一道双变元代数式最值的探究

摘要：本文结合一道双变元代数式最值的剖析，挖掘条件，合理变形，有效融合，奇思妙想，切入多变，破解策略多样，方法精彩纷呈，有效指导数学教学．

关键词：双变元代数式换元；基本不等式；配凑；权方和不等式

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0089-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：王健（1983.10-），男，安徽省全椒人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

涉及双变元（或多变元）代数式的最值或取值范围问题是高考、自主招生以及各类数学竞赛中的热点之一．此类问题的破解方法与切入点多种多样，往往能合理交汇数学知识，融合数学思想，拓展思维方法，提升数学能力，是培养考生的数学核心素养的一大主阵地，备受各方关注．

1 问题呈现

问题（2020届浙江省镇海中学高三上学期期中考试第10题）设a，b为正实数，且a+2b+1a+2b=132，则1a+2b的最大值与最小值之和为（）.

A．2B．92C．132D．9

2 问题剖析

此题以双变元的代数式的值为条件，进而求解其中涉及一次分式的关系式的最大值与最小值，参数不具有对称性或轮换性，没有特殊的规律．

结合题目条件与代数关系式的特征，可以通过换元思维（单变量换元或双变量换元），利用解二次不等式来达到目的；可以通过配凑思维，利用基本不等式来达到目的；可以借助不等式的性质以及不等式的求解，借助不等式性质达到目的；还可以通过重要不等式，利用权方和不等式来达到目的等．

3 问题解决

解法1（换元法1）结合基本不等式，可得

（a+2b）（1a+2b）=5+2ba+2ab

≥5+22ba×2ab=9，

当且仅当2ba=2ab，即a=b时等号成立.

设1a+2b=t，根据a+2b+1a+2b=132可得

a+2b=132-t.

则有（132-t）t≥9.

解得2≤t≤92，

当且仅当a=b=32时，t取得最小值为2；

当且仅当a=b=23时，t取得最大值为92.

所以1a+2b的最大值与最小值之和为92+2=132，故选C．

解法2（换元法2）设m=a+2b，n=1a+2b，结合题目条件可得m+n=132.

则有m=132-n.

由柯西不等式，可得

mn=（a+2b）（1a+2b）

≥（a×1a+2b×2b）2=9.

所以（132-n）n≥9.即

2n2-13n+18≤0.

所以以上不等式的解的端点就是n的一个最大值和一个最小值，也就是其对应的方程的两个根的和，结合韦达定理，其对应的方程的根的和为132.

所以1a+2b的最大值与最小值之和为132，故选C．

解后反思根据题目条件中代数式的结构特征，通过巧妙换元处理，进行整体化思维，利用条件加以代换，转化为含有一个参数的函数、方程或不等式问题，从而更加有效地利用函数性质、方程的解或不等式的应用等来解决代数式的最值问题．

解法3（配凑法）结合基本不等式，可得

a+2b+1a+2b+54（1a+2b）=a+94a+2b+92b

≥2a×94a+22b×92b

=3+6=9，

当且仅当a=94a，2b=92b，即a=b=32时等号成立，

此时132+54（1a+2b）≥9，

解得1a+2b≥2.

又a+2b+1a+2b-59（1a+2b）=a+49a+2b+89b

≥2a×49a+22b×89b

=43+83=4，

当且仅当a=49a，2b=89b，即a=b=23时等号成立，此时132-59（1a+2b）≥4，解得1a+2b≤92.

所以1a+2b的最大值与最小值之和为92+2=132，故选C．

解后反思根据题目条件中代数式的结构特征，进行合理的配凑处理，使得对应的代数关系式更加吻合重要不等式的特征，为进一步确定代数式的最值提供条件．配凑法处理问题时，技巧性强，具有一定的“设计”性与目的性，对数学运算、逻辑推理以及数学思想方法的要求非常高．

解法4（不等式求解法）由于a，b為正实数，且a+2b+1a+2b=132，则有

213[a+2b+（1a+2b）]=1.

