π3，π4，

所以ωx∈-ωπ3，ωπ4.

所以由函数fx在-π3，π4单调递增可得

-ωπ3，ωπ4-π2，π2.

从而可得-ωπ3≥-π2，ωπ4≤π2.

解得ω≤32.

又ω>0，所以0<ω≤32.

故所求ω的取值范围是（0，32］.

评注求解本题时，需要将“ωx”看作一个整体，同时注意到由ω>0可知-ωπ3<0<ωπ4，从而极易想到可灵活运用正弦函数y=sinx的单调递增区间［-π2，π2］，准确构建不等式组加以求解.

3 忽视正弦函数、余弦函数的有界性

处理与正弦函数、余弦函数有关的取值范围问题时，必须考虑正弦函数、余弦函数的有界性（即sinx≤1，cosx≤1）在解题中的充分运用；否则，极易因求得的取值范围过大而出现差错.

例3已知sinx+siny=23，则23+siny-cos2x的取值范围是（）.

A．［112，73］B．［-1，73］C．［112，1］D．［112，79］

错解因为siny=23-sinx，

所以23+siny-cos2x=43-sinx-cos2x

=（sinx-12）2+112.

又注意到-1≤sinx≤1，

所以代数式的取值范围是［112，73］.

故选A.

剖析上述错解中在消去siny时，因忽视siny的有界性对sinx的取值范围的影响，而导致错误.

正解因为siny=23-sinx，

所以考虑正弦函数的有界性可得

-1≤sinx≤1，-1≤23-sinx≤1.

解得-13≤sinx≤1.

又23+siny-cos2x=43-sinx-cos2x=（sinx-12）2+112，

所以代数式的取值范围是［112，79］.

故选D.

评注本题挖掘隐含条件时，不但要利用sinx的有界性，而且还要利用siny的有界性.显然，只有双管齐下，才能准确获解.

4 忽视正弦函数、余弦函数的单调性

利用已知给定的某角的正弦函数值（或余弦函数值）以及对应的正弦函数（或余弦函数）的单调性，可帮助我们进一步缩小有关“角”的取值范围，从而可帮助我们准确求解有关取值问题，避免差错.

例4已知α，β都是锐角，且满足sinα=55，sinβ=1010，那么α+β=（ ）.

A.π3B.π4C.2π3D.π4或3π4

错解由题设可知cosα=255，cosβ=31010.

所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=55×31010+255×1010=22.

又易知0<α+β<π，

从而α+β=π4或3π4.

故选D.

剖析上述错解的根源是没有借助正、余弦函数的单调性，进一步探究角α，β的取值范围，从而因取值范围过大，导致产生了令人难以发现的较为隐蔽的错误！

正解1因为sinα<22，sinβ<22，

所以易知0<α，β<π4.

所以0<α+β<π2.

又因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=55×31010+255×1010=22，

从而由正弦函数y=sinx在0，π2上单调递增，得α+β=π4.

故选B.

正解2因为α，β都是锐角，

所以0<α+β<π，cosα=255，cosβ=31010.

又因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=255×31010-55×1010=22，

从而根据余弦函数y=cosx在0，π上单调递减，可得α+β=π4.

故选B.

评注本题如果考虑利用正弦值分析（解法1），则极易出错；如果考虑利用余弦值分析（解法2），

则不易出错.请想一想为什么？

总之，三角函数的图象与性质有着广泛的应用，需要我们结合对典型错解的剖析，掌握解题规律，进一步提高解题的速度和准确性.同时，作为一线教师，我们必须结合自己的教学现状，经常深入研究学生学习中的易错点以及遇到的思维障碍，才能全方位地了解学生的实际情况，对自己的教学过程不断反思，进而改变教学的方式方法，有效提高教学效率，打造品质课堂，落实核心素养.

參考文献：

［1］江春，沈宏.基于高中数学核心素养的课堂教学——以三角函数的图象和性质教学设计为例[J].中学数学，2018（13）：3-4.

[2] 杜红全.三角函数的图象和性质高考考点题型归类解析[J].数理化解题研究，2018（22）：11-13.