一道课后习题的多解与反思

摘要：不同底数不同真数的对数比较大小问题，有没有规律可循？通过利用教材课后习题，挖掘隐藏在其背后的解题方法、数学思想，从特殊命题拓展出一般性的命题，顺利解决了对数比较大小问题，学生在活动过程中培养了四基四能，发展学生数学运算、逻辑推理等核心素养.

关键词：对数；比较大小；数学运算；核心素养

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0067-04

收稿日期：2022-07-05

作者简介：俞文锐（1979.8-），男，福建省福清人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：福建省教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“信息技术环境下教学预设与生成的實践研究”（项目编号：FJJKXB20-826）.

对数比较大小问题是每年高考的热点题型，题型杂方法多，重点考查数形结合思想、化归转化思想，以及数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，那么对于底数不同、真数也不同的对数比较大小，究竟要应用什么方法予以解决呢？本文以人教A版必修第一册一道习题为例对该问题进行探究.

1 试题呈现

例1（人教A版数学必修第一册P141拓广探索第13题）比较log23，log34，log45的大小

2 解法探究

我们先比较log34，log45的大小.

解法1（运用作差法+基本不等式比较大小）

log34-log45

=ln4ln3-ln5ln4

=（ln4）2-ln3·ln5ln3·ln4

≥（ln4）2-ln3+ln522ln3·ln4

=（ln4）2-（ln15）2ln3·ln4>0.

评析通过作差和换底公式，出现了ln3·ln5的结构，再利用基本不等式和对数运算性质将它转化为（ln15）2，从而顺利解决问题.作差法结合基本不等式比较大小，符合学生的认知规律，思维难度低.

解法2（运用换底公式+糖水不等式比较大小）log34=ln4ln3>ln4+ln43ln3+ln43=ln163ln4>ln5ln4=log45.

评析糖水不等式：若a>b>0，m>0，则有a+mb+mba（人教A版数学必修第一册P43综合运用第10题），充分挖掘教材习题的作用，将不同底、不同真数的对数比较大小问题轻松予以解决.

解法3（运用析整显微法+指数式比较大小）

log34=1+log343=1+x，

log45=1+log454=1+y，

所以31+x=4，41+y=5.

则3x=43，4y=54.

所以3x-4y=112>0.

即3x>4y.

两边取对数得xln3>yln4，

变形得xy>ln4ln3>1，

所以x>y.

即log34>log45.

评析通过对数运算将log34，log45析出非零整数1，显示出非负小数x=log343和y=log454，因此只要比较x和y的大小， 接着利用对数式与指数式互化比较大小.

解法4（运用析整显微法+图象法比较大小）

因为log34=1+log343，log45=1+log454，所以只要比较log343与log454的大小，利用对数函数y=log3x与y=log4x的图象位置关系（如图1），可得log343>log454.

评析直接利用函数图象无法比较log34，log45的大小，但是通过析整显微法显示出非负小数

log343和log454，却可以利用对数函数图象比较大小.

解法5（运用析整显微法+放缩法比较大小）

因为log34=1+log343，log45=1+log454，

又因为log343>log443>log454，

所以log34>log45.

评析通过析整显微法将比较log34和log45的大小问题，转换为比较log343与log454的大小，接着利用放缩法比较大小.

解法6（运用减数法+分析法比较大小）

要比较log34与log45的大小，只要比较log34-1与log45-1的大小，只要比较ln4ln3-1与ln5ln4-1的大小，只要比较ln4-ln3ln3与ln5-ln4ln4的大小，只要比较ln43ln3与ln54ln4的大小.

因为43>54，

所以ln43>ln54.

又因为ln3ln54ln4.

所以log34>log45.

评析通过减数法将比较log34与log45的大小问题，转化为比较log34-1与log45-1的大小，再通过分析法发现，只要比较ln43ln3与ln54ln4的大小即可.

解法7（构造函数比较大小）

设函数 f（x）=logx（x+1）（x>1） ，即

f（x）=ln（x+1）lnx（x>1）.

所以f ′（x）=xlnx-（x+1）ln（x+1）x（x+1）（lnx）2.

而函數 g（x）=xlnx 在 （1，+） 上单调递增，

所以g（x）-g（x+1）<0， 即f ′（x）<0.