利用基本不等式，可得

1a+2b=213（1a+2b）[a+2b+（1a+2b）]

=213[1+2ba+2ab+4+（1a+2b）2]

≥213[5+22ba×2ab+（1a+2b）2]

=213[9+（1a+2b）2]，

当且仅当2ba=2ab，即a=b=32或23时等号成立，

则有213[9+（1a+2b）2]≤1a+2b，

解之得2≤1a+2b≤92.

故1a+2b的最大值与最小值之和为132，故选C．

解后反思根据题目条件中代数式的结构特征，对所求的代数关系式进行整体化思维，综合利用代数关系式的恒等变形与转化，以及基本不等式的应用、二次不等式的求解等，综合不等式的性质等来巧妙处理，实现问题的巧妙转化与应用．

解法5（权方和不等式法）由于a，b为正实数，且a+2b+1a+2b=132，由权方和不等式，得

132-（a+2b）=1a+42b

≥（1+2）2a+2b=9a+2b.

化简，得2（a+2b）2-13（a+2b）+18≤0.

解得2≤a+2b≤92.

所以1a+2b=132-（a+2b）∈[2，92]，

当且仅当a=b=32时，1a+2b取得最小值为2；

当且仅当a=b=23时，1a+2b取得最大值为92.

故1a+2b的最大值与最小值之和为132，故选C．

解后反思根据题目条件中代数式的结构特征，结合代数式的合理化归与转化，借助一些常见的重要不等式（柯西不等式、权方和不等式、排序不等式等）来分析与处理．

4 变式拓展

探究1保留原来题目的条件，将求解相关代数式的“最大值与最小值之和”问题变为求解“最大值”或“最小值”问题．

变式1设a，b为正实数，且a+2b+1a+2b=132，则1a+2b的最大值为.

变式2设a，b为正实数，且a+2b+1a+2b=132，则1a+2b的最小值为.

解后反思根据以上变式问题的创设，只求出相应代数关系式的最大值或最小值，目标更加直接，难度也有所降低，比较吻合中等学生的能力范围．

探究2保留原来题目的条件，直接变原来的求解“1a+2b的最大值与最小值之和”为“a+2b的最大值与最小值之和”问题．

变式3设a，b為正实数，且a+2b+1a+2b=132，则a+2b的最大值与最小值之和为.

解析结合基本不等式，可得

（a+2b）（1a+2b）=5+2ba+2ab

≥5+22ba×2ab=9，

当且仅当2ba=2ab，即a=b时等号成立.

设a+2b=t，根据a+2b+1a+2b=132可得1a+2b=132-t.

则有（132-t）t≥9，

解得2≤t≤92.

当且仅当a=b=23时，t取得最小值为2；

当且仅当a=b=32时，t取得最大值为92.

故a+2b的最大值与最小值之和为132，故选C．

解后反思这里只是以上变式问题的一种解析方法，还可以参照原问题的不同解析思维与方法，同样可以用来解决该变式问题，这里不多加以叙述．

5 教学启示

5.1 通技通法，技巧策略

破解双变元代数式的最值问题，关键是利用题目条件，通过合理配凑与巧妙转化，借助基本不等式以及柯西不等式、权方和不等式等一些重要不等式来确定最值问题．而其他的技巧方法，如换元、配凑、不等式求解等方法的应用，是在整体思维下的一点灵活变通与创新．

5.2 思维视角，能力提升

具体解决涉及双变元代数式的最值（最大值或最小值）或取值范围问题，破解思维各异，但一些基本的破解思维和常见方法值得我们系统掌握，并在此基础上举一反三、融会贯通、深化思维、巧妙转化、合理应用，学会变式拓展，发散数学思维，养成良好的学习习惯与思维方式，提升数学思维品质，提高数学能力，培养数学学科的核心素养．

参考文献：

［1］秦峰.一题多解助力培养学生发散思维能力[J].中学数学教学，2021（06）：44-46.

[2] 章建跃.数学核心素养如何落实在课堂[J].中小学数学（高中版），2016（03）：66.