所以f（x） 在 （1，+） 上单调递减.

所以f（3）>f（4）.

即 log34>log45.

评析通过构造函数，研究函数的单调性，利用单调性比较大小，也是我们常用的一种策略，解题教学中要给予充分的关注.

3 解题反思

本题中两个对数的底数和真数具有规律性，我们可以将它推广到一般性结论.

性质1当a>1 时，loga（a+1）>log（a+1）（a+2）.

证明由解法7已知结论成立可知命题成立.

性质2当11 时， logab>logambm，

证明因为logab-logambm=logab-1-logambm-1=logaba-logamba

=1logbaa-1logbaam，

因为0

所以1logbaa>1logbaam.

所以logab>logambm .

性质3设b>a>1，n>0，m≥1， 则有

logam+n（bm+n）

证明因为ba=bmam>bm+nam+n>1，

所以lnba>lnbm+nam+n>0.

则lnb-lna>ln（bm+n）-ln（am+n）.

又因为0

所以lnb-lnalna>ln（bm+n）-ln（am+n）ln（am+n）.

即lnblna-1>ln（bm+n）ln（am+n）-1.

即lnblna>ln（bm+n）ln（am+n）.

因此logam+n（bm+n）

性质4若10，则

logab>log（a+n）（b+n）

证明性质3中当m=1时，可得性质4.

利用性质1、性质3、性质4我们可以轻松获得log23>log34>log45，对于底数、真数呈现以上规律的对数我们可以快速比较大小，那么对于任意的底数不同、真数也不同的对数比较大小问题，我们能否获得一般性的结论呢.通过引例的证明方法，我们可以得到以下几条性质.

性质5①若11，xa≥yb，则logax>logby;

②若1

证明logax-logby=logax-1-logby-1

=logaxa-logbyb

=logbxalogba-logbyb

>logbxa-logbyb≥0，

所以①成立.

性质6①设 11，xaN≥ybN，则logax>logby;

②设 1

证明logax-logby=logax-N-logby-N

=logaxaN-logbybN

=logbxaNlogba-logbybN

>logbxaN-logbybN≥0，

所以①成立.

性质7若b>a>1，x，y>0则

（1）logax

logby

（2）logax>logbylogax>logbayxlogby>logbayx.

证明令m=logax，n=logby，则am=x，bn=y.可得bn=yxam，故有 bn-m=yxabm.

logax0bn-m>1

yxabm>1bam

logax

所以logax

同理可得logax

4 高考真题链接

例2（2013 年全国Ⅱ卷第8题） 设a=log36，b=log510，c=log714， 则（）.

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

解析根据性质5，因为1<3<5，63>1，63≥105，所以log36>log510；又因为1<5<7，105>1，105≥127，所以log510>log712，所以a>b>c.

例3（2020年全国Ⅲ卷理科第12 题）已知55 <84，134<83. 设 a=log53，b=log85，c=log138， 比较a，b，c的大小.

解法1a-b=ln3ln5-ln5ln8=ln3·ln8-（ln5）2ln5·ln8， 因为 ln3·ln8

由已知可得

5ln5<4ln8，4ln13<5ln8，

b-c=ln5ln8-ln8ln13，

因为ln5ln8<45， ln8ln13>45， 所以 b

所以 a

解法2根据性质5，若1<5<8，35<1，35≤58，则log53

根据性质6可知，比较log85，log138的大小，可以转化为比较log85，log13885的大小（或者比较log138，log13885的大小），根据性质5，58<85138=6465<1，所以log85

所以log85

所以a

比较大小问题是经典的题型，教材中蕴含有多种解题方法，如作差法、构造法、单调性法、基本不等式法、不等式性质法、分析法、中间量法、图象法等，充分挖掘教材中的解题方法，通过一题多解教学，培養学生的数学运算能力，促进数学思维的发展，培养学生发散思维能力，同时也让学生进一步体会到不同知识之间的紧密联系.通过对习题的拓展，学生依据从特殊到一般的推理，从特殊的命题log34>log45出发，得到一般性的命题：若b>a>1，n>0，m≥1， 则有logam+n（bm+n）

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2020年修订版）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.